34_PiskunovT2 (523113), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Вычислим интеграл Пуассона е-"а дх. э 51 двойной интнгглл н полярных координатах 173 Решение. Вычислим сначала интеграл )и=~~в ~ е йхйу, где О область интегрирования Р есгь круг хе+уз=)7з (рис. 316). Перейдя в приведенном интеграле к полярным координатам О, р, получаеиз зн я зп н )и= ') ~ ) в а рйр )йй= — — ) е о ~ сЭ= гс(1 — в и). 1 г ! 3 2,) о о о о илн нз и (! в г) ~ ~ ~ в-к'-з',!хйу~ О' ° э,м (1-в ').
Рис. 317, Так как при Р' — «+ее, очевидно, )7! — «+ее и ))е — «+во, то крайние части неравенства стремятся к одному и тому же пределу и. Следовательно, к этому пределу стремится и средний член, т. е. Вш ~ ~ е а' Е' йх йу =и. 0'-«+ ы Пусть, в частности, область Р' — квадрат со стороной 2а с центром в начале координат; тогда а е а а ~З~)в " з йхйу= ) 1) в к а йхйу= ~ ') в к в у йхйу= О' и е -е -а Если теперь мы будем неограниченно увеличивать радиус )7, т. е. неограниченно расширить область интегрирования, то получим так называемый несобственный кратный иитвграт зи Г ы зи и (! (,- '~гв !ги- у (((,-«уе)га= и В е о Я +ы о о Н-«+ ы Покажем, что интеграл ) ) в " " йхйу стремится к пределу и, если о область Р' произвольной формы расширяется так, что в конце концов любая точка плоскости попадает в область Р' и остаегся в ней (такое расширение области Р' мы будем условно записывать соотношением Р' — +со).
Пусть )7, и ٠†наименьш и наибольшее расстояния границы области Р' от начала координат (рис. 317). Так как функции в " " > 0 всюду, то справедливы неравенства 7, ~Цв- -в*йкйу~), о КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ггл. ХГУ Вынесем теперь за знак внутреннего интеграла сомножитель е " (зто можно сделать, так как е " не зависит от переменной интегрирования х).
Тогда и г а Ц,-*'- 'а*о- ( *- '(( - 'а,)е. о -а -а Положим ~ е-"'ох Ва. Это — постоянное число (зависящее только от о); -а поэтому е а ) ) е х а пхну~ ~ е а Ваг(р Ва ~ е э пр, о О О а а ° ° й . р *. й -в.( у ° (.-"Г*=(;"е) а е следовательно, ~ ~ е "' а' ох ор =. ВеВ„= Ве. О' Перейдем в атом равенстве к пределу, заставляя стремиться а к бесконечности (при этом Р' безгранично расширяется): а ) +Ф ~е Нш (Рте " а'охну Мш Ва Нш Г)е-хеох = ~ е-х'пх О'-~+ ю а-~ + м а-~ + ю О' а -м Но, как было доказано (см. (5)), Нш ~~е х в пхну и.
о + ю Следовательно, с +о )з е-"е ох и, иля е-"еда= ф и. Ф Этот янтеграл часто встречается в теории вероятностей и в статистике. Заметим, что непосредственно вычислить этот интеграл (с помощьв неопределенного интеграла) мы бы не смогли, так как первообразная от е-хе не выражается в элементарных функциях. й й. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) Пусть в плоскости Оху дана область 1х, ограниченная линией А. Предположим, что координаты х и у являются функциями новых переменных и и гл л=~р(и, п), у= ф(и, о), (1) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ причем функции <р (и, о) и ф (и, о) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области Р', которая будет определена ниже.
Тогда по формулам (1) каждой паре значений и и о соответствует единственная пара значений х и у. Предположим далее, что функции !р и ф таковы, что если мы дадим хи у определенные значения из области Р, то по формулам(1) найдем определенные значения и и о. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оип (рис.
318). На основании сказанного следует, что каждой точке Р (х; у) на плоскости Оху (рис. 319) однозначно соответствует точка Р'(и; о) Рис. 3!9. Рис. 3!8. на плоскости Оио с координатами и, о, которые определяются по формулам (1). Числа и и о называются криволинейными координатами точки Р. Если в плоскости Оху точка опишет замкнутую линию Ь, ограничивающую область Р, то в плоскости Оио соответствующая точка опишет замкнутую линию 1.', ограничивающую некоторую область Р', при этом каждой точке области Р' соответствуег точка области Р. Таким образом, формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей Р и Р' или, как говорят, взаимно однозначно отображают область Р на область Р'.
Рассмотрим в области Р' линию и=сопз1. По формулам (1) найдем, что в плоскости Охд ей будет соответствовать, вообще говоря, некоторая кривая. Точно так же каждой прямой о= сопз1 плоскости Оио будет соответствовать некоторая линия в плоскости Оху. Разобьем область Р' прямыми и=сопз1 и о=сопз1 на прямоугольные площадки (при этом площадки, задевающие границу области Р', мы ие будем принимать в расчет). Соответствуехцими кривыми линиями область Р разобьется на некоторые криволинейные четырехугольники (рис. 319). Рассмотрим в плоскости Оио прямоугольную площадку ЛЯ', ограниченную прямыми и=сова(, и+Ьи=сопз1, о=сопз1, о+ ~гл. х|ч КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 17б + Ьо= сопз1, и соответствующую ей криволинейную площадку ЬЯ в плоскости Оху.
