34_PiskunovT2 (523113), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. А' = г'М'+ Ф' = !кф = —. 1/ (ч ай)$ + р2а2 У Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в форме у'=А'в!п~р*сова(+А'сов<р'з!па1 = А*в!п(а(+<р'), нли окончательно у = в(п (а( + ~р*). )/(ч ааР ! Рацу ДИФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. хш що Общий интеграл уравнения (!) равен у= у+ уа, т, е. у = Аеа1 з!п (()(+ фо) +, з!и (вг+<р*). Р~(ч — Ф')'+ Р Первый член суммы, стоящей в правой части (решенне однородного уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличении ! он убывает, н, следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второй член, определяющий вынужденные колебания.
Частота га этих колебаний равна частоте внешней силы Г(!); амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем меньше р и чем ближе га' к д. Исследуем подробнее зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты о прн различных значениях р. Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через 0(м): 1) (о) = Г' (Ч вЂ” Ф')'+ Р'а' Положим 4=Я ((), при р=О равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда А) (ы)— У(Р'~ — ') -)-Р * Р, ~~" ~, рз у ()2 ра Введем обозначения «)Й.=).
р)(! =-у, где Х вЂ” отношение частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний системы, а постоянная у не зависит от возмущающей силы.. Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой а ( ) = ()' У(! — х ) + т х (4) Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении А„при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции )" (! — Р)'+ у9Р достигается при й=у ! —— г 2 и равен Следовательно, максимальная величина амплитуды равна а ва~ р~т )/ ! —— 3 4 ~гл.
хш дифэегвнциальныв тглвнвния Ш2 Общее решение однородного уравнения у=Сгсовр(+С,ыпр( (~3'=д). Если Раса, т. е. если частота внешней силы не равна частоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид у* = М сов ы(+ )У вш вй Подставляя это выражение в исходное уравнение, найдем М=О, )У=— а д — и' ' Общее решение есть у= Ав1п(~(+<р,)+ — ",ыпыд Таким образом, движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой Р и вынужденного колебания с частотой сэ. Если ы = р, т. е. частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функРис. 280. ция (3) не является решением уравнения (6). В этом случае в соответствии с результатами Э 24 частное решение надо искать в форме уч = ((М сов (3(+ У 81п ~Я). (7) Подставляя это выражение в уравнение, найдем М и й7: М= — — У=О.
2Р Следовательно, уч = — — ( сов ~М. 28 Общее решение будет иметь вид у = А ып (~Я + <ц,) — — 1 соз Р1. Второй член, стоящий в правой части, показывает, что вэтом случае амплитуда колебания неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени (. Это явление, имеющее место х 29] СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ НЦ при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы, называется резонансом. График функции у* изображен на рис.
280. $29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений При решении многих задач требуется найти функции у,= у~(х), у,= у,(х), ..., у„= у„(х), которые удовлетворяют системе диф. фереициальных уравнений, содержащих аргумент х, искомые функции у„у„..., у„и их производные. Рассмотрим систему уравнений первого порядка > 'ду„" =~. (х, У,. У., ", У.).
) где уо у„..., у„— искомые функции, х — аргумент. Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной. Проинтегрировать систему — значит определить функции уо у„..., у„, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям У1!к=к.
Уы Уа!к=к.=Ум» ° ~ Уп!к=к,=Укь (2) Интегрирование системы вида (1) можно произвести следующим образом. Днфференцируем по х первое из уравнений (1): «Фу~ д(з д(т дут д(1 ду„ — = — + — — +. ° .+ — —" ° дхь дх ду~ дх ' ' ' ду„ дх ' Заменяя производные —, —, ..., — их выражениями ду1 дуа дук дх ' дх ' '''' дх ~,, 1„ ..., ~„ из уравнений (1), будем иметь уравнение Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем дху — „„' =р.(*, у., у., "°, у.) сгл, хссс ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 104 Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение д — — Г„(х, Уо ..., 1с„).
