34_PiskunovT2 (523113), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На фазовой плоскости особая точка — неуепгойчишхй узел: при 1 — + оо точка на траектории удаляется от точки покоя х=О, у=О. Пр имер 2. Исследовать устойчивость решений системы х йу — =х, — =2у. йг ' йг Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение будет 9 а11 ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОИЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 119 Решение будет х = х,ет у = усеет Решение неустойчиво, так как !х(О) — +оь, )у(О) — +се при 1 — ++ее. Исключая 1, получаем (рис.
283). Особая точка 0(0; О) есть неустойчивый уэел. Рис. 283, Рнс. 284. Па. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например, )1~0, А, < О. Из фоРмУл (9) следУет, что пРн как Угодно малых (хе( и ~ уе (, если оке+луч — хе) е Ф О будет (х(1)! оо, ( у(() ~ — оо прн 1 — + оо. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.
Пример 3. Исследовать устойчивость решения системы — =х, — = — 2у. йу й( Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение будет 1 — Х 0 0 — 2 — Х! следовательно, Ат=1, Аа= — 2. Решение будет х=хеес, у=уое Решение неустойчиво. Исключая параметр О получаем семейство кривых на фааоиой плоскости ухе уехо Особая точка О (О; О) есть седло (рис. 284). ау. Корни характеристического уравнения комплексные 0 отрицательной действительной частью: й,1=се+(Р, Ах=се — (р(а<О). Решение системы (4) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
ХШ будет х=е"'[С,созВ!+Соз!ИЩ, у = — е" ' [(аС! + 1!С, — сС,) соз 6! + (аСо — ВСс — сС,) з!п Щ ! (15) й' Если ввести обозначение С=Р'С',+С!, з!И 6= — ', соз Ь= ', то уравнения (15) можно переписать в виде х= Се"'з!п(В!+6), у — [(а — с) з!пфу+6)+Всозф!+6)1, Сею (16) где Ст и С,— произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий х=х„у=у, при (=О, причем х, = С з!п Ь, у, = — [(а — с) з!и 6+В созЬ], С откуда находим С! — — х„ В ууо — хо (а — с) (17) Снова заметим, что селим = О, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится.
Очевидно, что при любом е>0 при достаточно малых !хо) и (у,! будут выполняться соотношения ) х (!) 1 ( е, ~ у (!) ~ ( е. Решение устойчиво. В данном случае при г — +оо х(!) — 0 и у(!)- О, неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом. П р и и е р 4. Исследовать устойчивость решения системы уравнений ох оу — = — к+у, — = — х — у. ш ' т Решение. Составляем характеристическое уравнение н находим его корни: ~=0, )оо+2А+2=0, ! Хе = — 1 ~ 1й и= — 1, В=1. Находим С! и С, по формулам (!7): Со=хо, С,=уо. Подставляя в (1б), получаем х=е-! (х, соз !+уз а!п !). у=о-о (уо соо ! — хо а!и !).
(А) Очевидно, что при любых значениях ! !я!~!хо!+1 уо 1, !у!~!хо!+1уо 1. При ! — +оо имеем х(!) — О, у(!) — О, Решение устойчиво. узЦ ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 121 Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в атом случае. Преобразуем выражения (А). Пусть к»=М сов 6, у»=М згп 6» М= к»+ее, 1К 6— Уе ке Тогда равенства (А) примут иид к=Ме гсоз (1 — 6), у=Ме-талип (1 — 6).
(В) На фазовой плоскости перейдем к полярным координатам р и 9 и установим зависимость р=)(9). Уравнения (В) принимают вид рсоа 9=Ме-г сов(1 — 6), рзИ9=Ме-га1п(1 — 6). (С) Возведя в квадрат правые и левые части и складывая, получим ре Мхе-ет или р=Ме-Й (О) Установим зависимость 1 от 9. Деля члены нижнего из равенств (С) иа соответствующие члены верхнего равенства, получим 1н 9=1я (1 — 6), откуда Подставляя в (Г»), получаем 1= 9+6. -<е+ е» или р= е -а-е Обозначая Ме ~=М1, окончательно получаем р=М,е-е (Е) Это семейство логарифмических спиралей.
В атом случае при 1 — ее точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка 0 (О; О) есть усшойчаеыа фокус. АГ. Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью: йт=а+(Р, )ье=а — 1() (а> О). В атом случае решение также выразится формулами (15), где а > О. При любых начальных условиях х, и уе()г хе+уз еФО) и при 1 +оо величины х(1)~ и )у(1)( могут принимать как угодно большие значения.
