34_PiskunovT2 (523113), страница 38
Текст из файла (страница 38)
352). Выражение ) ~ РпсЬ представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность и в положительном направлении, если под вектором Р' подразуме- Рис. 352. вать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл (2) называется потоком векторного полл Р через поверхность и.
226 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. ХР Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность и разбить на части пи и„ ..., Оа, то ~ ~ Рп бп= ~ ~ Рп сЬ-»- ~ ~ Гпмнп-»- ....»- ~ ~ »'п сЬ. а а, аз аа Выразим единичный вектор п через его проекции на оси координат: п=сов(п, х) а+сов(п, у)~+сов(п, г) йа).
Подставляя в интеграл (2) выражения векторов Р' н п через их проекции, получим ) ) Рпс(п= ~~ [Хсов(п, х)+)'соз(п, у)+Ясов(п, г))с(п. (2') а а Произведение босов-(п, г) есть проекция площадки цп на плоскость Оху (рис. 353); аналогичное утверждение справедливо и для произведений босов(п, х) и босов(п, у): Аа ЛО СОв (п1 х) Лпуа1 А аг Ан йт сов(п, у) = Ьп„„(4) босов(п, г) =Ьп„а, а7 где Ьпа„бп „бп„а — проекции площадки бп на соответствующие координатные плоскости. 4а Анар у На основании этого интеграл (2') записывают также в другой Рнс, 353, форме: )) гтп~йт= ~~ (Хсоз(п, х)+Усов(п, у)+Ясов(п, г)1с(п= а а Ц Х бу»г+ У ( ( +г Ыу.
(2") а й 6, Вычисление поверхностного интеграла Вычисление интеграла по кривой поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области. Укюкем, например, способ вычисления интеграла ~~г Лп, г) (и. Пусть поверхность и такова, что всякая прямая, параллельная оси Ог, пересекает ее в одной точке. Тогда уравнение поверх- «) В упражнениях встречаются обозначения соз(н, х)=сова, соз(п, у)=сов»»а соз(п, г)=сост. $6! ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА 227 ности можно написать в виде г=~(х, у). Обозначая через Р проекцию поверхности о на плоскость Оху, получим (на основании определения поверхностного интеграла) а )Я(х, у, г)сов(а, г)!(О= 1нп ч~р~ Я(х„уз,г,)сов(пнг)ЬО!.
Й!аа| аа -а О ! =! Учитывая, далее, последнюю из формул (4) $ 5, получим ~ЯСОВ(и, г)йЗ= 1ПП я', Я(ХН уо 1(Х1, у!))(АО«)1--а Шат ьо -аз! =! «з — 1нп ~д ~Я(хн Ун )(х„У!)) ~АО„„)!а Ш ааа ьа -а Е а = ! а последнее выражение есть интегральная сумма для двойного интеграла от функции Я(х, у, Г(х, у)) по области Р. Поэтому )) Ясов(а, г)сЬ=~ ) ) Я(х, у, )".(х, у))а(хну. о О При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если сов(п, г)) О, и знак минус, если сов(п, г)(0. Если поверхность и не удовлетворяет условию, указанному в начале этого параграфа, то ее разбивают на части, удовлетворяющие этому условию, и вычисляют интеграл по каждой части отдельно.
Аналогично вычисляются интегралы )) Хсов(п, х)Г(п, ~) )«сов(п, у)с(п. Доказанное оправдывает запись поверхностного интеграла в форме (2") из $ 5. При этом правую часть равенства (2") можно рассматривать как сумму двойных интегралов по соответствующим проекциям области а, причем знаки этих двойных интегралов (или, как говорят иначе, знаки произведений а(у с(г, с(х а(г, !)х а(у) берутся в соответствии а указанным выше правилом.
При мер 1. Пусть замкнутая поверхность о такова, что всякая прямая, параллельная оси Ог, пересехает ее не более чем в двух точках. Рассмотрим интеграл ~ ~ а соз (а, г) а!и.!1 Положительна!м направлением нормали будем считать внешнюю нормаль. В данном случае поверхность можно разбить на две части: нижнюю и верхнюю; их уравнения будут соответственно а =1! (ха у) и г =!а (х, у). 223 КРИВОЛИНЕИНЫЕ И ПОВЕРХНОЕТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. КУ Обозначим через )2 проекцию о на плоскость Оку (рис.
354); тогда ~~ гсов(и, з)до=) ) 1,(к, у)г(хбу — ~~ 1т(х, у) хну. а и и Знак ыинус у второго интеграла взят потому, что в поверхностном интеграле знак охбу иа поверхности г=1т(х, у) нужно взять отрицательным, твк как для нее сов (л, з) отрицателен. ф ~~гл Рис. 354. Рис. 355. Но разность интегралов, стоящих справа в последней формуле„даетобъем, ограниченный поверхностью о. Значит, объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью о, равен следующему интегралу по поверхности: У = ~ ~ з сов (л, з) бо. а Пр имер 2.
Положительный влектрический заряд е, помещенный в начале координат, создаст векторное поле, так что в каждой точке пространства определяется вектор Р по закону Кулона: Р=й — г, е гз где г — расстояние рассматриваемой точки от начала координат; г — единичный вектор, направленный по радиус-вектору данной точки (рис. 355); й †постоявный коэффициент.
Определить поток. векторного поля через сферу радиуса )2 с центром в начале координат, Решение. Принимая во внимание, что г=)2=попа(, будем имать Ц й — гл по = — Я гл ао, Но последний интеграл равен площади поверхности о. Действительно, по определению интеграла (учитывая, что гл=)) получим ) глба= Иш ~~,'галь йо» вЂ” — Бщ ~~втЬоа=о. ьаа-~ е ааа- 0 . йе йе Следовательно поток равняется — о = — 4п)2' =4пйа. в )зв )эв ' дТЗ ФОРМУЛА СТОКСА й 7.
