34_PiskunovT2 (523113), страница 12
Текст из файла (страница 12)
сноску на предыдущей странице). Пусть, далее, я„у; — координаты точки М„лежащей на построенной дуге и достаточно близкой к точке М„ а 1ц ф,— угловой коэффициент касательной М,Т, к проведенной окружности в точке М,. Из уравнения (4) найдем соответствующее точке М; значение Я =)с;. Проведем отрезок М„С„перпендикулярный к М,Т;, равный )х„и из точки Сзь как из центра,.опишем дугу М,М, радиусом Ят. Затем на этой дуге возьмем близкую к М; точку М,(х„у,) и продолжаем таким образом построение, пока не получим достаточно большой кусок кривой, состоящей из дуг окружностей. Из предыдущего ясно, что эта кривая приближенно является интегральной линией, проходящей через точку М,.
Очевидно, что построенная кривая будет тем ближе к интегральной кривой, чем меньше будут дуги М,Мо М,М„... х) Кривая называется гладкой, если оиа имеет касательную во всех точках, причем угол наклона этой касательной есть непрерывная функция от длины дуги а. !гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 0 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства Оп р е дел е н и е 1. Дифференциальное уравнение и-го порядка называется линейные, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции у и ее производных у', ..., у'" ", у'"', т. е. имеет вид а,у'"'+а,у'" "+...
+а„у=((х), где а„ае, а„..., а„и !(х) — заданные функции от х или постоянные, причем а,~О для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (1). В дальнейшем мы будем предполагать, что функции а„а„..., а„и !(х) непрерывны при всех значениях х, причем коэффициент а,=1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция !(х), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Если Г(х)чй О, то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же )'(х) =О, то уравнение имеет вид (2) у'"1-1-а,у'" "+...
+а„у=О и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно у, д', у", ..., у'"'). Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка. Теорема 1. Если у, и у,— два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка у" +а,у'+а,у=О, (3) то у,+у, есть также решение етого уравнения.
До к а з а т е л ь с т в о. Так как у, и у, — решения уравнения, то у",+а,у,'+азу,=О, у,"+а,у',+а,у,=О. (4) Подставляя в уравнение (3) сумму у,+у, и принимая во внима- ние тождества (4), будем иметь (д, + у,)" + а, (у, + у )'+ а, (у, + у,) = =(д",+а,у,'+а,у,)+(у.",+а,у',+а,у,)=0+ 0=0, т. е. у;+д, есть решение уравнения. Тео рема 2, Если у, есть решение уравнения (3) и С вЂ” постоянная, то Су, есть также решение уравнения (3). э 20) ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Доказательство.
Подставляя в уравнение (3) выражение Суп получим (Су )'+а,(СУ,)'-)-а,(СУ ) = С(у", +а)у;+азуг) = С О= О; тем самым теорема доказана. Определение 2. Два решения уравнения (3) уг и у, называются линейно независимыми на отрезке )а, Ь1, если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если ~~ чьсопэ(. Уз В противном случае решения называются линейно зависимылш. Иными словами, два решения у; и у, называются линейно зависимыми на отрезке )а, Ь), если существует такое постоянное число Л, что У' =Л при а(х(Ь. В этом случае у;=Лу,. Уз Пр имер 1.
Пусть имеем уравнение у" — У=О, Легко проверить, что функции ех, е-», Зе», бе-х являются решениями этого уравнения. Прн этом функцнн гх н е-" линейно независимы на любом отрезке, так как отношение ех — =ез» не остается постоянным прн нэмененнн х. Функции же ех н Зе» е-х Зех линейно зависимы, так как †=3=сон ех О п р е д е л е н и е 3. Если у, и у, суть функции от х, то определитель ()У(уг. Уз) = ~ °, ~ = Угуз — Угуз !Уг Уз ~у,' у,' называется определением Вронского, или вронскианом данных функций. Теорема 3.
Если функции у, и у, линейно зависимы на отрезке )а, Ь1, то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Действительно, если У,=ЛУ,, где Л=сопз(, то у,'=Лу,' и Т е о р е м а 4. Если определи тель Вронского йр (у;, у,), составленный для решений у, и у, линейного однородного уравнения (3), не равен нулю при каком-нибудь значении х = х, на отрезке )а, Ь1, где коэффициенты уравнения непрерывны, то он не обраи4ается в нуль ни при каком значении х на этом отрезке.
Доказательство. Так как ут и у,— два решения уравнения (3), то у, "+ а,у., '+ а,у, = О, у,"+ а,у,'+ а,у, = О. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ~гл. хш 7О Умножая члены первого равенства на у„члены второго равенства на у, и вычитая из первых вторые, получим (У«ух У«ук)+аз(У Ук — У(У«) = О.
