34_PiskunovT2 (523113), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ряд 1 1 1 1 + 2з +За + за + ' ' '+ ил+ ' ' ' сходится, так как его члены не больше соответствующих членов ряда + 2з+21+2е+ ' ' '+ 2л+ ' ' Но последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2. Сумма етого ряда равна 3/2. Следовательно, в силу теоремы 1 данный ряд тоже сходится, причем его сумма ие превосходит 3/2. л) Для того чтобы убедиться, что переменная з„ имеет предел, вспомним один признак существования предела последовательйости (см. теорему 7 $ 5 гл.
П т. !): если переменная возрастает и ограничена, то она имеет предел. В данном случае последовательность сумм з„ возрастает и ограничена, следовательно, имеет предел, т. е. ряд сходится. 1гл. хит ряды Теорема 2. Если члены ряда (1) не меньше соответствую- и(их членов ряда (2), гп. е. и„) о„ (5) и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится. Доказательство. Из условия (5) следует, что зл ~~ ол' (6) Так как члены ряда (2) положительны, то его частичная сумма о„возрастает при возрастании и, а так как он расходится, то 1пп о„ = оо. и -н» Но тогда в силу неравенства (6) 1пп в„'= со, т. е. ряд (1) расходится. Пр и мер 2.
Ряд 1 1 1 2 3 и г'2 УЗ )гл расходится, так как его члены (начнная со второго) больше соответствуюшил членов гармонического ряда 1 1 1 1+ — + — +. "+ — + " ' 2 3 ° '' и который, как известно, расходится. Замечание 1. Оба доказанных признака (теоремы 1 и 2) справедливы только для рядов с положительными членами. Они остаются в силе и для того случая, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда — нули. Однако зти признаки. перестают быть верными, если среди членов ряда имеются отрицательные числа. Замечание 2. Теоремы 1 и. 2 справедливы и в случае, если неравенства (3) или (6) начинают выполняться лишь для п~эУ, а не для всех п=1, 2, 3, ...
ф 4. Признак Даламбера Птп — »+1 =. 1, «-»ф» (2) Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с поло-' ясительными членами и«+и,+из+... +и„+ ..; (1) отношение (и+1)-го члена к и-л«у при и со имеет (конечныи) предел 1, о!. е. ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА то: 1) ряд сходится в случае 1 ( 1, 2) ряд расходится в случае 1> 1.
(В случае 1=1 ответа на вопрос о сходимости или расходи- мости ряда теорема не дает.) Дока вате'льство. 1) Пусть 1(1. Рассмотрим число а, удовлетворяющее соотношению 1 < а < 1 (рис. 358). Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех значений а, начиная с некоторого номера У, т. е. для и У, будет иметь местб неравенство (2') Действительно, так как величина — "+ стремится к пределу1, ил то разность между величиной — "+~ и числом 1 может быть сдеил лана (начиная с некоторого номера У) по-абсолютному значению меньше любого положительного числа, в частности, меньше д — 1, т. е.
в-$ !". — =1 <д — 1. ил+1 1 л. ч и„ л Из последнего неравенства и следует неравенство (2'). Записывая неравенство (2') для различных значений а, начиная с номера )у, получим им+, < дат аАЪ л ( Чаил1 ( Ч~аи, ая, < уаа ° (д'аа, (3) 'ил Рассмотрим теперь два ряда а,+а,+и,+... +ив+иА+,+и„+,+..., ' (1) а„+ уав+ д'аа+ .. ° (1') Ряд (1') есть геометрическая прогрессия с положительным рнаменателем у<1. Следовательно, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с а„+,, меньше членов ряда (1'). На основании теоремы 1 3 3 н теоремы 1 5 1 следует, что ряд (1) сходится.
2) Пусть 1> 1; Тогда из равенства 1пп — л"'=1 (где 1> 1) л-~ л ил следует, что, начиная с некоторого номера Ф, т. е. для а) У, будет иметь место неравенство ряды 254 !гл. хтч (рис. 359), или ил+! ) ил для всех л) Л(. Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера !т'+ 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится. Замечание 1. Ряд будет расходить- 7 ия7 ся и в том случае, когда 1пп — „»+!=со.Это и„ и.+Ф ил Рнс. 359. следует из того, что если !пп — л+х = оо, то, л ~ Ф л начиная с некоторого номера и = М, будет иметь место неравенство — л") 1, или ил+!) ил.
П р амер 1. Исследовать сходнмость ряда 1 ! 1 Решен не. Здесь 12 ... л л!' л+! 12 °... л(л+1) (л-(!)(' илл! л! ! ил (лл-(-1)! л+ !' Следовательно, 1пп = — Кш — =О ( 1. ил+! л ил л и+1 Ряд сходится. Пример 2. Исследовать сходнмость ряда 2 2» 2» 2л -+ — + — +" + — +" 1 2 3 ''' л Решен не. Здесь 2» 2»+' ил л! л ° ли+! л нилл —, ии+!Фл —; — ЛЛ =2 —, ПШ вЂ” "= ПШ 2 — =2 > 1.
л " л+1' ил л+1 л ил и л+1 Ряд расходится, причем его общий член ил стремятся к бесконечности. Замечание 2. Нризнак Даламбера дает ответ на вопрос о том, сходится ли данный положительный ряд, только в том случае, когда 1пп и— "" существует и отличен от 1. Если же этот ил предел не существует или существует, но 1йп — л+'=1, то приил знак Даламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится, так как в этом случае ряд может оказаться и сходящимся и расходящимся. Для решения вопроса осходимости таких- рядов надо применить какой-либо другой признак.
