34_PiskunovT2 (523113), страница 35
Текст из файла (страница 35)
х,=ап, у =ба/6. 56. Найти координаты центра масс илощадн, ограниченной петлей кривой па~/ 2 р =а соз28. Отв. хс — — ', уз=о 8 57. Найти координаты центра масс плошади кардиоиды р=а(!+соаВ). Олм. хе=ба/6, ус=О. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. Х[Ч 68. Вычислить момент инерции площади прямоугольника, ограниченного прямыми х=О, х=а, у=О, у=Ь, относительно начала координат. Отв.
Ь (ае+Ьг) 3 хг уе 69. Вычислить момент инерции эллипса †+ в 1: а) относительно ае Ье оси Оу; б) относительно начала координат. Отв. а) пааЬ/4; б) паЬ(аа+Ьа)/4. 60. Вычислить момент инерции площади круга р=2асоз6 относительно полюса. Отв. Зпа'/2. 61. Вычислить момент инерции площади кардноиды р=а(1 — соа 6) относительно полюса. Отв. Збпа'/!6. 62. Вычислить момент инерции площади круга (х — а)е+(у — Ь)'=2аг относительно оси Оу. Отв. Зпав. 63.
Плотность в любой точке квадратной пластинки со стороной а пропорциональна расстоянию втой точки отодной из вершин квадрата. Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через зту вершину. Отв. — йаа '17)1 2+3 1п()/ 2+!Я, где й — множитель пропорциональ. 40 ности. 64. Вычислить момент инерции площади фигуры, ограниченной параболой уа=ах и прямой х=-а, относительно прямой у= — а. Отв. Зав/5.
Тройные интегралы Р г[х ду г[г 66. Вычислить Щ ! а, если область интегрировании огра- 0 (х+у+г+1)а ' 1п2 5 ничена координатными плоскостями и плоскостью х-(-у+г= 1. Отв. — —. 2 16' а к в ав ев. в, „, ~~) [)*„,ь)ь) ь.о ' 48 ' о о о 67. Вычислить объем тела, ограниченного сферой хе+уа+ге=4 и поверх. !9 пастью параболоида х'+у'=Зг. Отв. — и.
6 68 е). Вычислить координаты центра масс и моменты инерции пирамиды, ограниченной плоскостями х=О, у=О, г=О, — + — + — =1. Отв. хе=а/4, ув х у ' а Ь с = Ь/4, г,=с/4; 1к =лайв/Г/О, /„=Ьаас/60, /к =сааЬ/60, /е — — — (па+ за+се). айс 69. Вычислить момент инерции кругового прямого конуса относительно его оси.
Отв. — пйг . где й †высо, г †ради основания конуса. 1 1О 70. Вычислить объем тела. ограниченного поверхностью с уравнением (ха+уе+ге)а=азт. Отв. паа/3. 71. Вычислить момент инерции круглого конуса относительно диаметра пйге основания. Отв. — (2йа+Зг'). 60 72. Вычислить координаты центра масс тела, содержащегося между сферой радиуса а и конической поверхностью с углом при вершине 2сг, если вершина конуса совпадает о пентром сферы. Отв. х =О, ув=О, гв= — а(1+сова) 3 в= в — 8 (ось конуса принята за ось Ог, вершина помещена в начале координат). в) В задачах 66 — 69, 71 — 73 считаем плотность постоянной и равной едн. нице. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х1У 207 73.
Вычислить координаты центра масс тела, ограниченного сферой радиуса а и двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и образую- 9 я щими угол 60'. Овм. р = — а, 8=0 ~р= — (линия пересечения плоскостей 16''2 принята за ось Ох, центр сферы — за начало координат; р, О, 1р — сферические координаты). +а 74. Пользуясь равенством === ~ е йх(сг > О), вычислить 1 2 Г а*х + О + ф Г совхоз Г з1пх 1(х Гя Гя интегралы ~ =и ~ =. Оиы, гзг —; згг ГЛйВА ХЧ -КРИВОЛИНЕИНЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРХЛЪ| ПО ПОВЕРХНОСТИ й 1. Криволинейный интеграл Пусть точка Р(х; у) движется вдоль некоторой плоской линии Е от точки М к точке Ф.
К точке Р приложена сила Р, которая меняется по величине и направлению' прн перемещении точки Р, т. е. представляет собой фФ некоторую функцию координат точки Р: Р=Р(Р). Вычислим работу А силы Р' при перемещении точкйР из положения М в положение й( (рис. 342). Для этого разобьем кривую МЖ на и произвольных частей точками М=М„Мо М„... Ряс. з42...., М,=Ф в направлений от М к.Ж- и обозначим через Аз, вектор М,М,+,. Величину силы Р в точке М, обозначим через Ре Тогда скалярное произведение Р;Аг~ можно рассматривать как приближенное выражение работы силы Р вдоль дуги М;М;+,.
