34_PiskunovT2 (523113), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Общий интеграл неоднородного уравнения находится по формуле у=у+у», т. е. у=Сосо+Сое-а+Со сов х+С, Мп х — хз — 1. (гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ П р имер х. Решить уравнение у'У вЂ” д= 5 соз х. Р е ш е н н е. Характеристическое ураваенне А4 — 1 =О имеет корни Ах=1, й,= — 1, йз=~, й,= — г. Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения является: У=С,е" +Сзе-х+Сз соз х+С Мп х. Далее, правая часть данного неоднородного уравнения имеет внд ! (х) = М соз «+ Л' з!и х, где М = 5, )У = О. Таге как ! является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у*= а (А соз х+ В з!и х). Подставляя зто выражение в уравнение, найдем 4А згп х — 4В соз к= 5 соз х, откуда 4А=О, — 4В=5, нлн А=О, В= — 5)4. Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является 5 у'= — — х з!и х, 4 а общим решением '5 у=Стет+С е-"+Сз соз х+Сзз!п х — хз!их.
4 2 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний В настоящем и следующих параграфах мы рассмотрим одну задачу прикладной механики, исследован и разрешив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений. Пусть груз массы 9 покоится на упругой рессоре (рис. 274). Отклонение груза от положения равновесия обозначим через у.
Отклонение вниз будем считать положительным, вверх — отрицательным. В положении равновесия вес уравновешивается упругостью пружины. Предположим, что сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия,— так называемая восстанавливающая сила †пропорциональ отклонению, т. е. равна — )гу, где Й вЂ некотор постоянная для данной рессоры величина (так называемая акесткость рессоры») *). Предположим, что движению груза (4 препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т.
е. сила — Ао = — )ь — „", где лр )ь = сопя! ) О (амортизатор). Напишем дифференциальное уравне- «) Рессоры, у которых восстанавливающая сила пропорциональна отклонению, называются рессорамн с «лннейной характеристикой». зсб) УРАВНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ 95 нне движения груза на рессоре. На основании второго закона Ньютона будем иметь Π—,= — йу — Л вЂ” „, г22у ггу (1) (здесь 72 н Л вЂ” положительные числа). Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с посто- яннымн коэффициентами.
Это уравнение можно переписать так: гггу Ну — „, +р — „+дую=О, где обозначено Р=Л(Я, 7=/г!Я. Предположим, далее, что ннжняя точка рессоры совершает вертикальные движения по закону е=ср((). Это, например, будет 772 гсбгеууе райговгб)гг Рис. 275, Рис. 274, иметь место, если нижний конец рессоры прикреплен к катку, который вместе с рессорой н грузом движется по неровности (рис. 275). В этом случае восстанавливающая сила будет равна не — еу, а — и (у+ <р (()1, сила сопротивления будет — Л (у'+ гр' (()1, н вместо уравнения (1) мы получим уравнение О ф+Л ф+йу= — Ьр(7) — Лр (7), (2) илн — „,г+Р,д', +ЧУ=(((), (2') где обозначено г (() ~Р (г) + Ляг' (() е Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Уравнение (Г) называют уравнением свободных колебаний, уравнение (2') †уравнени вынужденных колебаний. ~гл, хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний д"+ру'+ду=о (р>0, д>0, см. й 26). (1) Напишем соответствующее характеристическое уравнение й +рй+д=О и найдем его корни: 1) Пусть р'/4 > д. Тогда корни й, и е,— действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции: д=С,еьр+С,еь,1 (й <О й <0) (2) Из этой формулы следует, что отклонение у при любых начальных условиях асимптотнчески стремится к нулю, если г — оо.
В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры л. 2) Пусть р'/4= д; тогда корни й, ил, равны между собой (и равны отрицательному числу — рР2). Поэтому общее решение будет Р Р~ р~ у=С,е ' +С,1е ' =(С,+С,г)е Здесь отклонение также стремится к нулю при г- оо, однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя С,+С,(). 3) Пусть р=о, т.
