34_PiskunovT2 (523113), страница 39
Текст из файла (страница 39)
232 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. КЧ Из формулы (9) следует, что если д ах дг д дх ах — — =О, — — =О, — — =О, (10) дх ду ' ду дг ' дг - дх то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой )ь равен нулю: фХ((х+)г((у+Я(1г =О. (11) -А Отсюда следует, что в этом случае криволинейный интеграл не зависит от формы кривой интегрирования. Как и в случае плоской кривой, можно показать, что для выполнения равенства (11) условия (10) являются не только достаточными, но и необходимыми. При выполнении этих условий подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у, г): Х((х+)х((у+2((г=(1и(х, у, г) и, следовательно, (и> (и> ~ Х ((х + У ((у + Х ((г = ~ (1и = и (1т' ) — и (М).
(м> (м> Это доказывается так же, как соответствующая формула для функции двух переменных (см. 2 4). П р имер 1. Напишем основные уравнения динамики материальной точки ап„ поа Х ш — У ш — г д( ' д( Здесь ш †мас точки; Х, 1', 2 †проекц иа оси координат силы, действую((х ау дх щей на точку; о = —, о = „ох= — — проекции скорости о на оси х д( а (( — д( координат. Умножим левые и правые части написанных уравнений на выра- жения о„ж=дх, ого=ау, о М=дг. Сложив почленно данные равенства, получим (о„до„+ „до„+;до,)=Хдх+Уду+хдг, ш — д (ох+ох+ох) =Х ах+>г ау+ 2 дм Так как о„+оа+ ох=па; то мы можем написать Л~- ) =Х ах+У ау+хаю у! Возьмем интеграл вдоль траектории, соединяющей точки М( и Ма: (ма 1 и 1 а — ш~ — — тот = Х ах+ 1~((у+ Х ((г, 2 2 (мд где о( н о,-скорости в точках М( и Ма ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 233 Последнее равенство выражает теорему живык сил: приращение кинетической энергии при переходе из одной точки в другую равно работе силы, действующей на массу и.
Пример 2. Определить работу силы иьютонова притяжения к неподвижному центру массы и при перемещении единичной массы из положения Мг (ап ЬП сг) в положение Ма (ам ЬП сэ). Р е ш е н а е, Пустк начало координат помещено в неподвижный центр притяжения. Обозначим через г радиус-вектор точки М (рис. 357), соответствующий произвольному положению единичной массы, а через г' — единичный вектор, направлена ный по вектору г. Тогда Р= — — г, где гз й — гравитационная постоянная. Проекции силы Р на осн координат будут Х = — Ьи 1 х 1 у — 'г'= — Ьи — — „ га г' гз г" 1 з 2= — Ь вЂ” —.
г' г' Тогда работа силы Р на пути-МлМ, равна Рис. 357. !мд <л!д <мд (так как гз=х'+уз+ге, гдг=х ух+у ду+хух). Если обозначить через гт н гз длины радиус-векторов точек Ма и М„то А=йи( — — ). Таким образом, здесь криволинейный интеграл также не зависнтот формы кривой интегрирования, а зависит только от положения начальной н конечной Ьи точек. Функция и= — называется аотенииалои поля тяготения, создаваемого г массой и. В данном случае ди ди ди Х =- —, 1'= —; х = — А = и (3(з) — и (Ма), 5 8.
Формула Остроградского Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область )г, ограниченная замкнутой поверхностью о и проектирующаяся иа плоскость Оху в правильную двухмерную область ):г. Мы предположим, что поверхность о можно разбить на трн части о„а, и оа так, что УРавнениЯ пеРвых двУх имеют вид г=у,(х, д) й г=уа(х, у), где ут(х, у) и )а(х, у) — функции, непрерывные вобластй О, а третья часть о, есть цилиндрическая поверхность о образующей, параллельной оси Ог. т.
е. работа при перенесении единичной массы равняется разности значений потенциала в конечной н начальной точках. 234 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ГЛ. Кт Рассмотрим интеграл г = ') Ц ~, г(хГ(удг. Произведем сначала интегрирование по г: ~=Я 1, "а)~ а= Ц 2(х, у, 1,(х, у)) Нхг(у — ) ) л(х, у, ) (х, у))~(х~(у. (1) о о Выберем на нормали к поверхности определенное направление, а именно то, которое совпадает с направлением внешней нормали к поверхности о. Тогда сов(л, г) будет на поверхности о, поло- )кительным, а на поверхности о; отрицательным; на поверхности о, он равен нулю.
Двойные интегралы, стоящие в правой части равенства (1), равны соответствуюШим интегралам по поверхности: ~~л(х, у, ~,(х, у))дхйу= ~~ л(х, у, г) соз(а, г)й~; ~ ~ л (х, у, ~, (х, у)) ~(Х Ну = ~ ~ л (х, у, г) ( — сов (а, г)) ГЬ. о $У1 В последнем интеграле мы написали ( — сов(а, г)) потому, что элемент поверхности ог и элемент площади бз области Всвязаны соотношением газ= бо( — сов(а, г)1, так как угол (а, г) тупой. Итак, )) Я(х, у, ~Г(х, у)) Нхйу= — Я Е(х, у, ~,(х, у))сбз(а, г)ГЬ. (2") о а, Подставляя (2') и (2") в равенство (1), получим ~~~ дг (х, ГЬ х) =)) Я(х, у, г)соз(а, г)оп+ )) Я(х, у, г)соз(а, г)ГЬ.
а, Р~ Для удобства дальнейших формул последнее равенство перепишем так (прибавив ~ ) 2' (х, у, г) сов (а, г) йо = О, так как на поверхною сти оа выполняется равенство-сов(а, г)=0): Щ дЯ(х, У, А) ~)) Ясов(а, г)ГЬ+)) Есов(а, г)йт+)) Ясов(а, г)~Ь. РЗ 2за кРиВОлинейные и пОВеРхностные интеГРАлы 1Гл. хч Если б1ч»«'=О, то двойной интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю, т.