А ~ Р~йлп Пусть Р= Х (х, у) Т+ У (х, у),/, где Х(х, у) и У(х, у) — проекции вектора Р' на оси Ох и Оу. Обозначив через Ьх~ и Ау, приращения координат х~ и у, при переходе от точки М, к точке М,+т, получаем Ьг,= Ьх |+Ау,,/. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ Следовательно, ге< Ьа, = Х (х„У<) Ьх, + У (х„У<) Ь У;.
Приближенное значение работы А силы Г на всей кривой МЖ будет А ж ~ Р;. Ьа< = ~~.", (Х (хн ут) Ьх;+У (х<, у<) Ьу<1. (1) Не делая точных формулировок, укажем пока, что если существует предел выражения, стоящего в правой части равенства при Ьа< — О (при этом, очевидно, Ьхг — 0 и Ьу; — О), то этот предел выражает работу силы )с по кривой».
от точки М до точки № А = 1пп ~ 1Х(х<, у<)Ьх;+У(х<, у<)Ьу,1. (2) ь«< -а-< = < ьа, о Справа стоящий предел *) называют криволинейным интегралом от Х(х, у) и У(х, у) по кривой 1. и обозначают так: А = < Х(х, у)<1х+У(х, у)с(у (з) или <нт А = ~ Х(х, у)<(х+У(х, у)йу.
(з) <м> Пределы сумм вида (2) часто встречаются в математике и механике, при этом Х(х, у) и У(х, у) рассматриваются как функции двух переменных в некоторой области 1л. Буквы М и Ж, стоящие вместо пределов интегрирования, заключены в скобки в знак того, что это не числа, а обозначения концов линии, по которой берется криволинейный интеграл. Направление по кривой Ь от точки М к точке Ь( называется направлением интегрирования.
Бели кривая Е пространственная, то криволинейный интеграл от трех функций Х(х, у, г), У(х, у, г), ь" (х, у, г) определяется аналогично: ~ Х(х, у, г)<(х+У(х, у, г)<(у+Я(х, у, г)<1г= я = 1пп ~ Х(х», у», г»)Ьх»+У(х», у», г»)Ьу»+2(х», у», г»)Ьг„. ь „- о»=< ьу»- 0 ьа» -+ о «) Здесь предел интегральной суммы понимается и том же смысле, как ато было и случае определенного интеграла, см.
$ 2 гл. Х1 т. 1. е)о КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ГЛ. ХЧ Буква Т,, стоящая под знаком интеграла, указывает на то, что интегрирование совершается вдоль кривой 1.. Отметим два свойства криволинейного интеграла. Свойство 1. Криволинейный интеграл. определяется подынтегралвным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак, так как при этом вектор йг, а следовательно, и его проекции Ьх и <)у меняют знаки. Свойство 2. Разобьем кривую Т.
точкой К на части Ц и Ц так, что М>т'=МК+ЖЧ (рис. 343). Тогда из формулы (1) непосредственно следует (Ф) (уо (А)) ~ хй +аду= ~ хй +аду+ ~ хй +ь йу. (м] <м> <к> Это соотношение справедливо для любого числа слагаемых. Отметим еще; что определение криволинейного интеграла остается в силе и в.том случае, когда кривая (4 Ь замкнута. К В этом случае начальная и конечная точ- ки на кривой совпадают. Поэтому в случае г замкнутой кривой мы не можем писать (У) >4 ~ Хйх+Уйу, а только ) Хйх+Уйу, укаРис. 343, (м ь зывая при этом обязательно направление об х о д а по замкнутой кривой Ь. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру 1. очень часто употребляется также символ фх ь+уйу. Замечание.
Мы пришли к понятию криволинейного интеграла, рассматривая задачу о работе силы ек' на криволинейном пути Е. В этом случае во всех точках кривой Т. была задана сила Г как векторная функция )Р от координат точки приложения(х; у); проекции переменного вектора е> на оси координат равны скалярным (т. е. числовым) функциям Х(х, у) и У(х, у). Поэтому криволинейный интеграл вида ~ Х йх+ 1'йу можно рассматривать как интеграл от векторной функции (О, заданной проекциями Х и 1'. Интеграл от векторной функции ег го кривой <'. обозначается символом ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2!1 Если вектор Е определяется своими проекциями Х, У, 2, то этот интеграл равен криволинейному интегралу ) Хйх+Уйу+ + ь йг. В частности, если вектор Е лежит на плоскости Оху, то интеграл от этого вектора равен 1 Х с(х + У'йу.
В тех случаях, когда криволинейный интеграл от векторной функции 1о берется по замкнутой кривой Е, этот криволинейный интеграл называют также циркуляцией вектора 1о по замкнутому контуру Е. й 2. Вычисление криволинейного интеграла В этом параграфе мы уточним понятие предела суммы (1) $ 1 и в связи с этим уточним понятие криволинейного интеграла и укажем способ его вычисления. Пусть кривая Е задана уравнениями ипараметрической форме х = ср (!), у = ф (!). Рассмотрим дугу Мс!с' этой кривой (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
