34_PiskunovT2 (523113), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому в каждый момент времени ! положение снаряда М (рнс. 259) будет определяться равенствами угр х = о,! соз а, у = арт з)п рх —. 2 ' Это — параметрические уравнения траектории (параметром является время !). Исключив (, найдем уравнение траектории в виде у=х)йа —, * ухр 2озр соз' а наконец, введя обозначении тйа=й, —,=а, получим у 2ор у = йх — ахр(1 + йр) . (8) Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращенную ветвями вниз. Для различных значений Д мы получим различные траектории. Следовательно, уравнение (8) является Рис. 260.
уравнением однопараметрнческого семейства парабол, являющихся траекториями снаряда прн различных углах а и данной начальной скорости ор (рис. 260). Найдем огибающую этого семейства парабол. Дифференцируя по й обе части уравнения (8), имеем х — 2айхз = О. (9) Исключая й из уравнений (8) и (9), получим ! у = — ах'. 4а Это — уравнение параболы с вершиной в точке (О' — ), ось которой ! т ' 4аУ' ' совпадает с осью Оу.
Оиа не является геометрическим местом особых точек (так как параболы (8) не имеют особых точен). Итак, парабола 1 у = — — ахр 4а является сгиба!ошей семейства траекторий. Она называется п а р а б о л о й безопасности, так как ни одна точка за ее пределами не достижима для сйаряда, выпущенного мз данного орудия е данной начальной скоростью ор. (гл хги диоэвпвнцилльныв урдвнкний Пример 5.
Найти огибающую семейства полукубическнх парабол уз (х С)з=О. Р е ш е н и е. Дпфференцируеи по параметру С данное уравнение семейства: 2 (х — С) = О. Исключая параметр С из двух уравнений, получим у=О. Ось Ох является геометрическим местом особых точек — точек возврата первого рода (рис. 261), Действительно, найдем особые точки кривой у — (х — С)э=О при фиксировании значения С. Дифференцируя по х и у, находим Г,= — 2 (х — С) =0; Рз'=зу =О. Рис. 261. Решая совместно три предыдущих уравнении, найдем координаты особой точки: х=С, у=о; таким образом, каждая кривая данного семейства имеет особ ю точку на оси Ох. ри непрерывном изменении параметра С особые точки заполнят всю ось Ох.
П р имер 6. Найти огибающую и геометрическое место особых тачая семейства С)з (х С)з 2 3 (РО) Решение. Дифференцируя по С обе части равенства (10), найдем 2 — 2(у — С)+ — 3(х — С)з=о, 3 пли у — С вЂ” (х — С)з=о, (11) Исключим теперь параметр С нз полученного равенства (11) и нз уравнения (10) семейства. Подставив выражение у — С=(х — С)з в уравнение семейства, получим (х — С) — (х — С) =О, плн з 2 з 3 21 (х — С)з ~(х — С) — — =О 33 отсюда получаем два возможных значения С и два соответствующих им реше- ния задачи. у — х+ — — 1(х — х+ — ~ = О, 3 ~ 3 ~ цли или 2 у=х —. 9' Первое решение: С=х; поэтому из равенства (11) находим у — х — (х — х)э=о, Второе решение: 2 С=х — —; 3' поэтому из равенства (11) находим ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ ч!м 2 Мы получили лве прямые у=х и у=х —. Первая иа иих является гео- 9 ' ыетрическим местом особых точек, а вторая — огибающей (рис.
262Ь Замечание 2. В $ 7 гл. Ч1 было доказано, что нормаль к кривой служит касательной к ее эволюте. Следовательно, семейство нормалей к данной кривой является в то же время семейством касательных к ее эволюте. Таким образом, эволюта кривой является огибающей семейства нормалей этой к ри вой (рис, 263). Рис. 263.
Рис. 262. Это замечание позволяет указать еще один метод для нахождения эволюты: чтобы получить уравнение эволюты, надо сначала найти семейство всех нормалей данной кривой, а затем найти огибающую этого семейства. 5 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка Пусть дифференциальное уравнение Р(х, у, „— ") =О имеет общий интеграл Ф(л, у, С)=0.
