34_PiskunovT2 (523113), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Но это противоречит предположению о линейной независимости решений у, и у;. Таким образом, мы доказали, что определитель Вронского не обрашается в нуль ни в одной из точек отрезка [а, Ь1. Теорема 6. Если уг и у,— два линейно независивных решения уравнения,(3), то У=С,У,+С,д„ (8) где С, и С,— произвольные постоянные, есть его общее решение. Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует, что функция С,у,+С,д, есть решение уравнения (3) при любых значениях С, и С,. Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия У ~х х, =- Ув У )х=х, =- Ув, мОжнО так подобРать значениЯ пРоизвольных постоянных Сг и С„чтобы соответствующее частное решение С,у,+С,у, удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенство (8), будем иметь У,=С,У„+С,уеь У,=С,У,.+С,д,„ (9) где обозначено Ув !х=х, = Увв Ув )х=х, = Увв Ув!х=х, = Увв Ув)х=х. = Увв. Из системы (9) можно определить С, и С„так как определитель этой системы ! ' "~= Увв Увв! ~ = Уму* — диды Увв Увв есть определитель Вронского при х=х, и, следовательно, не равен О (в силу линейной независимости решений У1 и у,).
Частное решение, которое получится из семейства (8) при найденных значениях Сг и С„удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана. у зо1 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 7З 1, 1 П р н мер 2. Уравнение у"-1- — у' — — У=О, козф(аициенты которого х х' п,=1/х и а,= — 1/х«непрерывны на любом отрезке, не содержащем точки х=о, допускает частные решения у,=х, у»=11х (зто легко проверить подстановкой в уравнение). Следовательно, его общее решение имеет вид ! У=С,х+С, —.
х' Р Се-!' вх — ' = й1, дх+ С'. Уг уг Так как мы ищем частное решение, то, положив С'=О, С=1, получаем е — ) а,хх У( (10) Замечание 2. Не сугцествует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод сушествует. Он будет изложен в следующем параграфе. Для случая же уравнений с переменными коэффициентами в главе ХЧ1 «Ряды» будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить приближенные решения, удовлетворяю!цие определенным начальным условиям. Здесь мы докажем теорему, которая позволяет находить общее решение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, если известно одно его частное решение.
Так как иногда удается найти или угадать одно частное решение непосредственно, то эта теорема во многих случаях может оказаться полезной. Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то нахождение обгцего решения сводится к интегрированию функций. Доказательство.
Пусть у, есть известное частное решение уравнения у" +а,у'+а,у =О. Найдем другое частное решение данного уравнения так, чтобы у, и у, были линейно независимы. Тогда общее решение выразится формулой у=С!у,+С,у„где С„ С,— произвольные постоянные. На основании формулы (7) (см. доказательство теоремы 4) можно написать у,'у,— у,у,' = Се з" ".
Таким образом, для определения у, мы получаем линейное уравнение первого порядка. Проинтегрируем его следующим образом. У«у! Уауг 1 - Га,ех Е Г уз ! Разделим все члены на у,:, = —,Се ° ', или — ! — 'г1= Ух уг Ех Уг - Га,вх = —,Се " '; отсюда Ух ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл хьи 74 Пример 3. Найти общее решение уравнения (1 — хх) у" — 2ху'+ 2у = О. Р е ш е н н е.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что ато уравнение нмеет частное решение ух=х. Найдем второе частное решенне ух так, чтобы ух н у, были линейно неаавнснмы. — 2х Заметны, что в нашем случае а,= —, на основании формулы (1О) ! — хх получаем Г,~= Г, ех ах Г, 1-х' à — 1а1х-х1 1 хх хх = 3 хх ) хх 11 — хх Следовательно, общее решение имеет внд у= С„х+ С.
( — х 1п ~ — ~ ~ 1), й 21. Дннеиные однородные уравнения второго иорядка с постоиииымн коэффициентами Имеем линейное однородное уравнение второго порядка д" +рд +дд= О, (1) где р и д — постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, достаточно, как было доказано выше, найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде д=еа", где й=сопзг; (2) тогда д'=йеа", д"=йхе~*. Подставляя полученные выражения производных в уравнение ((), находим еах (й'+рл+д) = О.
Так как еа" ФО, то, значит, йе + рй + д = О. Очевидно, что д, и д,— линейно независимые решения, так как у' ~ сопз(. ух Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид — ) х,х'х д= С,д,+С,д,~ °,(, ((() ух ааП ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ч5 Следовательно, если й будет удовлетворять уравнению (3), то будет решением уравнения (1).
