34_PiskunovT2 (523113), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, последнее равенство принимает внд С;у,'+ С; пз' = 1(х). (9) Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции С, н С, удовлетворяют системе уравнений (8) н (9), т. е. если С,у, + Сзуз = О, С,у„+ Сзуз = ~ (х). Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений ут н у, уравнения (2), то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдем С; н С; как определенные функции от х: С;=шг(х), С,'=~р,(х). Интегрируя, получим С,= ~ ~р,(х) с(к+С„С,= ~ фз(х) с(к+С„ где С, н С,— постоянные интегрирования. Подставляя полученные выражения Ст н С, в равенство (7), найдем интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных С, н С„т.
е. общее решение неоднородного уравнения*). Пр имер. Найти общее решение уравнения у" — =х. У х Р е ш е н и е. Найдем общее решение однородного уравнения д — О. Так как —,= —, то!пу'=1пк+1пс; у'=ох; итак, У=Стяг+Се. у" ! у' х' Чтобы последнее выражение было решением данного уравнения, надо определить Сз и С, как функции от х из системы Сзх +Сз 1=0, 2Сгх+Сз О=к. Решая зту систему, найдем Сг = г/з, Сз = — хз/2, откуда в результате интегрирования получаем х хз С,= — +С,, С,= — — +С,. 2 ' б Подставляя найденные функции в формулу У=Сзхз+С„получаем общее решение неоднородного уравнения з у = Сзхз+ Сз+ — —.
2 б' хз или У=Сгхз+Сз+ —, где Ст и Сз- произвольные постоянные. 3 ' ') Если положить С,=С,=О, то получим частное решение уравнения (1). !гл. хш ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При отыскании частных решений полезно пользоваться результатами следующей теоремы. Теорема 2. Решение у* уравнения у" +а,у'+а,у=)г(х)+), (х), (10) где пРаваа часть есть сУмма двУх фУнкций !г (х) и !г (х) е), можно представить в виде суммы у*= у',+у;, где у", и уг — соответственно решения уравнений у,*"+ а,у,"'+ а,у,*" = )г (х), у,""+ агу~'+ агут = )а (х).
(11) (12) Доказательство. Складывая правые и левые части равенств (1!) и (12), получим (У,"+ У,")" + а, (У,*+ У,)'+ а, (У,*+ У,*) = уг (х)+ 1а (х). (1З) Из последнего равенства и следует, что сумма у +уг =у' есть решение уравнения (10). П р им ер. Найти частное решение у' уравнения у" +4у = х+~» Решен ие. Частное решение уравнения уг +4уг =х будет ! уг = — х. 4 Частное решение уравнения уг +4уг =Зех будет * 3 уг = е» 5 Частное решение уе данного уравнения будет ! 3 у'= — х+ — ех. 4 5 й 24.
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть имеем уравнение у" + ру'+ уу = 1 (х), где р н д — действительные числа. ") Очевидно, что соответствующая теорема остаегся справедливой при любом числе слагаемых правой части.
э 241 нводнородныв уравнения второго порядка 85 В предыдущем параграфе был указан общий метод нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда бывает возможно найти проще, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1). 1. Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.
е. имеет вид 1(х) = Р„(х) е"', (2) где Р„(х) — многочлен п-й степени. Тогда возможны следующие частные случаи: а) Число се не является корнем характеристического уравнения йе 1 Рй 1 4=0. В этом случае частное решение нужно искать в виде у* (Аехь+. А х -т+ +.А ) еоа Я (х) еоа (3) Действительно, подставляя у' в уравнение (1) и сокращая все члены на множитель е ", будем иметь: 1Е„" (х) + (2а+ Р) Я„' (х) + (сев+ ра + д) (Е „(х) = Р„(х).
(4) Я„(х) — миогочлен степени и, се„'(х) — многочлен степени и — 1, 1~„"(х) — многочлен степени и — 2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены и-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно а+1), получим систему л+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов А„А„А„..., А„.
б) Число а есть простой (однократный) корень характеристического уравнения. Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (3), то в равенстве (4) слева получился бы многочлен (а — 1)-й степени, так как коэффициент при Я„(х), т. е. аа+ра+д, равен нулю, а многочлены 1е„'(х) и 1е„(х) имеют степень, меньшую п. Следовательно, ни при каких А„А;, ..., А„равенство (4) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена (и+1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого много- члена исчезнет при дифференцировании) е): у =хач(х) е-.
в) Число а есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифференциальное уравнение функции Я„(х)е"" степень многочлена пони*) Заметим, что все приведенные выше результаты остаются в силе и в том случае, когда а — комплексное число (это следует нз правил дифференцирования функции ем", где и — любое комплексное число; см. 4 4 гл.
УН). диэеерннцилльныв нрлвнвния !гл. хш жается на две единицы. Действительно, если а — корень характеристического уравнения, то се»+ рог+ д = О; кроме того, так как а является двукратным корнем, то 2а= — р (так как по известной теореме элементарной алгебры сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обратным знаком). Итак, 2се+р = О. Следовательно, в левой части равенства (4) останется Я„"(х), т.