е. отсутствует сила сопротивления. Уравнение (!) примет вид д" +дд = о. (4) Характеристическое уравнение имеет вид й'+у=о, а его корни равны йг=ф, й,=- — (М, где р=Уд Общее решение: у = С, соз рГ + С, з1п рг. (5) В последней формуле произвольные постоянные С, и С, заменим дРУгими. Именно, введем постоЯнные А и ~Р„ свЯзаннйе с Сг и С, соотношениями С;= А з1п~р„С,= А соз~р,.
А и ~р, через Сз и С, определяются так: А = УС1+ С2, ~р, = агс(и — '. с' СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ и 77! Подставляя значения С, и С, в формулу (5), будем иметь у= А з!пар,соз!)!+А созф,з!и!3(, или у= А з!П()31+ф,). (б) Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени Т, за который аргумент синуса изменяется на 2п, называется периодом колебаний; в данном случае Т = 2п1!!. Частотой колебания называется число колебаний за время 2п; в данном случае частота равна Р; А †величи наибольшего отклонения от положения равновесия — называется амплитудой колебания; фа называется начальной фазан.
График функции (6) изображен на рис. 276. Рнс. 276. Рнс. 277. В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний. Рассмотрим в комплексной плоскости хОу радиус-вектор А = А(1) постоянной длины !А ~ = А =сонэ!. Конец вектора А при изменении параметра 1 (в данном случае ( †вре) описывает окружность радиуса А с центром в начале координат (рис. 277). Пусть угол ф, образованный вектором А и осью Ох, выРажаетсЯ так: а!7=87+фа.
Величина Р называетсЯ угловой скоростью вращения вектора А. Проекции вектора А на оси Оу и Ох будут у=А з(п(Рг+фа), х=Асоз9(+фа). (7) Выражения (7) суть решения уравнения (4). Рассмотрим комплексную величину г=х+ ау= А соз(!!!+фа)+1А з!П(йГ+фа), или г = .4 1соз Ф ! + фа) + 1 з!п (!о а + фа) 1. (8) Комплексная величина г, как это было указано в 2 ! гл. ЧП, изображается вектором А. л н. с. пискунов, в.
г 1гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 88 Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний (4) можно рассматривать как проекции вектора А на оси Оу и Ох, вращающегося с угловой скоростью Р при начальной фазе ф,. Пользуясь формулой Эйлера (см. (4) 9 5 гл. ЧП), выражение (8) можно переписать так: г = Ае1 1$1+Фю> (9) Мнимая и действительная части выражения (9) являются решениями уравнения (4). Выражение (9) называется комплексным Рис. 278. решением уравнения (4). Перепишем выражение (9) так: г = Ае'чье1в1 (10) Выражение Аеим называют комплексной амплитудой. Обозначим ее через А*.
Тогда комплексное решение (10) перепишется так: г = А*е1в'. (11) рй 4) Пусть р ~ 0 и — < д. В этом случае корни характеристического уравнения †комплексные числа й,=а+ф, й,=а — 1р, где а= — — <О 8= гь д — —, Р / Рй 2 ' г 4' Общий интеграл имеет вид у=е '(С1созРг'+С,$1прг), (12) или у= Аеп1 $1п Ф1+фО). (13) Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать вели- чину Ае"', зависящую от времени. Так как а < О, то она стре- Вынужденные колввзния мится к нулю при 1- ео, т.
е. здесь мы имеем дело с ватухаюи(ими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис. 278, 5 28. Вынужденные колебания Уравнение вынужденных колебаний имеет вид у"+ру'+ду=~Я (р)0, д)0, см. ~ 28). (1) Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая внешняя сила является периодической и изменяется по закону 1(1) =ав!па(; тогда уравнение (1) примет вид у" +ру'+ду=а в!па1. рй 1) Предположим сначала, что р~0 и — (д, т. е. корни характеристического уравнения — комплексные числа и~ !)). Вэтом случае (см. формулы (12) и (13) $ 27) общее решение однородного уравнении имеет вид у = Ае"' в!п (р(+~р,). (2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме у'= М сова(+)У в!наг. (3) Подставляя зто выражение у" в исходное дифференциальное уравнение, находим значения М и рт': — ж а,у (ч — ав) а ~Р)в ! Риаз =(ч аз)в ! Яваз Прежде чем подставить найденные значения М и !у в равенство (3), введем новые постоянные А* и <р', положив М=А*з!п~р*, У=А'сов~р', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
