34_PiskunovT2 (523113), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки Так как решения большинства дифференциальных уравнений и систем уравнений не выражаются через элементарные функции или квадратуры, то в этих случаях при решении конкретных дифференциальных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Понятие об этих методах было дано в 2 3; кроме того, некоторые из этих методов будут рассмотрены в Я 32 — 34, а также в главе Х'к'1.
Недостаток этих методов заключается в том, что они дают только одно частное решение; чтобы получить другие частные решения, нужно все вычисления проводить снова. Зная одно частное решение, нельзя сделать заключение о характере других решений. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т.
д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений. диэевгвнцилльныв уравнения (гл. хш Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А. М. Ляпуновым (1857 — 1918). Пусть дана система дифференциальных уравнений — „"",=11((,х,у), Ф,=~,((,х,у). (1) Пусть х=х(() и у= у(() — решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям х11=о ха~ у! г=о уе Пусть далее, х=х(() и у=у(() — Решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям 4 ~=а=де у! С=в= у.
(1") Определение. Решения х=х(() и у=у((), удовлетворя щие УравнениЯм (1) и начальным условиам (1 ), называются устойчивы-ии по Ляпунову при 1 — со, если для каждого как угодно малого в > О можно указать 6 > О такое, что при вс „ значениях ( > О будут выполняться неравенства ( х (() — х (()( < е, ) у (() — у (() / е в (2) если начальные данные удовлетворяют неравенствам )х,— х,((6, (у,— у,~(6. (3) Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях (.
Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных. Разберем зто на примере одного уравнения первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение пу — = — у+ 1. УГ (а) Общим решением этого уравнения является функция у = Се-г -1-1. (б) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(а=а=1 (в) Очевидно, что зто решение у=1 получится при С=О (рис. 281).
Найдем, далее, частнсе решение, удовлетворяющее начальному условию У(т=е=уе азы ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 11б Найдем значение С из уравнении (б): у,=С+1, откуда С=у — 1, Подставляя вто значение С в равенство (б), получаем у=Ь.-!) е-'+1. Очевидно, решение у=! является устойчивым. Действительно, у — у=((уе — 1) е !+1) — 1=(уе — 1) е-т — 0 при 1- ео. Следовательно, при произвольном а будет выполняться неравенство (3), если будет выполняться неравенство (уо — 1)=б < е.
Если уравнения (1) описывают движение, где аргумент 1 есть время, и при этом уравнения не содержат явно времени 1, т. е. имеют вид — „— 1,(х, У), — „, — 1,(х, У), Рнс. 281, то эта система называется автономной. Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений — =сх+ду, — „=ах+Ьу. о» и'у (4) Будем предполагать, что коэффициенты а, Ь, с, й постоянные, при этом очевидно, что х=О, у=О есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение х=О, у=О было устойчиво.
Эта исследование проводится так. Дифференцируем первое уравнение и исключаем у и — на пу Ж основании уравнений системы: —,=с — „! +й — „=с — „! +Я(ах+Ьу)=с — +йеах+Ь 1! — „! -сх), О» г о» или ве» б» вЂ” „, — (Ь+с) — — (ад — Ьс)х=О. (5) 1гл. хги ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1!6 Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид Л' — (Ь+ с) Л вЂ” (ад — Ьс) = О.
(5) (8) Это уравнение принято записывать в виде определителя Г." -'.1=' (7) (см. уравнение (4) з 30). Обозначим корни характеристического уравнения (7) через Лг и Л,. Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы (4) определяется характером корней Л1 и Л,. Рассмотрим все возможные случаи. 1.
Корни характеристического уравнения дей- ствительные, отрицательные и различные: Л,(0, Лв (О, Л1ФЛв Из уравнения (5) находим х = С,е"' + С,е"*'. Зная х, из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид х = С,еь ' + С,еь ', у = [Сг (Л, — с) ех '+ С, (Л, — с) еьв'1 — . 1 Ы Замечание. Если у=О и ачьО, то уравнение (5) мы со- ставим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы (4) находим х.
Структура решений (8) сохранится. Если же у=О, а=О, то решение системы уравнений принимает вид: х=С;е", у=С,е". (8') Анализ характера решений в этом случае производится проще. Подберем С, и С, так, чтобы решения (8) удовлетворяли начальным условиям х~, в=х„у~, в=уо. Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет ехо+ауо — хохв оа хоае — ехв — яув х Л Л е" + Л„Л е (9) (ехо+ЯУв — хохв(Л А ~ хвЛ1 — ехо — ЯУо Л ~) еь,11 У= — 1 — С Лв — 1|,в Из последних равенств следует, что при любом е > 0 можно вы- бирать 1хв~ и (у,1 столь малыми, что для всех 1) 0 будет 1х(1) ~(е, (у(1) ~ ( е, так как е.а(1; е" (1.
Отметим, что в данном случае 1пп х (1) = О, 1пп у(1) = О. 1 -о + а 1- + вам ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 11Т Рассмотрим плоскость хОу. Для системы дифференциальных уравнений (4) и дифференциального уравнения (5) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (8) и (9) системы (4) будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости хОу: х = <р (1, Ст, С,), у = ф (Т, С;> С,), х= р(Т. х.. уа), у=ф(1, х., уа). (11) (12) которое получается из системы (4) путем деления друг на друга правых и левых частей.
Начало координат О(0; О) является особой точкой для дифференциального уравнения (13), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения. Характер решений (9) и вообще решений системы (4) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых Р(х, у, С)=0, образующих общий интеграл дифференциального уравнения (13). Постоянная С определяется из начального условия у~„„= у„, После подстановки значения С получаем уравнение семейства в форме р (х у ха уа). (14) В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом.
Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при 1 — + оо. Очевидно, что соотношение (14) может быть получено путем исключения параметра 1 из системы(12). Не производя в дальнейшем полного анализа характера расположения интегральных кривых вблизи особой точки на фазовой плоскости при всех возможных случаях корней характеристического уравнения, ограничимся иллюстрацией этого на простейших примерах, не требующих проведения громоздких вычислений. Отметим, что характер поведения траекторий уравнения (!3) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах качественно такой же, какой будет рассмотрен в примерах.
Пример 1. Исследовать устойчивость решения х=О, у=О системы уравнений лх — = — х, М Эти кривые являются интегральными кривыми, или траекториями дифференциального уравнения ду ох+ Ьу ах сх+ду ' 1гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 118 Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение будет 0 — 2 — )«~ Корни характеристического уравнения Ат= — 1, Решения (8') в данном случае будут х= Сгв у=Сев Решения (9) будут х=хвв-г, у=у,в-'г. (а) Очевидно, что х(1)«0 ну (Π— «о при 1 — «+ав. Решение х=о, у=о устойчиво.
Обратимся теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр Г из уравнений (а), получаем уравнение вида (14) ( — ) = —. (б) Это семейство парабол (рис. 282), Уравнение вида (13) для данного примера будет йу 2У Йх х Интегрируя, получаем 1и) у (=2 1и!х(+1п! Сй У=Сх'. (в) Определим С из условия С= — ув .
хв у!в=ха=уз Рис. 282. 0 2 — 1«! )«1=1, А =2. его решения Подставляя найденное значение С в (в), получаем решение (б). Особая точка 0(0; О) есть устойчивый узел. П. Корни характеристического уравнения действительные, положительные, различные: )чг) О, )«з) О, )«1 ~ Хз. В этом слУчае РешениЯ выРажаютсЯ также фоРмУ- лами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых (хв) и ) ув( будет )х(1))- сю, (у(1)! — оо прн 1 — +со, так как е' ' — оо н еьй — оо прн 1 — + со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
