34_PiskunovT2 (523113), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если в уравнении у'=1(х. у) функция 1(х, у) и ее частная производная — по у непрерывны О1 ду в некоторой области 0 на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х„у,), то суи(вствует единственное решение этого уравнения у=ш(х), удовлетворяющее условию у= у, при х=х,. Эта теорема будет доказана в 3 27 гл. Х71. 1гл.

хш 18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция у=ф(х), график которой проходит через точку (л,; у,). Из только что высказанной теоремы вытекает, что уравне. ние (1') имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку (х,; у,); другое решение, график которого проходит через точку (х,; у,) и т.

д., если только эти точки лежат в области О). Условие, что при х=х, функция у должна равняться заданному числу у„называется начальным условием. Оно часто записывается в виде у!.=..= у.. О п р е де лен и е 1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у=ф(х, С), (2) которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям: а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом коикретном значении постоянной С; б) каково бы ни было начальное условие у= у, при х= х„ т. е. у), „,=-у„можно найти такое значение С=С„что функция у=ф(х, С,) удовлетворяет данному начальному условию.

При этом предполагается, что значения х, и у, принадлежат к той области изменения переменных х и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения. 2. В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида Ф(х, у, С) =О, (2') не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение относительно у, получаем общее решение. Однако выразить у из соотношения (2') в элементарных функциях не всегда оказывается возможным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство вида Ф(х, у, С) =О, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

О п р е д е л е н н е 2. Частным решением назьшается любая функция у=ф(х, С,), которая получается из общего решения у=ф(х, С), если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение С=С,. Соотношение Ф(х, у, С,) =О называется в этом случае частным интегралом уравнения. Пример 1. Для уравиеиия первого порядка ~~д у ех я 19 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С общим решением будет семейство функций у= —; это можно провернть простой подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному условию: уа=1 при ха=2. Подставляя эти значения х, н уа в формулу у=С,'х, получим 1=С~2, или С=2. Следовательно, искомым частным решением будет функция у=2(х. С точки зрения геометрической общий интеграл представляет собой семейство к ри вых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как Рис. 251, говорят, от одного параметра С). Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Ч а с гномуу интегралу соответствует одна к ри вая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости. Так, в последнем примере Общий интеграл геометрически изображается семейством гипербол у= С(х, а частный интеграл, определенный указанным начальным условием, изображается 'одной из этих гипербол, проходящей через точку М,(2; 1).

На рис. 251 изображены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: С=1~2, С=1, С=2, С= — 1 п т. д. Чтобы сделать рассуждения более наглядными, мы будем в дальнейшем называть решением уравнения не только функцию р=ф(х, С,), удовлетворяющую уравнению, но и соответствующую интегральную к ри вую. В связи с этим мы будем говорить, например, о решении, проходящем через точку (ха~ йо) |гл хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЪ|Е УРАВНЕНИЯ 20 Замечание. Уравнение — = — — не имеет решения, прокосу у их и дящего через точку, лежащую на оси Оу (см. рис. 251), так как правая часть уравнения при х= О не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение — значит: з) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются). Рис. 252. 3. Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального ураенения первого порядка. Г!усть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: — «=!(х, у), и пусть у=|у(х, С) есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Уравнение (1') для каждой точки М с координатами х и у определяет значение производной —, т. е.

угловой коэффициент с|у их ' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (1') дает совокупность направлений или, как говорят, определяет ноле направлений на плоскости Оху. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2! Изоклииами данного дифференциального уравнения являются — у/х=й, илп у= — йх.

Это семейство прямых. Они построены на рис. 252. 4. Рассмотрим такую задачу. Пусть дано семейство функции, зависящее от одного параметра С: у=-ср(х, С), (2) Рас. 253 причем через каждую точку плоскости (нли некоторой области на плоскости) проходит только одна кривая нз этого семейства. Для какого дифференциального уравнения это семейство функций является общим интегралом? Из соотношения (2), дифференцируя по х, найдем сР„(х, С). (з) Так как через каждую точку плоскости проходит только одна кривая семейства, то для каждой пары чисел х и у определяется единственное значение С из уравнения (2). Подставляя это значение С в соотношение (3), найдем — как функцию от х и у. ЙР дх Это и дает нам дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет всякая функция из семейства (2).

Следовательно, с геометрической точки зрення задача интегрирования дифферепцналыюго уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках. Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение — = к = сопз(, назылд сх вается изоклиной данного дифференциального уравнения. При различных значениях й получаем различные изоклпны.

Уравнение изоклины, соответствующей значению й, будет, очеВидно, Г'(х, у) = й. Построив семейство изоклин, можно гриближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости. На рис. 252 изображено поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением су Р дх х ггл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6~у Следовательно, чтобы установить связь между х, у и „вЂ”, т.

е. чтобы написать дифференциальное уравнение, общий интеграл которого определяется формулой (2), нужно исключить С из соотношений (2) и (3). П о и м е р 2. Найти дифференциальное уравнение семейства парабол д=Сх (рис. 2531. Дифференцируя по х уравнение семейства, найдем ле Ж вЂ” = 2Сх. Подставляя сюда значение С=у/ха из уравнения семейства, получаем дифференциальное уравнение данного семейства: о'е 2р ох к Это диффеоенциальное уравнение имеет смысл при к ~ О, т. е. в любой области, не содержащей точек на оси Оу. $4.

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия Рассмотрим дифференциальное уравнение вида ~~ = 1, (х) 1а (У), где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его следующим образом (предполагая, что 1а(у) ~0): — ау=от(х)Д . (1') Считая у известной функцией от х, равенство (1') можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от ннх будут отличаться постоянным слагаемым.

Интегрируя левую часть по у, а правую по х„ найдем — ду= ) 1т(х) с(х+С. Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимую переменную х и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения (1). 1. Дифференциальное уравнение типа (Г) М()а +Л(у)ау=О (2) называют уравнением с разделенными переленныли. Общий 441 ирлвнвния с рлздвляющимися пврвмвнными 23 интеграл его по доказанному есть )М()д +)Л!(у) у=С. Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными клх+рбу=о.

Интегрируя, получим общий, интеграл: хз уз — + — =Со Так как левая часть послед- 2 2 него равенства неотрицательна, то и правая часть тоже иеотрнцательна. Обозначив 2Ст через С'-, будем иметь ха+уз=Сз, Это— уравнение семейства концентрических окружностей (рис. 2541 с центром в начале коор. динат и радиусом С. 2. Уравнение вида М, (х) )Ч, (у) с(х + М, (х) )ч', (у) с(у = 0 называется уравнением с разделяюм(имися переменными. Оно может быть Рис.

254. приведено *) к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение Л!г(у)Мз(х): Мг (х) Мг (р) дх + МВ (х) й' е (у) ( О Л1т (р) Ма (х) )г'т (у) Мз (х) или — д + ду=о, Мд (х) йга (у) М, (х) )Рт (у) ° т. е. к уравнению вида (2). П р и м е р 2. Дано уравнение — = — †. Разделяем переменные: пр р г!д бх х' ох Гг(р Гбх = — —.

Характеристики

Список файлов книги