34_PiskunovT2 (523113), страница 26
Текст из файла (страница 26)
у=(Сдсоз у' 2х+Сзв1п)г' 2«)е "+ -)-(С соз р«2х-(-Сг в1п)г' 2«) е«. 145. удгг — 8у"-(-!бу=б. Отв. у=Стев«+Сде-з" + и 2 х х +Сазе"+Сазе-д". 146. у!в+у=б. Оеы. у=е ~Сд сов=+С,зш=)+ )г2 )г2) ы 2 х х +е ~Сзсоз =+Сев!ив )г 2 у'2) 147. уду — агу=О. Найти общее решение и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у=1, у'=О, у"= — а', у"'=О при хе =О. Оте. Общее решение: у=Сев«+С е-е" +Сз сов ах+Се з!пах. Частное рещение: уе — — соз ах, Проинтегрировать следующие неоднородные линейные дифференциальные уравнения (иайти общее решение): !2х+7 !48. у" — 7у'+!2у=х.
Оте. у=Стев" +С,ег«+ . 149. з" — ада=!+!. !44 !+! Отв. з=С,е'д+С,е-ед — —. 150. у" +у' — 2у=8з!и 2х. Оте, у=С,е«+ аз + Сде '-" — — (6 зш 2х+2 сов 2х) . 15!. у" — у=5х+2. Оте. у=С,е" +С,е-" — 5х — 2. 1 д ед 152. з" — 2ш'+а~в=ее (а ю 1). Оте. в=Стет+Се!еед+ — . 153. у" + ( — !)д ' ! +бу'+5у=ез«. Оте.
у=С,е-"+С е-г«+ — е*«. 154. у"+9у=бе'«. Оте. 1 у=СдсовЗх+С,в!пЗх+ — ез". 155. у' — Зу'=2 — бх. Оаы. у=Сд+Сдез" +хд. ! 3 е-« !бб.у" — 2у+Зу=е-" созх. Оте. у=е" (С, соз)г2х+С,вшзг 2«)+ — (5созх— 4! — 4в1пх)., 157. у"+4у=2з!п2х. Оте. у=С!в!п2х+Сдсоз2х — — соз2х. 158. у"' — 4у" + 5у' — 2у =2х+3. Оте. у = (Сд+ Сдх) е" +Саед" — х — 4. 159. Уду — азУ= бадее«в!пах.
Оте. У=(С,— ею ах) ее" +Сде-е«+Сз совах+ +Сдвйдах. 160. удгг+2азу +аду=В совах. Оте. у=(Сд+Сзх) совах+ г +(Се+ Сех) з!и ах — — соз ах. ад !61. Найти интегральную кривую уравнения у" +й'у=б, проходящую через точку М(хе; уз) и касающуюся а точке М прямой у=ах. Оте. у= а = уе Соз й (х — хе)+ — в!п й (х — хз) й 162. Найти рещение уравнения у"+2йу'+иду=О, удовлетворяющее услоС+ай виям у=а, у'=С при х=б. Оте. у=е-""! а сову' ад — йдх+ Х у' лд — йд дСзш)г л' — й'х) при й < л; у=е "" ((С+ай) х+а) при й=а; у = С+а(й+)гйз — аг) („уг — „„,)«С+а(й — $~йа — ад) („„,,„—,„,), 2)г йд — ад 2)г !Р— аз нри й>л.
УЛРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х!!! 149 163. Найти решение урзвнения у"+ату=йзш рх (р Д а), удовлетворя!ощее С (пэ — ре) — Ир условиям у=а, у'=С при х=О, Отв. у=асозпх+ ., з в1пах+ а (аз — рз) И + —,, з1п рх. и' — рэ 164. Груз массой 4 кг привешен к пружине и увеличивает ее длину на 1 см. Найти закон движения этого груза, полагая, что верхний конец пружины совершает гармоническое колебание, закон которого у=Шик' 1009!, где у измеряется по вертикали. Решение.
Обозначая через х вертикальную координату груза, считаемую от положения покоя, имеем 4 азх — — = — И (х — у — !), у аы где С вЂ” длина пружины в свободном состоянии и И= — 400, как легко видеть пз аэх начальных условий. Отсюда — „, +100ух = 1009 згп у' 10091+100)у. Частный «ССз интеграл этого уравнения мы должны искать в виде С (Сх соз9г!009!+ Сэ вШ)С 1009!)+1„ так как первый член правой части уравнения входит в решение однородного уравнения. 163. В условиях задачи 139 начальная скорость равна ов и направление перпендикулярно к прямой, соединяющей центры. Найти траектории. Решение. Если начало координат взять в середине расстояния между центрами, то дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий Фх с(эу вид: т — 1-=И (С вЂ” х) — И (С+х) = — 2Их, т — = — 2Иу.
