34_PiskunovT2 (523113), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(1) называется числовым рядом. При этом числа ио и„..., и„, ... называются членами ряда. Определение 2. Сумма конечного чйсла и первых членов ряда называется и-й частичной суммой ряда: з„=и,+и,+:.. +и„. Рассмотрим частичные суммы за=из з,=и,+и„ з,=и,+и,+иа, з,= и,+и,+и,+. с. +и . Если существует конечный предел й= 1пп з„, то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если 1ип з„не существует (например, з„- оо прн п — оо), в +Ф то говорят, что ряд (1) расходится и суммвь не имеет. Пример. Рассмотрим ряд о+оз+озз+ +пол-т+ (а) е) Последовательность считается заданной, если известен закон, по которому можно вычислить любой ее член и„ прн данном и. !гл. хт! ряды 246 Зто — геометрическая прогрессия с первые членом а и знаменателем д(а~о).
Сумма а первых членов геометрической прогрессии равна (при а ~ 1) а — ад» з» = Э иля з— » 1 — д 1 е 1) Если 141< 1, то 4»-»О при и-» с» и, следовательно, ае» 1 а ~1-е 1-е( 1-е' Значит, в случае ~д~ < 1 ряд (2) сходится и его сумма а а=— 1 — е а — ад» 2) Если !а! >1, то 14»1-+го при л-».оэ и тогда -» т о» прн 1 — е п -+ оз, т. е. Нш з„не существует. Таким образом, в случае ~ д ! > 1 ряд (2) расходится.
3) Если в=1, то ряд (2) имеет вид а+а+а+... В этом случае з„=па, 1!ш з„= ее, »-»» т. е. ряд расходится. 4) Если е= — 1, то ряд (2) имеет вид .а †а+а вЂ... В этом случае О при л четном, а при л нечетном. Следовательно, з„ предела пе имеет †р расходится. Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом, отличным от яуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы. Теорема 1.
Если сходится ряд, получившийся из данного ряда, (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся ив данного отбрасыванием нескоольких членов. Иными слова!)ги, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть в„— сумма п первых членов ряда (1), с„— сумма я отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом п все отброшенные члены содержатся в сумме в„), — сумма членов ряда, входящих в сумму в„и не РЯД. СУММА РЯДА 247 входящих в ся. Тогда имеем: З„= СА+О„„, где с, †постоянн число, не зависящее от а. Из последнего соотношения следует, что если существует Ишо„я, то существует и 1йпя„; если существует 11шз„, то суще- Л-ФФ." ЛФФ ствует и 1ппо„ А, а это и доказывает справедливость теоремы.
Ф-~ Ф В заключение параграфа укажем два простых свойства рядов. Теорема 2. Если ряд а,+а;-1-... (3) сходится и его сумма равна з, то ряд са,+са,+..., '(4) где с-какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма ровна сз. Доказательство. Обозначим п-ю частичную сумму ряда (3) через з„, а ряда (4) — через о„.
Тогда о„=са,+... +са„=с(а,+.:. +а„)=ся„. Отсюда ясно, что предел н-й частичной суммы ряда (4) существует, так как 1йп о„= 11ш (ся„)=с)пп я„=сз. Итак, ряд (4) сходится и его сумма равна сз. Теорема 3. Если ряды а,+а,+..; (5) и Ь, +Ь, + ... - (8) сходятся и их суммы соответственно равны з и я, то ряды (а,+Ь,)+(а,+Ь,)+... (7) и (а; — Ь,)+(а,—,Ь,)+... (3) также сходятся и их суммы соответственно равны в+ я и з — я. Доказательство. Докажем сходимость ряда (7).
Обозначая его и-ю частичную сумму через о„, а я-е частичные суммы рядов (5) и (б) соответственно через з„и я„, получим о„=(ая+Ь,)+... +(а„+Ь„) = =(а,+ ..! +а„)-1-(Ь,+ ...-1-Ь,)=я„+з„. ояды 1гл. хч~ Переходя в этом равенстве к пределу при п- оо, получим 1пп о„= 1пп (з,+з„)= 1пп. з„+ Ишз, =з+з.
и- а П >и и гю и М Таким образом, ряд (7) сходится "и его сумма равна з+в. Аналогично доказывается,.что ряд (8) также сходится и его сумма равна в — з. Про ряды (7) и (8) говорят, что они получены в результате . почленного сложения или соответственно почленного в ы ч и т а н и я рядов (5) и (б). ' $2. Необходимый признак.сходимости ' ряда При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится.
Ниже будут установлены достаточные признаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Здесь же мы рассмотрим необходимый признак сходимости ряда, т. е. установим условие, при невыполнении которого ряд расходится. Теорема. Если ряд сходится, то его а-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании и.