Формула Стокса Пусть имеем поверхность о такую, что всякая прямая, параллельная осн Ог, пересекает ее в одной точке. Границу поверхности ст обозначим через )д. Положительное направление нормали и возьмем так, чтобы она образовывала с положительным направлением оси Ог острый угол (рис. 356). Пусть уравнение поверхности есть г=((х, д). Направляющие косинусы нормали выражаются формулами (см. 5 6 гл.
1Х т. 1): д( соз(п, х)= ~ а)'®' а1 соз(л, д)= ду ~ '+%)'+(~! )' соз(а, г)= 1 у г+( — ',~) +® Будем предполагать, что поверхность дт всеми своими точками лежит в некоторой области у'. Пусть в области у' задана функция Х(х, д, г), непрерывная вместе с частными производными первого порядка.
Рассмотрим криволинейный интеграл по кривой Х фХ(х, д, г)д(х. На линии А имеем г=("(х, д), гдех, д— координаты точек линни Е, являющейся проекцией линии )д на плоскость Охд (рис. 356). Следовательно, мы можем написать равенство (х(, д, дд*=)дх(,, д, дд,, дддд . д (2) Рис. 356. Последний интеграл есть криволинейный интеграл по линии 1.. Преобразуем этот интеграл по формуле Грина, положив Х(х, д, 7(х, д))=Х(х, д), 0=)'(х, д). Подставляя в формулу Грина вместо Х н 'г' нх выражения, получим — д ддд ","* "" д*дд-),х(,, д, ц*, дддд, д о 230 кРиволинейные и повегхностные интеГРАлы (гл.
хт )) А(х, у, г)соз(а, г)сп=)) А |(х|(у. о о На основании этого равенства интегралы, стоящие в правой части равенства (5), преобразуются следующим образом: Й у Й д Г дХ ГгдХ ду |(хс(У= )~ ду соз(а, г)г(о, о о — -0 (' дх д7 гг дх д7 (6) — — |(х |(у= ) ) — — соз(а, г) |(о. ,) г у ),) дг ду о Последний интеграл преобразуем с помощью формул (1) настоящего находим параграфа: деля почленно второе из этих равенств на а третье, сог (л, у) д) сох(л, г) ду ' или д7 — соз(а, г)= — соз(а, у).
Следовательно, — — ° (' дХ д( дХ ~ — „д (х(у= — Ц вЂ”. (а, у) йг. о Подставляя выражения (6) и (7) в равенство (5), получаем Х(х, у, г)г(х= — Д вЂ” соз(а, г)|Ь+Ц дх соз(а, у)|(п. (8) дХ дг (7) где область Р ограничена линией Е. На основании производной сложной функции Х(х, у, г(х, у)), где у входит и непосредственно, и через функцию г=((х, у), найдем дХ(х, у, 1(х, у)) дК(х, у, г), дХ(х, у, г) д((х, у) ду д + д д Подставляя выражение (4) в левую часть равенства (3), получим (' [ дХ (х, у, г) дХ (х, у, г) д((х, у) — ) ( д + д — '1 |(х|(У= ф Х(х~ Уэ 7(х~ У)) |(х. Последнее равенство с учетом равенства (2) можно переписать так: Х(х у. г)с(х= ') ') д "хс(у ) ) д д |(х|(у (5) О о Последние два интеграла преобразуются в интегралы по поверхности.
Действительно, на основании формулы (2") из $ 5 следует, равенство что если имеем некоторую функцию (х, у, г), то справедливо ФОРМУЛА СТОКСА 231 $71 Направление обхода контура 1. должно быть согласно с выбранным направлением положительной нормали и. Именно, если наблюдатель смотрит с конца нормали, то он видит обход вдоль кривой А против часовой стрелки. Формула (8) справедлива для любой поверхности, если эту поверхность можно разбить на части, уравнения которых имеют вид г = 1(х, у). Аналогично можно написать формулы фУ(х, у, г)йу=) ') ~ — — соз(гз, х)+ — соз(п, г)] йа, (8') а а Л(х, у, г)йг=)') [ — д соз(п, у)+ д соз(п, х)1йо. (8") а Складывая левые и правые части равенств (8), (8') и (8"), получим формулу фХйх+Уйу+Хйг — Ц ~~ — — ) соз(п, х)+ а ду дг +( д — д ) соз(п, У)+( дх д ) соз(п, г)1йп.
(9) Эта формула называется формулой Стокса по имени английского физика и математика Д. Стокса.(1819 — 1903). Она устанавливает зависимость между интегралом по поверхности и и криволинейным интегралом по границе Х этой поверхности, причем обход по кривой Х совершается по тому же правилу, которое было указано выше. Вектор В, определяемый проекциями дг И дХ дг И дХ В= — — В= — — —, В= — —— а ду дг ' г дг дх ' г дх ду > называется вихрем или ротором векторной функции Г=Х1+ + У/+Ей и обозначается *) символом го1 Р.
Следовательно, в векторной форме формула (9) будет иметь вид фВйз= ~~ пго1Гйо, (9') з а и теорема Стокса формулируется так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря через вту поверхность. 3 а м е ч а н и е. ' Если поверхность о есть кусок плоскости, параллельной плоскости Оху, то Аг = О, и мы получаем формулу Грина как частный случай формулы Стокса. «) го1 — трн буквы французского слова го1ацоп, что значит зврмцеииег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