Начальные данные ас агз при С=О: «Сх «Су х=а, — =О, у=О, — =ать аС ' ' гСС Интегрируя, находим х=асоз( ~ — С) у=аз~l — згп( ~С). х' у'2И Отсюда — + —,=! (эллнпс). твв 166. Горизонтальная трубка вращается около вертикальной оси с постогнной угловой скоростью ы.
Шар, помещенный внутри трубки, скользит по ией без трения. Найти закон движения шара, если в начальный момент он находится на оси вращения и имеет скорость эв (вдоль трубки). с(зг У к а э а н и е. Дифференциальное уравнение движения есть — ызг. На«!!э «Сг нэ чальные данные: Г=О, — =оэ прн 1=0. интегрируя, находим г= — (ввс — в-а'). ' ас 2ы Применяя метод вариации произвольных постоянных, проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения: 167. у" — 7у'+бу= нюх. Отв.
у=Стех.+С,ввх+ 5 з!и х+ 7 сов х 74 168. у" + у = «ес х. Отв. у = С! соз х+ Сз з1п х+х з!п х+ соь х 1и сов х. ! 169. У"+У= . Отв. У=ССсозх+Сзз!пх — )гсов2х. соз 2х)Г соэ 2х Проинтегрировать следующие уравнения различных типов! 150 диффврннцилльнын жнлвннния !гл хн! 182. 4 «!х «!у 3 1 Отв. »=С~е-~+Сее-Ц ~И «(1 ' У=С«е-«+ЗС е-'«+сов 1. «(х — + д = соз 1.
Л !83. аад Отв. х=С е«+С е-«+Се сов!+Сев!и!, «!1в у = С«е + Сае -« — Са соз 1 — С«з!и 1. аех -»у «)гв 184. «(ах «!у е+ +» е ° ««х «(ау — + — =1, «(1 ЛР Отв. х = С«+ С,! + СвР— — (а+е«, 1 6 У=С,— (С,+2С,)!в 1 е 1 1 — — (Са — 1) Р— — Св!а+ — 1« — е«.
2 3 24 Оте. У=(С«+С,х) е-'" г=(Се — Съ — Сех) е 186. Уд — ~г — д, «(х аг — =е — у — Зг, Т«(х 186. Ыу ах „— „+4У О. 187. «(у «(х — +2У+г=зш х — — 4У вЂ” 2г= сов х аг дх О«нв. У=С еах.» С е-е» г= — 2 (Съе~ — Сее-е») Оте У=С1+Сех+2в1л к, г= — 2С1 — С,(2» . ц — 3 з1п х — 2 соз х. 170 уу у«а+1 Отв у !ес«(к-с«)» е-с«!х — с«ъ~) 17! 1 кт «»у — уч «)х =О. 2С« ' ' (к — у)' Овы.
— =С. 172. У=»у" +у'е. Отв. у=-()«х+!+С)е, Особые решения: 'х — у У=О, х+1=0. 173. у"+у=всех. Отв. У=С,соах+С,з!их+хе!пх+ -»-созх!псозх. 174. (!+хъ)у' — хд — а=О. Отв. У=ак+Ср' !+хт. у «!д д ъ«ив в 176. х соз — — =у соз — х. Отв, хе " = С. 176. у" — 4У = ее" и!п 2х. Оте. х. «(х х ев» У=С е-ъ'+С еех — — (з!и 2»+2 сов 2»). 177.
хд'+у — уе !их=О. Отв. ъ 20 (!пх+1+Сх) у=!. 178. (2х+2У вЂ” !) «)х+(х+у — 2) «!У=О. Отв. 2х+у— — 3 ! и (х+ у + 1) =С. 1 79. Зе' ! и д «!х+ (1 — е") вес* у «)у = О. Отв, ! К у = С (1 — е")'. Проинтегрировать следующие системы уравнений: «!х «(у 180. — =у+1, — =х+1. Выделить частные решения, удовлетворяющие ' «(1 ' «(1 начальным условиям х= — 2, У=О при 1=О. Оиы. У=С«е«+С е « — 1, х=С«е« вЂ” С,е-« — !. Частное решение: к'= — е « — 1, у'=е « — !.
181. — =х — 2у, — =х — у. Выделить частные решения, удовлетворяюлд «И ' а'1 щие начальным условиям х=1, у=! при 1=О. Отв. У=С«сов!+С,з!и!, х=(С +С ) соз)+(Се — С ) з!пг. Частное решение: хе=сов( — вш 1, у*=сов(. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Хг!! 151 Отв, х=С,в-г+С,взг, У=Се-г+С, г, г= — (Сг+Сз) в-Г+С,е'!. бх — =у+аз мг Ыу — х+г, М Ыг — =х+у, сй Отв, г=с вС1х 1 с,а у =х+ — в СС "( г!у — =1 —, г(х г Ыг 1 Исследовать, является ли решение систем дифференциальных уравнений; Отв, Неустойчиво.
