34_PiskunovT2 (523113), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Будем искать решение уравнения (1) в виде произведения двух функций от х: у = и (х) о (х). (2) Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (1). $7) ЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференцируя обе части равенства (2), находим йу ~)и йи йх йх йх — =и — +о —. Подставляя полученное выражение производной — в уравнена ех ние (1), будем иметь и „вЂ” + — о+Рио= Я, йи йи или и (д +РО~ +о„— = Я.
Выберем функцию и такой, чтобы — +РО=0. (4) Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции и, находим ии — = — Р Г(х. Р Интегрируя, получаем — 1п ! С,. ~ + 1п ~ и ~ = — ~ Р Г(х, или О=Се 7 Так как нам достаточно какого-нибудь отличного от нуля реп7ения уравнения (4), то за функцию п(х) возьмем о(х) =е ) (5) где ~ РГ(х †как-нибудь первообразная. Очевидно, что о(х)ФО. Подставляя найденное значение о(х) в уравнение (3), полуеи чим (учитывая, что „вЂ” +РО=О) о (х) е — „— — (;) (х), или ~Ми (7 (х) йх й(х) ' откуда Подставляя и и п в формулу (2), окончательно получаем уе а(х) Ц вЂ” дх+С1, !гл хгн ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ или у = о (х) ) (х) г(х+ Со (х). (6) (6') Очевидно, что это — общий интеграл, так как С можно подобрать так, что будет удовлетворяться начальное условие у = у, при х=х,.
Значение С определяется из уравнения у,= о(х,) <р(х,)+Со(х,). П р и мер. Решить уравнение ау 2 а г(х »+1 — — — у=(х+1), Решение. Полагаем у=ив, тогда бу ~Ь би — =и — + — о. ох йх г(х ' Подставляя выражение — в исходное уравнение, будем иметь иу дх бо ди 2 и — + — о — — ио=(х+1)а, дх бх х+1 Гпо 2 Д г!и и! — — — о )+о — =(х+1)з. '! их х+ 1,) и» (у) йо 2 до 20х Для определения о получим уравнение — — о=о, т. е. г!х х+1 ' о »+1' откуда 1п(о) =21п) »+1(, или о=(х+1!л. Подставляя выражение функции , г!и о в уравнение (7), получаем для определения и уравнение (х+1)з — = 4» 0и (х+ 1)з (х+1)а, или — =х+1, откуда и= — +С.
их 2 Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид + ) +С(+Вз. 2 Замечание. Очевидно, что выражение (6) не изменится, если вместо функции о (х), определенной равенством (5), мы возьмем какую-нибудь функцию о, (х) = Со (х). Действительно, подставляя в (6) о,(х) вместо о(х), получим у=Со(х) ~ ( ) г(х+ССо(х). Со (х) В первом слагаемом С сокращаются; во втором слагаемом произведение СС есть произвольная постоянная, которую обозначаем одной буквой С, и снова приходим к выражению (6). Если обозначим ) — г(х=!р(х), то выражение (6) примет вид г !) (х) ,) (») у = о (х) !р (х) + Со (х). УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Полученное семейство является общим решением.
Каково бы ни было начальное условие (хв; р»1, где х, ~ — 1, всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию у»=3 пря х,=о, (О+ 1]» найдется следующим образом: 3= +С(О+1)', С=5/2. Следовательно, (х+ 1)» 5 искомое частное решение таково; Е= — '+ — !х+1)в. Однако, если на- 2 2 чальное условие (х,; у,) выбрать так, что х,= — 1, то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию.
Это объясняется тем, что при 2 х„= — 1 функция Р,!х) = — — раэрывиа и, следовательно, условия теоремы х+1 существования решения не соблюдены. Замечание. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами ~~+ау=Ь, (8) где а и Ь вЂ” постоянные. Его можно решить и с помощью подстановки (2) или путем разделения переменных: с(у = ( — ау + Ь)»(х, — +, — — »(х, — — а 1п ~ — ау+ Ь ) = х+ С, 1п~ — ау+Ь)= — (ах+С*), где С*=аС,, — ау+ Ь = е-1»х+с»1 у = — — е-('. +с*1 1.
1 » »г» или окончательно у=Се '"+— э а ( 1 где обозначено — — е-с* = С) . Это и есть общее решение урана пения (8). $ 8. Уравнение Бернулли Рассмотрим уравнение вида *) „— + Р (х) у — Я (х) у", где Р(х) и (е (х) — непрерывные функции от х (нли постоянные), а нчьО и а~1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием. в) К атому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротивление среды г зависит от скорости так: г'="ь»о+Хвое. Уравнение движения »!о будет тогда и — = — 3»»о — "веов нли — + — о = — — ' ов.