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1). Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня; обозначим их через лт и йа. При этом Возможны следующие случаи: 1. й, и йа — действительные и притом не равные между собой числа (Й1Фй,); П. йт И Йа — КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛа; 1Ц. йт И й,— дЕЙСтВИтЕЛЬНЫЕ раВНЫЕ ЧИСЛа (Йт=йе). Рассмотрим каждый случай отдельно. 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: й,ФЙа. В этом случае частными решениями будут функции у — еа,е у — еа,е Эти решения линейно независимы, так как а,е — ' = — „= в<аз -а 1" Ф сопз1.
уг васе Следовательно, общий интеграл имеет вид у — С ее~» 1 С саче Пр и мер !. Дано уравнение у" +у' — 2У =О. Характеристическое уравнение имеет вид ае+е †2. Находим корни характеристического уравнения: 1ет а — — — ~ еее — +2, аг —— 1, не —— — 2. У 4 Оаигий интеграл есть у = С,ее+ С,е-'". 11. Корни характеристического уравнения комплексные. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим йг = а+ 1(1, йа = а — 111, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ ХШ Частные решения можно записать в форме у =Е1а+1Е1х " =Е1 1а>х (4) у = и (х) + 1о (х) удовлетворяет уравнению (1), то этому уравнению удовлетворяют функции и(х) и о(х).
Действительно, подставляя выражение (5) в уравнение (1), будем иметь (и (х) +1о (х)1е+ р 1и (х) + 1ш(х)1'+ д (и (х) +1Е (х)1 = О, или (и" +ри'+ди)+1(о" +ро'+4о) =О. Но комплексная функция равняется нулю тогда и только тогда, когда равны нулю действительная часть и мнимая часть, т. е. и"+ри'+ди=О, о" +ро'+до=О. Мы и доказали, что и(х) и о(х) являются решениями уравнения.
Перепишем комплексные решения (4) в виде суммы действительной и мнимой части: у =Еахссзрх+1Еахз!Прх у =ЕахСО513Х вЂ” 1Еа" 3!Прх. По доказанному частными решениями уравнения (1) будут действительные функции (6') (6") у,=е" соэ13х, у,= еах з1п 13х. Функции у, и у, линейно независимы, так как — =- с1д ~3х чь сопз1. уе еах сох рх у, еах е1п Рх Следовательно, общее решение уравнения (1) в случае комплекс- ных корней характеристического уравнения имеет внд у = С,у, + С,у, = Сеа' соз ~х+ Сееах з)п рх, или у= еах(С1созрх+С,з(п~3Х), где С1 и С,— произвольные постоянные. Это †комплексн функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (1) (см. й 4 гл. 1111). Очевидно, что если какая-либо комплексная функция действительного аргумента йгц ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 77 Важным частным случаем решения (7) является случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые.
Это имеет место тогда, когда в уравнении (1) р=О, и оно имеет вид у" +дд=О. Характеристическое уравнение (3) принимает вид й+О=О, д>О. Корни характеристического уравнения лы= ~ 6'0= ~ Ф, а=О. Решение (7) принимает вид у = С, сов Рх+ С, 3)п Рх. Пример 2. Дано уравнение у" + 2У'+ бу = О. Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у! = =О у)= =1 У Построить график. Решение. 1) Напишем характеристическое уравнение йо+2Л+5=0 и найдем его корни йт = — 1+2й йо — — 1 — 21.
Следовательно, общий интеграл есть у =е-х (С, соа 2х+Со в1п 2х). 2) Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным ус- Рис. 273. ловиям, и определим соответствующие значения Сг и С,. На основании первого условия находим: О=о-о (Сг сов (2 О)+ +С,з1п(2 0)), откуда С,=О. Заметив, что у'=е-х 2С,соз2х — е-хСо з1п 2х, из второго условия получаем 1=2Со, т. е. Со=172. Таким образом, искомое ! частное решение есгь у= — е-ха1п 2х. График его показан на рис. 273. 2 П р и и е р 3. Дано уравнение у" +9У =О. Найти общий интеграл н частное решение, удовлетворяющее начальным условиям У 1х=о=о У (х=о=3.
Р е ш е н и е. Напишем характеристическое уравнение до+9=0. Находим его корни; Общий интеграл есть йг=З, йо= — 31. у = Ст соз Зх+ С, з1п Зх. 1гл. хш диеоеранцилльные тилэнения 78 Найдем частное решение, Предварительно найдем у' = — ЗСт в1п Зх+ ЗС, сов Зх. Постоянные Ст и С, определяются из начальных условий: О =Сх сов О+С, вш О, 3= — ЗС, вш О+ась сов О. Они равны Частное решение: С=О, С=к у=аш Зх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