Замечание 3. Если 1пп "— "'=1, но отношение — "л+х для л-Ф ил ил всех номеров а, начиная с некоторого, больше единицы,.то ряд ПРИЗНАК ДАЛАМЬЕРА расходится. Это следует из того, что если †"" ) 1, то и„+1 ) и„ и„ и общий член не„"стремится к нулю при л- оо. Рассмотрим ирнмеры, иллюстрирующие сказанное. Пример 3.
Исследовать сходимосгь ряда 1 2 3 и — + — + — +" + — +" ° 2 3 4 ''' л+1 Решение. Здесь л+1 )йп — = Иа — = Иа, =1. и„+! л+2 пз+2п+1 и„„п и п~+2л .л+1 В данном случае ряд расходится„-так как — ) 1 для всех и! ив+! и„ и„+! л'+ 2п+1 и„л'+ 2п П р и м е р 4. Применяя признак Даламбера к гармоническому ряду 1 1 1 ! 1 1+ †+ в ... + — + ..., замечаем, что и„= — „ и„+!= в и, следова- 2 3 .''' л ''' ' л" п+1 тельно, Иа — "= Иа — =1. Значит, на основании признака Даламбера и„+1 и„„п+! нельзя установить сходимость нли расходимость данного ряда. Но ранее мы установили другим путем, что гармонический ряд расходится.
Пр имер 5. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 1 2+2 3+3 4+'''+л(л+1)+'" Решение. Здесь 1 1 п(п+1) ' "+т (п+1) (л+2)' Иа — = 1пп и„+т . л (и+1), л = Иа — =1. л и„п (л+1) (и+2) „п+2 На основании признака Даламбера сделать заключения о сходимости ряда нельзя, однако, исходя нз других соображений, можно установить, что 1 1 1 лгот ряд сходится. Заметив, что и (и+1) п п+1 ' = — — ' —, мы можем записать данный ряд в виде (! 1) (1 !) ~! !) ., р Частичная сумма л первых членов после раскрытия скобок и сокращения будет равна ! а» 1 л+1 Следовательно, 1 Иа з„= на (! — — )=1, п+1) и. е. ряд сходится и его сумма равна 1.
РЯДЫ ф 5. Признак Коши 1гл. хш 256 Теорема (признак Коши). Если для ряда с положительными членами иа+и,+из+... +и„-1-... (1) величина ~Гй имеет конечный предел 1 при п — оо, т. е. 1пп ",г'й= 1, В' .-1! <у-1; отсюда следует, что Р' и„< а или и„ < а" для всех п)У. Рассмотрим теперь два ряда: и,+и,+и,+... +им+им+1+им+,+..., (1) дн 1 дФ.~ а+улез+ (1ч) Ряд (Г) сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда (1), начиная с и ч, меньше членов ряда (Г).
Следовательно, ряд (1) сходится. 2) Пусть 1 >Л. Тогда, начиная с некоторого номера и = М, будем имеп $Ги„> 1 или и„> 1. Но если все члены рассматриваемого' ряда, начиная с ин, больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. П р и-м е р. Исследовать сходимосзь ряда ф+ ®'+(-,')'+".+( — "+,1 "+." Решение. Применим признак Коши Нш у~я„— Нш у~ ~~ — ) = Нш — = — < 1 „- я я ~ У 12я+1) а 2п+1 2 Ряд сходится. тсч 1) в случае 1< 1 ряд сходится; 2) в случае 1> 1 ряд расходится. Доказательство.
1) Пусть 1<1. Рассмотрим число д, удовлетворяющее соотношению 1 < д < 1. Начиная с некоторого номера п=л1, будет иметь место соот;- ношение Зев , ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАН СХОДИМОСТИ РЯДА Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай Иш.~/й=1=1, л ва требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды. Так, для гармонического ряда (который, как известно, расходится) 1ип "$/й= 1ип $/1/а=1. л-г а л 3'Ф Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что 1йп 1п ~/Т/а = О. Л-ва Действительно, и/! . — )Пл 1ип 1п 1в/ — = Иш— л „а л Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к"бесконечности. Применяя правило Лопиталя, найдем: ! 1йп 1п у '— л Иш:= Иш — =О.
л/ ! ° — )лл . л л-в а л-в а л-в а Итак, 1п~)/а- О, но тогда ~/1/а- 1, т. е. 1ип ~л1/а =1. Для ряда ! ! ! ! Т+2в+зв+ ' '+ли+'' также имеет место равенство Иш ~/и„= Иш ~/1/ав= 1ип т/1/а )/1/а=1, л-в а л-> а но этот ряд сходится, так как если отбросим первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов. сходящегося ряда ! ! 1 ! 2+2 3+ ' '+л(л+!)+ ' (см. пример 5 2 4). $6. Интегральный признак сходнмости ряда Теорема.
Пусть члены ряда и,+и,+и, +... +и„+... ) положительны и не возрастают, т. е. ит» ил~ »иь» ° . В н. С, иивиуллвв и. 2 1гл. кто Ряды и пусть 1(х) — 'такая непрерывная невозрастаюи(ил фунял(ия, что 1 (1) = ип ) (2) = и„ ..., ) (и) = и . (2) Тогда справедливы следующие утверждения. + Р 1) если несобственный интеграл ) 1(х) йх сходится (см. 5 7 ! гл. Х1 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