»1»' »(1 ш и Н. С. Пискунов. т. Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. Япз разделив все члены уравнения на у, получим -в „«„ру-а+а бр б» Сделаем, далее, замену р-вез (2) Тогда бг -в~у бх — =( — а+1)у "—. б»' Подставляя эти значения в уравнение (2), будем иметь линейное уравнение (4) Найдем его общий интеграл: 0г сЬ би а= из, — и — + — о йх бх бх бг. Подставляем в уравнение (5) выражения г и —: л»' йо 0и и — + — о — 2хио = — 2хз, бх бх или /~Ь Д би и ( — 2хо) +о — = — 2»з. (дх ) бх Приравниваем нулю выражение, стоящее в скобках: бо бо бх ' о — — 2хо= о, — =2х бх !п ~ о ~ = хз, о = е»'. Для определения и получаем уравнение ех — = — 2»з, ,0и йх Разделяем переменные: бичч — 2е"хзхзбх, и=-2 ~ е-х'хз Их+С.
д — '+( — и+1)Рг=( — и+1) Я. Найдя его общий интеграл и подставив вместо г выражение у-"+', получим общий интеграл уравнения Бернулли. Пример. Решить уравнение йр — +хр=хзрз, д» (3) Решение. Разделив все члены на рз, получим р-зр'+ху-а=за. бг бд Введем новую функцию г=у-з; тогда — = — 2р ' —. Подставляя зти значеЛх дх' ния в уравнение (4), получим линейное уравнение — 2хг = — 2хз. бг йх (5) УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Интегрируя но настин, найден и =хае-"'+е-"а+ С, а = ио = ха+ 1+ Села, Следовательно, общий интеграл данного ураинення есть у-а=ха+1+Се"' или у= 1 Ухе+1+ С"* ' Замечание.
Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций: у = и (х) о (х), где о(х) — какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетво- ряющая уравнению о'+РР= О. й 9.
Уравнение в полных дифференциалах Определение. Уравнение М (х, у) г(х+ А1 (х, у) г(у = О называется уравнением в полных дифференциалах, если М(х, у) и 1У (х, у) — непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение дМ дМ ду дх ' (2) дМ дйг причем — и — непрерывны в некоторой области. ду дх Интегрирование уравнений в полных дифференц и а л а х. Докажем, что если левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал, то выполняется условие (2), и обратно— при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у), т.
е. уравнение (1) имеет вид г(и(х, у) =О, М(х, у)1(х+А1(х, у)г(у=г( =дд , г(х+ — иду; тогда М= — М= —. ди дн дх ' ду' (4) 21 и, следовательно, его общий интеграл есть и(х„у) =С. Предположим сначала, что левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у), т. е. диФФепвнцилльные упдннения <гл хпг д фференцируя первое соотношение по д, а второе — по х получим дМ д'и дл дти ду дх ду' дх ду дх' Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь дМ дЛ' ду дх' т. е.
равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, д). Покажем, что зто условие является и достаточным, т. е. что при выполнении равенства (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функ- ции и(х, д). Из соотношения — =М (х, д) находим и = ~ М(х, д) г(х+ф(д), к, где х„— абсцисса любой точки из области существовании решения. При интегрировании по х мы считаем д постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от д. Подберем функцию ф(д) так, чтобы выполнялось второе из соот- ношений (4).
Для этого продифференцируем е) обе части послед- него равенства по д и результат приравняем ))((х, д): к — — г(х+ф' (д) =)1((х, д); ди ГдМ дМ дй) г дУ но так как — = —, то можем написать ) — г(х+ф' (д)=й(, т. е. ду дх ' ,) дх ге*(х, д) 1„',+ф'(д) =й((х, д), или )т' (х, д) — У (х„ д) +ф' (д) = )т' (х, д) . Следовательно, ф' (д) = Л' (хе, д), пли ф (д) = ) й( (хю д) г(д+ Со к) Интеграл ) М(х, у) дх зависит ог у. Длз того чтобм найти производкм ную от этого интеграла по у, нужно продифференцировать по у подынтегральк к д (' РдМ ную фри|гнию: — ) М(х, у) ух=~ — дх. Это вытекает из теоремы Лейбду,) ' д ду ке ница о дифференцировании определенного интеграла по параметру (см.
5 10 гл. Х(). зрлвннние в полных диоенринпилллк Таким образом, функция и(х, у) будет иметь вид к а и = ~ М (х, у) с(х+ ~ й( (х„у) 4 + С,. кь Уо Здесь Р(х,; у,) — точка, в окрестности которой существует решение дифференциального уравнения (1). Приравнивая зто выражение произвольной постоянной С, получим общий интеграл уравнения (1): к х ~ М (х, у) с(х+ ! й( (х„у) с(у = С.
Пр имер. Дано уравнение 2х „у — Зх Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Обозначим 2х ут — Зхз М= —, У= уз' ук тогда дЛ/ бх дх ук' дМ бх ду уул ' Г 2х, хз и= ) — гдх+ЧЫ= —,+ф(у), ~ уз' уз где ф (у) — не определенная пока функция от и. Дифференцируя это соотношение по у и учитывая, что ди уе — Зхду= = у находим Зхз, уе — Зхз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