Отв, Устойчиво. Отв. Неустойчиво. 194. Найти приближенные значения решения уравнения у'=уз+х, удовлетворяющего начальному условию у=! при х=О. Значения решения найти при значениях х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Отв. У(0,5) =2,235. 193. Найти приближенное значение у!х ! а решения уравнения 1 у+х у удовлетворяющего начальному условию У=1 при х=1. Сравнить полученный результат с точным решением. 196. найти приближенные значения х)! г, и у)! ! 4 решений системы уравнений г(х — у — х, г!г — = — х — Зу, бу ггт удовлетворяющих начальным условиям к=О, у=1 при 1=1. Сравнить лолучениые значения с точными.
191. бх — =2х — Зу, ~й — = 5х+ бу. бу 31 192. ух — = — 4к — 10у, ~й — =х — 2У. ду 41 193. гГх — = 12х+ 1Зуг г(! — = — 8к — 12у. г)у ~й г Отв. = — Сг, у 3 гуз — — ха = Са. 2 к=О, у =0 устойчивым для следующии ГЛАВ А Х1Ч КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ !. Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую*) область В, ограниченную линией Е. Пусть в области Р задана непрерывная функция г = 1(х, у). Разобьем область 0 какими-нибудь линиями на и частей таоо стЗ„Ы„..., сто„(рис. 292), которые будем называть площадками. Чтобы не вводить новых символов, будем обозначать через ЛЯо ..., стЗ„не У только названия соответствующих площадок, но и их площади.
В каждой из площадок ЬЯ, (внутри или на границе †безразлич) возьмем точку Р,; тогда будем иметь и точек Р;, Р„ . .. Р„. ло) Обозначим через Г(Рт), '1(Роа), ..., Г(Р„) Р; значения функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида Г(Р;) оЯг: ~~. ='1 (Рт) А~. +1(Ра) А~а+ " ° л ... +1 (Р„) АЯ„= 2 1(Р,) А~,. (1) Эта сумма называется ннщегральной суммой для функции 1(х, у) в области )г. Если 1) О в области Р, то каждое слагаемое 1(Рг) ЛЯг можно представить геометрически как объем малого цилиндра, основание которого есть АЯо а высота )(Ра).
Сумма )г„есть сумма объемов указанных элементарных цилиндров, т. е. объем некоторого «ступенчатого» тела (рис. 293). е) Область 0 называется золкнулюй, если она ограничена замкнутой линией, и точки, ленаащие на границе, считаются принадлежащими области В. двоинои интвгглл Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции )(х, у) для данной области 0: 'г'„„'г'„„..., У„„, ...
(2) при различных способах разбиения области 0 на части ЛЗп Будем предполагать, что максимальный диаметр площадок ЛЯ~ стремится к нулю при пь. оо. При этом оказывается справедливым следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства. Рис. 293. Рис. 294. Теорема 1.
Если функция ~(х, у) непрерывна в замкнутой области Р, то существует предел последовательности (2) интегральных сумм (1), если максимальный диаметр площадок ЬЗе стремится к нулю, а и — оь. Этот предел один и тот жв для любой последовательности вида (2), т. е. он не зависит ни от способов разбиения области Р на площадки ЬБо ни от вырора точки Р, внутри плошрдки ЬЯ, Зтот предел называется двойным интегралом от функции 1(к, у) по области 0 и обозначается так: ) ) 1(Р) дБ или ) ~ ~ (х, у) ахйу, о о т. е. йщ ~~ )(Рс) Лос= )) Г'(х, у)йхйу. ецпьз,- о;-1 о Здесь область Р называется областью интегрирования. Если ((х, у)) О, то двойной интеграл от функции 1(х, у) по области Р равен объему тела Я, ограниченного поверхностью, образующие которой параллельны оси Ог, а направляющей служит граница области 0 (рис.
294). Рассмотрим, далее, следующие теоремы о двойном интеграле. Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций ~р(х, у)+ф(х, у) по области 0 равен сумме двух двойных интег- ~гл. хга КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ралов по области 0 от каждой из функций в отдельности: ) ~ ~~р(х, у)+$(х, у)]йЯ= ~) ~р(х, у)йз+ ) ~ар(х, у)й3. о а 0 Теорема 3. Постоянный множитель леожно вынести за знак двойного интеграла: если а=сонат, то ~~а~р(х, у)йЯ=а~~~р(х, у)с5. Доказательство обеих этих теорем приводится совершенно так же, как доказательство соответствующих теорем для определенного интеграла (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