(5) Разность, стоящая во второй скобке, есть определитель Вронского ЯГ(у;, у,), а именно, Ж'(у;, у,) =у,у,' — у',у,. Разность, стоящая в первой скобке, есть производная от определителя Вронского )У к(У« Ух) = (У«У« У«У«) = У«ук У«ух. Следовательно, равенство (5) принймает вид Я7'+ а,)У" = О. (6) Найдем решение последнего уравнения, удовлетворяющего начальному условию Ц« ~,=,, = ЯГ,.
Найдем сначала общее решение уравнения (6) в предположении, что %' ~ О. Разделяя переменные ии ' в уравнении (6), получаем — = — а,йх. Интегрируя, находим 1п К = — ) а, ах+ 1п С, к, или х 1и с — — — 1а,й, ег «« откуда а, ак МУ=Се х« (7) Заметим, что можно было написать функцию (7) и сказать, что эта функция удовлетворяет уравнению (6), в чем можно легко убедиться непосредственной подстановкой этой функции в уравнение (6). Предположение 97 ~0 не требуется. Формула (7) называется формулой Лиуеилля.
Определим С так, чтобы удовлетворялось начальное условие. Подставляя х =х, в левую и правую часть равенства (7), получаем ЕГΠ— — С. Следовательно, решение, удовлетворяющее начальным условиям, примет вид к -) а,ах )Г= 1У',е " (7') По условию ЯР«=~0. Но тогда из равенства (7') следует, что )а' чь 0 нн при каком значении х, потому что показательная функ- ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 71 ция не обращается в нуль ни при каком конечном значении аргумента. Теорема доказана. Замечание 1. Если определитель Вронского равен нулю при каком-нибудь значении х= х„ то он равен также нулю при любом значении х из рассматриваемого отрезка.
Это непосредст- венно следует из формулы (7): если 1(У =- 0 при х=х„ то ((У ~„„, = С = 0; следовательно, ((У==О, каково бы ни было значение верхнего предела х в формуле (7). Теорема 5. Если решения у, и у, уравнения (3) линейно независимы на отрезке [а, Ь], то определитель Вронского ))У, составленный для втих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка. До к а з а т ел ь с т в о. Предварительно заметим следующее. функция у=О есть решение уравнения (3) на отрезке [а, Ь], удовлетворяющее начальным условиям У~...=О, д'1л „=О, где х,— любая точка отрезка [а, Ь]. Из теоремы существования и единственности (см.
3 16), которая применима к уравнению (3), следует, что не существует другого решения уравнения (3), удов- летворяющего начальным условиям у!„„=О, д ~, „=О. Из этой теоремы так же следует, что если решение уравне- ния (3) тождественно равно нулю на некотором отрезке или интер- вале (а, р), принадлежащем отрезку [а, Ь], то это решение тожде- ственно равно нулю на всем отрезке [а, Ь]. Действительно, в точке х = р (и в точке х = о) решение удовлетворяет начальным условиям д!„Е=О, д ~,,=О.
Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в неко- тором интервале Р— й < х < р+й, где д определяется величиной коэффициентов уравнения (3). Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину й, где у=О, мы докажем, что у=О на всем отрезке [а, Ь]. Теперь приступим к доказательству теоремы 5. Допустим, что ((У (у„у,) = 0 в некоторой точке отрезка [а, Ь].
Тогда по теореме 3 определйтель Вронского )у' (у„у,) будет равен нулю во всех точ- ках отрезка [а, Ь]: %'=0 или у,у.,' — у,'у,=О. Допустим, что У,~О на отрезке [а, Ь]. Тогда на основании Убавь У(УЙ / Уь т ' последнего равенство можно написать ' ' = 0 илн [ — '~ =О. У, ''АУ 7' Отюда следует — = Л = сопз1 Уе 1гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 72 т. е. решения у, и у, линейно зависимы, что противоречит предположению о их линейной независимости. Допустим далее, что у;=О в точках х;, х„..., хь, принадлежащих отрезку [а, Ь). Рассмотрим интервал (а, х,). На этом интервале у; ~ О.
Следовательно, на основании только что доказанного следует, что на интервале (а, х,) — *=Х=сопз1, или У,=ХУО Ув Ув Рассмотрим функцию у = у, — Хуи Так как д, и у~ суть решения уравнения (3), то у=у,— Ху,— решение уравнения (3) и у=— О на интервале (а, х,). Следовательно, на основании замечания в начале доказательства следует, что у =у, — йу, = О на отрезке [а, Ь1, или Ув на отрезке [а, Ь1, т. е. у, и у, линейно зависимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