ешение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат. П р имер 6. Исследовать устойчивость решения системы уравнений ок оу — =к+у, — = — к+у. с(1 о1 Решен ие.
Составим характеристическое уравнение: 1: —.= .„~=0, йе — 2Х+2=0, 1 — Х 1 61=1+6 бе=1 — 1. (гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНР!Я 122 Решение (!5) с учетом (17) в данном случае будет х=е'(хе сов !+ус в!и !), у=с! (у, сов 1 — хе в!и О. На феновой плоскости получим кривую в полярных координатах — е р=М,е Особая точка †неусшойние О)охус (рис. 285). Рис. 285. Рис.
288. '(11. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: 1!= ф, Хе= — ф. Решения (15) в этом случае примут вид х= С,спарт+С, 3!пре, у = — (фС,— сС,) созр(+( — РС! — сС,) з)п р(1. Ю Постоянные С; и С, определяются по формулам (17): С,= „С,='У+'* . (10) Очевидно, что при любом е > 0 и прн всех достаточно малых) хе~ и ( де ~ будет (х (1) ( ., е, ( у (1) ~ ( е при любом С Решение устойчиво. Здесь х и у — периодические функции от С Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (10) записать в следующем виде (см. (1б)): х = С з1п ф(+ б), у= — соз ф1+б) — — з(пф1+б), С() Сс (20) е у где С, б — произвольные постоянные. Из выражений (20) следует, что х и р — периодические функции от 1. Исключаем параметр 1 из уравнений (20): Сб ха с р= — 1 — — — х.
е С йзц ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 123 Освобождаясь от радикала, получим (21) Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая нз них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с= О осп эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 288).
Пример 6. Исследовать устойчивость решения системы уравнений Вх Ву — =у, — = — 4х. ш ' м Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ~=0, Лз+4=0, Л= Ш 2С вЂ” Л 1 — 4 — Л Решения (20) будут х=Сзш(2/ц б), у=2Ссоз(2/+6), Уравнение (21) будет иметь вид хз Т уз хэ э 4Сг / 1 Сэ )' 4Сх ' С' На фазовой плоскости имеем систему эллипсов. Особая точка †ценг, 'х/11. Пусть Л;=-О, ), < О. Решение (8) в этом случае при- нимает вид х=СП у=Сэе-Ц Решение, удовлетворяющее начальным условиям х=хе, т Очевидно, что решение устойчиво. Дифференциальное Вх плоскости будет — =О.
Общий интеграл будет х=С. (Р) у=уз прн 1=0, будет (у) уравнение на фазовой Траектории — прямые, х = Ст + Сзехи у = — ( — С,с+ С, (Л.,— с) еху). 1 (22) у Очевидно, что при любом е > О и при достаточно малых (х,~ и ~ уе) будет )х(/)) < е, ) у(1) ) < в при / > О. Следовательно, решение устойчиво. П р и м е р 7. Исследовать устойчивость решения системы — "' =о, — = — у. ву ш ' ш Решение.
Находим корни характеристического уравнения; ! Л," ~=О, Л+Л=О, Лт=О, Л,= — 1. Здесь у=о. Решения находим непосредственно, решая систему, не пользуясь формулами (2х2): (гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ параллельные оси Оу. Из уравнений (у) следует, что точки по траекториям приближаются к прямой у=О (рис. 287).
ЧП1. Пусть Л»=О, Ла) О. Из формул (22) или (8') следует, что решение неустойчиво, так как ~ х (() (+! у(() ~ — оо при г — +оо. 1Х. Пусть Л»= Л, < О. Решение будет х = (С»+ Са() еа', у = — вх ' 1С» (Л, — с) + С, (1-1- Л,( — с()). х» Так как ва» О и (ехм — О при (- +со, то для любого е) О Рис. 287. Рис.
288. можно подобрать Ст и С, такие (путем выбора х, и у,), что будет (х(()(<е, (у(»)1<в при любом ()О. Следовательно, решение устойчиво. Прн этом х(() — О и у(!) — О при г — -(-со, Пример 8. Исследовать устойчивость решения системы с(х»(у — = — х, — = — у. »(( ' б( Решение. Находим корни характеристического уравнения» — 1 — Л 0 Л~=О, (Л+Ц'=О, Л,=Л,= — !. Здесь у=О. Решение системы будет иметь форму (8'): х= С»е- », у= С,е-», причем х — «О, у«0 при ( — «+ о».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
