34_PiskunovT2 (523113), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Решение. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства. !)У Дифференцируя по х уравнение (8), находим — =С. С другой стороны, из !!х того же уравнения С=у/х. Следовательно, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид — = — . ар у ох х' Рис. 268. Рис. 269. Пользуясь соотношением (2'), получим дифференциальное уравнение изогональнык траекторий — — й "Рг ох у й)нг(1='' о'х Отсюда, опуская индекс Т, находим р ~~у х а+в дх у 1 — й— х Интегрируя зто однородное уравнение, получаем общий интеграл р 1п угле+уз = — а!о!8 — + 1п С, УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ $ НЧ который и определяет семейство иэогоиальиых траекторий. Чтобы выяснить, какие именно кривые входят в это семейство, перейдем к полярным коорди- натам: — — 1к <р, р х )Г х'+ух =р.
Подставляя эти выражеиия в равенство (З), получим 1п р= — ф+1п С, или 1 й р=ф/Сее. Следовательно, семейство иэогоиальиых траекторий является семейством логарифмических спиралей (рис. 2И). й 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) Как уже указывалось выше (см. 2 2), дифференциальное уравнение и-го порядка символически можно записать в виде г" (х, у, у', у", ..., у'"') = О, (1) нли, если его можно разрешить относительно и-й производной, у' — ~(х,у,у,у,...,у ).
(1') В настоящей главе мы будем рассматривать только такие уравнения высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка. Теорема. Если в уравнении у'ы =у(х, у, у, ..., у'" ") 4ункция )(х, у, у', ..., у'" ") и ее частные производные пв аргументам у, у', ..., у'" " непрерывны в некоторой области, содержаи(ей значения у=у, у =у,... у" =уы то существует и притом единственное реигениеу=у(х) уравне- ния, удовлетворяющее условиям у!.=.,=у., у'!.=.,=у', " у'" "!.=.,= у1' " () Этн условия называются начальными условиями. Доказатель- ство этой теоремы выходит за рамки данной книги.
Если рассматривать уравнение второго порядка у"=1(х, у, у'), то начальными условиями при х=х, для решения будут условия у=уоэ у'=уе, где х„у„у,' — заданные числа. Геометрический смысл этих усло- вий следующий: через заданную точку плоскости (х„у,) с задан- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. ХШ ным тангенсом угла наклона касательной у,' проходит единственная кривая. Из этого, далее, следует, что если мы будем задавать различные значения у,' при постоянных х, и у„то получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку, Введем теперь понятие общего решения уравнения п-го порядка. Определение.
Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка называется функция у=ор(х, фф..., С„), зависящая от и произвольных постоянных фф..., С„и такая, что: а) она удовлетворяет уравнению при лн>бых значениях постоянных Со Со б) при заданных начальных условиях У!л о=уо. У !л= о=уо ° Уол "!'=,=Уо" постоянные фф..., С„можно подобрать так, что функция у =- ор (х, фф..., С„) будет удовлетворять этим условиям (предполагая, что начальные значения х„у„у,', ..., Ум " принадлежат области, где выполняются условия существования решения).
Соотношение вида Ф(х, у, фф..., С„)=0, неявно определя>ощее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С>э С„..., С„, называется частнило решением. График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение и-го порядка †знач: 1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или 2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются). В следующих параграфах будут изложены методы решения различных уравнений п-го порядка.
й 17. УраВНЕНИЕ ВИда усл>= Г(Х) Простейшим уравнением и-го порядка является уравнение вида у(л> 7 (х) Найдем общий интеграл этого уравнения. УРАВНЕНИЕ ВИДА ВОП=)(х! 1!П Интегрируя по х левую и правую части и принимая во внимание, что у"ч= (у'а ы)', получим у'" " = ! ) (х) с(х+ С„ где к„— любое фиксированное значение х, а С,— постоянная интегрирования. Интегрируя еще раз, получим /х хи-"=! (! ~ма ))ь ч-с,ь — *,><-с,. х, хь Продолжая далее, получим, наконец (после п интегрирований), выражение общего интеграла х х С,(х — хч)ь-х (х — хч)х-в у= ~ ...
~1(х)с(х ... с(х+ ' ' +С, ' +... +С„. хь кх Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям У!х=х,= — Уа У !х=х.=уз ° ' У" !х=х.= узх мн достаточно положить С„=д„с„,=у,, ..., С,=уш- . Пример !. Найти общин интеграл уравнения у"=в!и (йх) и частим решение, удовлетворяющее начальным условиям у !х-е=о, у' (х-в=1. решение. сов йх — 1 у'= ( в!н йхвх+Сд — —— й +Со о у= — ) ( 1 0х+') Стдх+Св, о о Н.чи в!о йх х у = — — + — + Сгх+ Св. Лв й Это есть общий интеграл. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее данным иччальиым условиям, достаточно определить соответствующие значения Ст и С,. Ив условия у)х-е находим С,=О. Иа условия у'!х-в= 1 находим Сд — — 1, !гл. хин дне>внпннцнлльнщп урлвннння Таким образом, искомое частное решение имеет вид в1пух Г 1 у= — — +х !( — +1) .