(2) Предположим, что семейство интегральных кривых, соответствующее уравнению (2), имеет огибающую. Докажем, что эта огибающая также является интегральной кривой дифференциального уравнения (1). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ игл, хш Действительно, в каждой своей точке огибакпцая касается некоторой кривой семейства, т. е. имеет с ней общую касательную. Следовательно, в каждой общей точке огибающая и кривая семейства имеют одинаковые значения величин х, у, у'. Но для кривой из семейства числа х, у, у' удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, тому же уравнению удовлетворяют абсцисса, ордината и угловой коэффициент каждой точки огибающей. Но это и означает, что огибающая является интегральной кривой, а ее уравнение является решением данного дифференциального уравнения. Так как огибающая не является, вообще говоря, кривой семейства, то ее уравнение не может быть получено нз общего интеграла (2) ни при каком частном значении С.
Решение дифференциального уравнения, не получающееся из общего интеграла ни при каком значении С н имеющее своим графиком огибающую семейства интегральных кривых, входящих в общее решение, называется особым решением дифференциального уравнения. Пусть известен общий интеграл Ф (х, у, С) = О; исключая С из этого уравнения и уравнения Фс(х, у, С)=О, получим уравнение ф(х, у) = О.
Если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (и не принадлежит семейству (2)), то это и есть особый интеграл. Отметим, что через каждую точку кривой, изображающей особое решение, проходит по крайней мере по две интегральные кривые, т, е. в каждой точке особого решения нарушается единственность решения.
Заметим, что точка, в которой нарушается единственность решения дифференциального уравнения„т. е. точка, через которую проходит по крайней мере две интегральные кривые, называется особой точной *). Таким образом, особое решение состоит из особых точек. П р и м е р. Найти особое решение уравнения уе (1+у'е) =йе. (') Решение.
Нейделк его общвй интеграл. Раврешвм уравнение отвосвтельно у': )/'Л е уе и'х у Разделяя переменные, получим у пу е) Граничные точки области существоваввк решевпя также везыввве особыми. Вяутрепввп точке области, через которую проходит едввствеввев интегральная крввея дифференциального уравнения, называется обелспоееллой точкой. УРАВНЕНИЕ КЛЕРО 47 й га) Отсюда, интегрируя, находим общий интеграл (х — С)а-)-рт =тг'т. Легко видеть, что семейство интегральных линий представляет собой семейство оирухгностей радиуса )г с центрами на оси абсцисс.
Огибающей семейства кривых будет пара прямых у= ~ й. Функции д= ~ и удовлетворяют дифференциальному уравнению (*). Следовательно, это есть особый интеграл. $13. Уравнение Клеро Рассмотрим так называемое уравнение Клеро Оно интегрируется с помощью введения вспомогательного параметра. Именно, положим †„ =р; тогда уравнение (1) примет вид лр у=хр+ф(р). (1') Продифференцируем по х все члены последнего уравнения, имея в виду, что р= — является функцией от х: оу бх р=х — ~+р+Ф'(р) — ~, или ~х+тр' (р)] — = О. Приравнивая каждый множитель нулю, получим — "Р =О (2) х+ ф' (р) = О. (3) 1) Интегрируя равенство (2), получаем р=С(С=сопз1). Подставляя это значение р в уравнение (1'), найдем его общий интеграл у = хС+ ар (С), (4) который с геометрической точки зрения представляет собой семейство прямых линий.
2) Если из уравнения (3) найдем р как функцию от х и подставим ее в уравнение (Г), то получим функцию у=хр(х)+ф~р(х)~, (1") которая, как легко показать, представляет собой решение уравнения (1). дие внренциальныв нпавнвныя (гл. хш В самом деле, в силу равенства (3) находим „вЂ” = р+ ду + 1х+тр' ()з)] — „, т.
е. „— = р. Поэтому, подставляя функцию (1") йр ау в уравнение (1), получаем тождество хр+ф(р) =яр+ту(р). Решение (1") не получается из общего интеграла (4) ни при каком значении С.Этоесть особое решение; оно получается в результате исклгочения параметра р из уравнений у = хр+ ф(р), х+тр' (р) = О, или, что все равно, исключением С из уравнений у=хС+тр(С), х+фс(С)=0. Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом (4). Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