е. многочлен (и — 2)-й степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени л, следует частное решение искать в виде произведения е"" на миогочлен (и+2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно ие включать .в частное решение. Итак, в случае, когда а является двукратным корнем характеристического уравнения, частное решение можно брать в форме у» хая (х) аах Пр имер 1, Найти общее решение уравнения у" + 4у'+ Зу = х. Решение.
Общее решение соответствующего однородного уравнения есть у = С,е -" + С,е -»". Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид хе»» (т.е. вид Р,(х)е»"). причем О не является корнем характеристического уравнения яа+4Л+3=О, то частное решение будем искать в форме у»=О, (х) е»", т. е. положим у» = А»х+ А ь Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь 4А»+3(А»х+А,) =х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим ЗА»=1' 4А»+ЗАт=о откуда А» = 1/3 Ат = — 4/9. Следовательно, 1 4 у»= — х — —.
3 Общее решение у=у+у» будер 1 4 у = Сте-х+ С,е-ах+ — х — —. 3 9' Пр и мер 2. Найти общее решение уравнения р'+ 9у = (хз+ !) е»". Решение. Общее решение однородного уравнения найдем легко: у=С, сов Зх-(-С, з!и Зх. Правая часть заданного уравнения (ха+1)еах имеет вид Р,(х) еа". Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического $241 НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 87 уравнения, то частное решение ищем в виде у»»»4)»(х) еак, или у»=(Ах»+Вх+С)е»к.
Подставляя вто выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь [9(Ах»+Вх+С)+6(2Ак+В)+2А+9 (Ах»+Вк+С)) е»к=(к»+1) е»к. Сокращая на еак и приравнивая коаффициенты при одинаковых степенях х, получим 1ВА = 1, 12А+ 18В= О, 2А+6В+1ВС= 1, откуда А= !!18, В= — 1/27, С=5181. Следовательно, частное решение будет /! 1 51 р»= ( — Хт — — Х+ — ) Е»К [,18 27 н общее решение Г! 1 51 у = Ст сов Зх+ Ск вш Зх+ ( — хк — х [ е»к 1,18 27 81) Пр имер 3. Решить уравнение у" — 7У' + Ву = (х — 2) ек. Решение. Здесь праваи часть имеет вид Р,(х)ег к, причем ковффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического многочлена.
следовательно, частное решение ищем в виде Р»=х!еа(х)ек, или р» = х (Ах+ В) ек; подставлян ато выражение в уравнение, будем иметь [(Аха.[-Вх)+(4Ах+2В)+2А — 7 (Аха+Вх) — 7(2Ах+В)+6(Ах»+Вх)) ек = =(х — 2) е*, илн ( — 1ОАх — 5В+ 2А) ек = (х — 2) ек. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим — !ОА=!, — 5В+2А= — 2, откуда А = — 1/1О, В=9/25. Следовательно, частным решением является к у'=х ( — — х+ — ! е", 10 25) а общим 1 91 у=Сге»к-[-С,ек-[-х ( — — х+ — ) ек 10 25) П.
Пусть правая часть имеет внд 1 (х) = Р (х) е"к сов Рх+ (Е (х) е"к в[п Рх, (5) где Р(х) н 44 (х) — многочлены. Этот случай может быть рассмотрен приемом, примененным е предыдущем случае, если перейти от тригонометрических функций к показательным. Заменяя соврх и в[прх через показательные функции по формулам Эйлера (см. 9 5 гл. ЧИ), получим еьзк ! е-гак «на» «-грк ) (х) = Р (х) е"" + () (х) е"' или 7(х) = ~ — Р (х)+ —,() (х)1е!"+46!к+ '~ — ' Р(х) — —.с((х)1е!"-46!к.
(5) !гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 88 Здесь в квадратных скобках стоят многочлены, степени которых равняются высшей из степеней многочленов Р(х) и Я(х). Таким образом, получили правую часть вида, рассмотренного в случае 1. Доказывается (приводить доказательство мы не будем), что можно найти частные решения, не содержащие комплексные числа. Итак, если правая часть уравнения (1) имеет вид 7 (х) = Р (х) е"" сов рх+ !е (х) е в!и рх, (7) где Р(х) и !е (х) — многочлены от х, то форма частного решения определяется так: а) если число а+ар не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде у' = сг(х) е»" сов рх+ 1' (х) е"" »йп рх, (8) где (7(х) и )г(х) — многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов Р(х) и се(х); б) если число а+»р есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде уз =х((т(х) ео" сов рх+(» (х) е'»" 5!и рх).
(9) При этом во избежание возможных ошибок надо отметить, что указанные формы частных решений (8) и (9), очевидно, сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (1) один из многочленов Р(х) и !е(х) тождественно равен нулю, т.е. когда правая часть имеет вид Р(х)е хсоврх или Я(х)е"хв!прх. Рассмотрим, далее, важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид 7' (х) = М сов 8х+ !У в !и бх, (7') где М и Л! — постоянные числа. а) Если р! не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде у' = А сов !ах+ В з!и !3х. (8') б) Если р! является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде у' = х (А сов рх+ В в(п !)х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