Доказательство. Пусть ряд и,+и,+и,+... +и„+... сходится, т. е. имеет место равенство 1пп з„=з, и-~. а где з — сумма ряда (т. е. конечное фиксированное число); но тогда имеет место также равенство Иш з„,=з, и-~ в так как при и — оо и и — 1- оо. Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем 1пп з„— 1пп з„,= О, л.+ оь и-~ а или 1йп (з„— з, т) =О. Но з„— з„~ = и,.
Следовательно, 1ип и„=О, и-~м что и требовалось доказать. неОБхОдимыЙ пРизнАк сходимости РядА 249 $21 Следствие. Если и-й член ряда не стргмится к нулю при п — оо,-то ряд расходится. Пример. Ряд 1 2- 3 П вЂ” + — + — + + — +" ° 3 5 7 ''' 2а+1 расходится, так как ( л ! 1 л л 12г1+1 ~ 2 1пп и„= 1пп ( — ! = — ~0, Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т. е. из того, что а-й член стремится к нулю, еи(е не следует, что ряд сходится,— ряд может и расходиться. Например, так называемый гармонический ряд 1 1 1 ' 1 1+ — + — + — +...+ — +*..
2 3 4. ''' л расходится, хотя 1пп и„ = 1пп — = О. 1 — л '0 л->Ф Чтобы доказать это, напишем подробнее гармонический ряд 1 1 1 1 1 1 1 1+ — + — + — + — + — + — + — + 2 3 4 5 6 7 - 8 1 !. 1 1 1 1 1 1 ! +-+ — 1--+-+-+-+-+-+-+ " (1) 9 1О 11 12 13 14 15 !6 !7 Напишем, далее, вспомогательный ряд 1 1 1 1 1 1 1 1+ — + — + — + — + — + — + — + 2 4 4 8 8 8 8 1В слагаемил 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 + — + — + — + — + — + — + — + — л- — +.1.+ — +... - (2) 16 16 16 16. 16 16 16 16 ' 32 . ' ' 32 Ряд (2) строится следующим образом: его первый член равен 1, второй равен 1/2, третий и четвертый равны 174, члены с пятого по восьмой равны 178„ члены с девятого по -16-й равны 1716, члены с 17-го по 32-й равны 1/32 и т. д.
Обозначим через г1о сумму п первых членов гармонического ряда (1) и через 121 сумму п первых членов ряда (2). Так как каждый член ряда (1) больше соответствующего члена ряда (2) илн равен ему, то для и > 2- фп > ф21 (3) гяды 1гл. хч! Подсчитаем частичные суммы ряда (2) для значений я, равных 2х 2а 2а 2а 2а. в,=1+ — =1+1 ° —, 1 1 2 1 Г! 1х ! 1 1 ва — 1+2+( — + — )=1+2+ 2 =у+2 ° 2 а 14 41 1 ~ =1+-+ (-+-.) + (-+-+-+-) =1+ 3.— 2 ~4 4) 18 8 8 8) 2' вм=1+ф+(,+,)+(,+. +,)+Я+ ..+Д) Е слагаемых В слагаемых +4 2 ° + 2 + ( 4 + 4 ) + ( 8 + ' ' ' + 8 ) + (16+ ' ' +Г6) + Е слагаемых 8 слагаемых + (82 'а ' ' '+82 1+3 2 16 слагаемых точно так же подсчитывается, что зае =1+6 —, зз =1+7— 1 1 и, вообще, в х =1+гс.—. 1 Таким образом„частичные суммы ряда (2) при достаточно большом я могут быть сделаны больше любого положительного числа, т.
е. 1пп во'= оо, л л -гы но тогда из соотношения (3) следует, что и 1пп з"'= оо л г т. е. гармонический ряд (1) расходится. ф 3. Сравнение рядов с положительными членами Пусть имеем два ряда с положительными членами, и~+и,+и,+... +и„+..., (1) от+ох+па+ +па+ (2) Для них справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Если члены ряда (1) не болыие соответству1ои!их членов ряда (2), т.
е. и„(о„(и=1, 2, ...), (3) и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Уз1 СРАВНЕНИЕ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 251 Доказательство. Обозначим через з„но„соответственно частичную сумму первого и второго рядов: Л л з„= ~~„'~ иг, о„= ~~„', 'о,. Из условия (3) следует, что.
з„(о„. (4) Так как ряд (2) сходится, то суп1ествует предел о его частичной суммы !1пг а„=о. л ->л Из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что ол ( о., и тогда в силу неравенства (4) злСо. Итак, мы доказали, что частичные суммы з„ограничены. Заметим, что при увеличении и частичная сумма з„возрастает, а из того, что последовательность частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел ') !пп з„=з, причем очевидно, что в<а. Иа основании теоремы 1 можно судить о сходимости некоторых рядов. Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