е. количество вытекающей (или втекающей) через любую замкнутую поверхность а жидкости будет равно нулю (отсутствуют источники). Точнее говоря, количеетво жидкости, втекающей внутрь области, равно количеству жидкости, вытекающей из этой области. В векторной форме формула Остроградского имеет иид ) ~~ гНчг'до= ~~ Гида « и читается так: интеграл от дивергенции векторного поля гг, распространенный по некоторому объему, равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. 9 9.
Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Пусть мы имеем функцию и= и(х, у, г). В каждой топке области, где определена и дифференцируема функция и(х, у, г), определяется градиент ягаб и = ! — +1 — + й —. дх ду д» ' (1) Градиент функции и(х, у, г) иногда обозначают так: ди ди ди ри= ! — +/-+й— дх ду дх знак 7 читается «набла». 1) Равенство (2) удобно символически записать так: уи =~1-+,у — +й — )и д д д 1 дх ду - дх ) (2) (2') и рассматривать символ дх «д+ д» д д д (з) как «символический вектор». Этот символический вектор называется оператором Гамильтона или нобла-оператором (р-оператором). Из формул (2) и (2') следует, что при «умножении» символического вектора ч на скалярную функцию и получается градиент этой функции: ри = ягаб и.
(4) 2) Можно составить скалярное произведение символического вектора Ч на вектор Х=1Х+,ГГ'+йЯ: рР=(1д— +и~ +й д )(1Х+л Г+йл)= д д д т дх ду д») д а а ах и ах = — Х+ — У + — г = — + — + — б(ч Р' дх ду дх дх ду дх ОПЕРАТОР ГАМИЛЪТОНА $9] 237 (см. 2 8). Итак, 3) Составим векторное произнедение символического вектора у на вектор хт=1Х+/К+ФА: Чхк=~,,1,— '+3,— '+79 — , ') ~((Х+Гт+йу)= д д д ! д ~у 2 ~ ~Х 21 ~Х у~ К(Лд т)+1(Ы дг)+ Ф( Л' дХ) Г01 )и (см.
2 7). Итак, р х)и= го1 Е. (6) Из сказанного следует, что употребление символического вектора р позволяет.очень коротко выражать векторные операции. Рассмотрим еще несколько формул. 4) Векторное поле х (х, у, х) = АХ+Я'+ мЯ называется потенциальным векторным полем, если вектор х'есть градиент некоторой скалярной функции и(х, у, х): )и=атаби, или ди .ди ди Р=1 — +,у — +й —. дх ду дг ' В этом случае проекции вектора гг будут ди ди ди Х= — У= —, Я= —. дх ' Из этик равенств следует (см. т. А, гл. Ч1П, $ 12) дХ дх дк дя дХ дХ ду дх ' дг ду ' дг дх ' или дХ дУ дУ дУ- дХ дЯ вЂ” — =О, — — =О, — — — =О.
ду дх ' дг ду ' дг дх Следовательно, для рассматриваемого вектора Р' го1 хх= О. Таким образом, получаем го1 (йгаб и) =О. 238 КРИВОЛИНЕИНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ГЛ. ХЧ Применяя оператор 7, равенство (7) на основании формул (4) и (б) можно записать так: (7') 7Х(7и)=О. (7 х 7) и = О. (7") Здесь оператор 7 снова обладает свойствами обыкновенного вектора: векторное произведение вектора на себя равно нулю. Векторное поле гг(х, у, г), для которого Готе'= О, называется безвихревым.
Из равенства (7) следует, что всякое потенциальное поле является безвихревым. Справедливо и обратное заключение, т. е. если некоторое векторное поле е' является безвнхревым, то оно потенциально. Справедливость этого утверждения следует из рассуждений, проведенных в конце 2 7. 5) Векторное боле Р'(х, у, г), для которого б!чег=О, т. е.
векторное поле, в котором отсутствуют источники (см. $ 8), называется соленоидальным или трубчатым. Докажем, что б1 ч (го1 Р) = О, (8) т. е. что поле вихрей свободно от источников. Действительно, если )Р= гХ+~)'+ФУ, то - =*( — д — д)+~( — д — д)+ ( — д — д) и поэтому б1ч(го(Р)=,— '~ —" ,— ';)+ — '('— ; — д')+ д ( — '; — ', ) =О. С помощью оператора 7 равенство (8) запишется так: Ч (7 Х )Р) = О. (8') Левую часть этого равенства можно рассматривать как векторно- скалярное (смешанное) произведение, трех векторов: 7, 7, гч, из которых два одинаковых.
Это произведение, очевидно, равно нулю. 6) Пусть имеем скалярное поле и = и (х, у, г). Определим поле градиентов: игаб и = г' — +,7 — + й —. ди да ди дх ду дх Найдем далее б1ч(йтаб и)= — ~ — )+-~ — )+ — ~ — ) дх~ дх ) ду~ ду ) дг ( дх ) ' д'и д(и Уи б1ч(йгаби)= — „, + —,+ —,. илн (9) Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произ- ведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, запишем: УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХЧ Правая часть этого выражения обозначается дэи дэи дэи Ьи= — + — +— дхэ дуэ дгэ (10) или символически / дэ дз дг1 Ьи = 11 — х+ — + —,~ и. '1 дхэ дуэ дгэ ) Символ д' дэ дь Ь= — + — +— дхэ ду' дгз называется оператором Лапласа. Следовательно, равенство (9) можно записать так: б)ч (ягаг( и) = Ьи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