Площади этих площадок тоже обозначим соот- ветственно через ЬЯ' и ЬЗ. Тогда, очевидно, ЬЗ' = Ьи Ьо. Вообще говоря, площади ЬЯ и ЬЗ' различны. Пусть в области О задана непрерывная функция а=1(х у). Каждому значению функции а= 7'(х, у) в области О соответствует то же самое значение функции г = Р (и, о) в области 0', где Р(и, о)=1[ф(и, о), ф(и, о)1. Рассмотрим интегральные суммы от функции г по области О. Очевидно, имеет место следующее равенство: Х 1 (х у) Ь~ Х Р (и о) Ь~' (2) Вычислим ЬВ, т. е. площадь криволинейного четырехугольника Р,Р,Р,Р, в плоскости Оху (см. рис.
319). Определим координаты его вершин: При вычислении площади криволинейного четырехугольника Р,Р,Р,Р, будем считать линии Р,Р„ Р,Р„ Р,Р„ Р,Р, попарно параллельными прямыми; кроме того, приращения фуйкций будем заменять соответствующими дифференциалами. Таким образом, мы будем пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с бесконечно малыми Ьи, Ьо.
Тогда формулы (3) будут иметь вид хг = 'р (ию х,=ф(и, у~=ф(и, у,=ф(и, х,=ф(и, х4 ф(и уз=ф (и~ у,=ф (и, При сделанных допущениях криволинейный четырехугольник Р,Р,Р,Р, можно рассматривать как параллелограмм. Его площадь ЬЗ приближенно равна удвоенной площади треугольника Р,Р,Р, Р;(х;; Р,(х,; Р (х, Р, (х,; у,), х,=ф(и, о), у,), х,=ф(и+Ьи, о), у,), х,=ф(и+Ьи, о+Ьо), у,), х„=ф(и, о+Ьо), о), о) + — „Ьи, дф о)+ — „Ьи+ — Ьо, о) + — „Ьо, у;=ф(и, о), у,=ф(и+Ьи, о), у,=ф(и+Ьи, о+Ьо), у,=ф(и, о+Ьо). о), о) + — Ьи, дф о)+ д, Ьи+д Ьо, (3') о)+ — Ьо. дф ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ и находится по формуле аналитической геометрии: йо ж !(х.— х,)(у.— у,) — (х.— .)(у.— у,Н= ( д + д ) ди д~ ~ д ди ) ~ =! —" — "" —.-.
—" " — ".и ~ ди ди ди ди ди до ди ди да дф ЛиЛо; здесь вторые (внешние) вертикальные линейки означают, что этот определитель берется по абсолютной величине. Введем обозна- чение до до ди ди д4 д4 ди ди Таким образом, Ло ж (1) Ло'. (4) Определитель 1 называется функциональным определителем функций ф(и, о) и ф(и, о). Его называют также якобиаиом по имени немецкого математика Якоби.
Равенство (4) является только приближенным, так как в процессе вычисления площади Ло мы пренебрегли бесконечно малымп высшего порядка. Однако чем меньшими будут размеры площадок Ы и Ьо', тем это равенство будет точнее. Оно становится совершенно точным в пределе, когда диаметры площадок Ы и Л5' стремятся к нулю: ~1~= 1ип ьз жал ьз' -+ 0 а5 Применим теперь полученное равенство к вычислению двойного интеграла. На основании равенства (2) можем написать ~ ! (х, у) Ло ж ~~~', Г (и, о) ~ 1 ~ Ло' (ннтегральная сумма справа распространена на область Р'). Переходя к пределу при йаш ЛБ'- О, получим точное равенство: ) ) !(х, у)йхг(у= ) ) г" (и, о) ~ 1~дийо.
(5) и о Это и есть формула преобразования координат в двойном интеграле. Она дает возможность свести вычисление двойного интеграла по области Р к вычислению двой- КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ <ГЛ. Х!Ч ного интеграла по области Р', что может упростить задачу. Впервые строгое доказательство этой формулы было дано выдающимся русским математиком М. В. Остроградским. Замечание.
Переход от прямоугольных координат к полярным, рассмотренный в предыдущем параграфе, является частным Рис. 320. Рис. 321, случаем замены переменных в двойном интеграле. В этом случае и=О, о=р: дх дх де др ду ду дй др ! — рв1пе сове! ~ = — р з!и' Π— р соз' 6 = — р. Следовательно, ! 1 ) = р, и поэтому р ввв<в! !!ц*,вВьвв-!! ! в<в,рВввв)вв. О а Ф,<в) Эта формула и была установлена в предыдущем параграфе. П р и м е р. Пусть требуется вычислить двойной интеграл ) ~ (у — «) дх ду О по области 0 в плоскости Оху, ограниченной прямыми ! У 1 у=х+1, у=х — 3, у= — х+ —, у= — — х+5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