Таким образом, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид у' М (х) (2) (! ! у г)О» Е3 Если считать, что деформации малы и что касательные к оси балки при изгибе (образуют малый угол с осью Ох, то мы можем пренебречь квадратои малой величины у' и считать Е= !1у". Тогда дифференциальное уравнение изогнутой балки примет вид М (х) у = » Е3 (2') а зто уравнение есть уравнение вида (!). При мер 3. Балка наглухо заделана в конце О и подвергаетсядействию сосредоточенной вертикальной силы Р, приложенной к концу балки Ь на расстоянии 1 от места закрепления (рнс. 270). Весом балки пренебрегаем. Рассмотрим сечение в точке Л> (х).
Изгибающий момент относительно сечения й) в данном случае будет равен М (х) =(1 — х) Р. Дифференциальноеуравнение (2') примет вид Р у"= — (1 — ). Е/ Начальные условия: при х=О прогиб у равен нулю и касательная к изогну. той оси балки совпадает с осью Ох, т. е, у(х а=О> у'(х в=О. Интегрируя Дифференциальные уравнения рассмотренного вида встречаются в теории изгибания балок. П р и и е р 2.
Рассмотрим упругую призматическую балку, изгибающуюся под действием внешних сил, как непрерывно распределенных (вес, нагрузка), так и сосредоточенных. Направим ось Ох горизонтально, по осн балки в ее недеформированном состоянии, ось Оу — вертикально вниз (рис. 270). Каждая сила, действующая на балку (например, нагрузка балки, реакция опор), имеет момент относительно какого-нибудь поперечного сечения балки, равный произведению силы на расстояние точки приложения силы от данного сечения.
Сумма М (х) моментов всех сил, приложенных к части балки, расположенной по одну сторону от,данного сечения, с абсРис. 270. циссой х, называется изгибающим моментом балки относительно данного сечения. В курсе сопротивления материалов доказывается, что изгибающий момент балки равен ЕХЯ, где Š— так называемый модуль упругости, зависящий от мате.
риала балки; г — момент инерции площади поперечного сечения балки относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести площади поперечного сечения; 17 — радиус кривизны осн изогнутой балки, который выражается формулой (5 б гл. У1) (!+у'2) I» 17 = ! у" 1 НЕКОТОРЫЕ ТНПЪ| УРАВНЕНИЙ $1$1 уравнение, найдем х Р Г Р г' ха 1 у'= — 1 (1 — х)0х= — 1 1х — — ); ЕХ,) Е) '1 2 )1 о 2ЕХ ( 3 ) ' Р ха (3) В частности, иа формулы (3) определяется прогиб Ь на конце балки Ул р)а Л=У!к 1= — ° ЗЕВ ' й 1й. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых н уравнениям первого порядка.
Задача о второй космической скорости 1. Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции у. Р е ш е н и е. Обозначим производную — „через р, т. е. положим йу Иу бау йх — =р. Тогда — = —. оха ох Подставляя эти выражения производных в уравнение (1), получим уравнение первого порядка †„~ = 1(х, Р) а затем из соотношения — =р получаем общин интеграл уравнеоу ок ния (1) у= ) р(х, С,)11х+С,. П р и м е р 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение цепной линии (см.
а 1) Положим бу Р1 о'к относительно неизвестной функции р от х. Проинтегрировав зто уравнение, находим его общее решение р=р(х, Ст), 1гл. кгн ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ бо тогда дг ар ее ах и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р от х ар — = — У1+р'. ах а Разделяя переменные, будем иметь ар г)х )Г1+рт а ' откуда )п (р+ )ГГ+ р') = — +Со а р= ь( — ,"+с,). Но так как р= —, то последнее соотношение представляет собой дифференар г)х ' циальное уравнение относительно искомой функции у.
Интегрируя его, получим уравнение цепной линии (см. б 1) у=ас)г ~ — +Сг)+Се. /х '1 а Найдем частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиян; у)х-с=а, у |х с=о. Второе условие дает Сг=о, первое Се=о. Окончательно получаем р = а с)г (х! а). 3 а м е ч а н и е. Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение й,<чг г (х й,гх-з1) Полагая у'" ы=р, получим для определения р уравнение первого порядка „Р =7" (х, Р). Узнав отсюда р как функцию от х, из соотношения у'" н= р найдем у (см.
5 17). П. Уравнение вида (2) н е содержит явным образом независимой перем е н н о й х. $!аг НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ Для его решения снова положим Й=р (з) но теперь мы будем считать р функцией от у (а не от х, как прежде). Тогда агу ор ггр ау йр мха й = куй= йу лгу Подставляя в уравнение (2) выражения „— и — „,, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р Я=1(у, р) (4) Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С,: р=р(у, С,). Подставляя это значение в соотношение (3), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции у от к -„""=р(у, С,).
Разделяя переменные, находим ну р(у сй Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения Ф(х, у, С„С,) =О. Приме.р 2. Найти общий интеграл уравнения зу" = у-ч*. агу Решение. Положим — =р, рассматривая р как функцию от у. Тогда дх ор у"=р — , и мы получаем уравнение первого порядка для вспомогательной оу функции р откуда х+Сг= Зр — =у гГр г ау интегрируя ато уравнение, находим рг=сг — у л илп р= ч- Ус,— у лу Но р = †; следовательно, для определения у получаем уравнение ггх ' (' „Чз у " . для вычисления последнего интеграла сделаем подста- ~ Усуи' — ~ ДНФФЕРБНЦНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