сСиуС Итак, мы получаем следующую систему: й/с — „— 1(,р.,", р.),1 (3) — „-ес=г"„(х, у„..., у„). Из первых п-1 уравнений определим у„у„ зив их через х, ус и производные — „ сСус сСЧсс лагается, что эти операции выполнимы): (х ус у' усп-сс) У,=сз, (Х, У„У,', ..., У'," "'), ..., у„, вырасСи - суС вЂ”, (предпо- (4) у,=ср„(х, дь у,', ..., у'," "). Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение и-го порядка для определения у, — — ЧС (Х УС йс ° ° ° РГ ). Решая это уравнение, определим у„: ус —— фс(х, Сс, С„..., С„). (6) Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных Сь С„..., С„(подобно тому, как мы это делали в алучае одного дифференциального уравнения).
Замечание 1. Если система(1) линейна относительноискомых функций, то и уравнение (5) будет линейным. Дифференцируя последнее выражение и-1 раз, найдем просСус азу» сС -1ус изводные дх, — „,, ..., —, как функции от х, фф..., С„. Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем у„у„..., у„: у,=с),(х, Сс, С„..., С,), (7) у„=св„(х, Сс, С„..., С„). згм системы о выкновенных дие неренцнлльных уравнении !об Пример !. Проинтегрировать систему оу пг — =у+г+х, — = — 4у — Зг+2» ох при начальных условиях у),,=1, г!.,=о. Решение.
1) Дифференцируя по х первое уравнение, будем иметь нчу Пу <!г — = — + — +1. Ыхз лх»х пу и'г Подставляя сюда выражения — и — из уравнений (а), получим ах ох лзу — з=(у+а+»)+( — 4у — За+2»)+1~ Лхз (б) или — = — Зу — 2г+ Зх+ !. азу пхз (в) 2) Из первого уравнения системы (а) находим г= — — у — х ох (г) и подставляем в только что полученное уравнение; получаем азу ~ну — = — Зу — 2 !! — — у — х) +Зх+1, Ыхз '! йх от у ну „—, + 2 „— +у = бх+ 1. (л) Общее решение последнего уравнения есть у=(Сх+Сех) е»+бх — 9 (е) и на основании (г) г = (Сз — 2Сх — 2Сзх) е-» — бх+ 14.
(ж) Подберем постоянные Сг и С, так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): у !»=о=1, г )х-а=о. Тогда нз равенств (е) и (ж) получаем 1=С! — 9, О=Се — 2Сг+14, откуда С1=10, Се=6. Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (б), имеет внд у=(!О+6х) е-»+бх — 9, г=( — 14 — 12х) е-» — ох+14. Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предпо- лагали, что из первых а — 1 уравнений системы (3) можно опре- делить функции у„у„..., у„. Может случиться, что перемен- ные у„..., у„исключаются не из п, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения у мы получим уравнение, порядок которого ниже и. Пример 2.
Проинтегрировать систему пх оу пг йг Ф ' й( — =у+г, — =х+г, — =»+у. (гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решение. Дифференцируя по ( первое уравнение, находим —,=„— +„— =(х+г)+(х+у), —;=2х+у+г. Исключая переменные у и г из уравнений ех о»х — =у+г, — =2х+у+г, ег ' йга будем иметь уравнение второго порядка относительно л аах ох — — — 2х=о. лм и( Интегрируя это уравнение, получим его общее решение х = Сге-с+ Саеег. (гс) Отсюда находим — = — Сге г+2С»ем и у= — — г»» — С е-г-)-2С»еэг — г. ох лх (()) йг Б Подставляя в третье из заданных уравнений найденные выражения для х и у, получим уравнение для определения г лг г(г — +г=ЗС еэг.
Интегрируя это уравнение, найдем г = С ее-Г+ С,е»Г г (у) Но тогда на основании уравнений (()) получаем у= (Сг+Сэ) е-г-)-С»езт. Уравнения (а), (б) и (т) дают общее решение заданной системы. В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.
Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы Р сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Р„, Р„, Р» — проекции силы Р на оси координат. Положение точки в любой момент времени Г определяется ее координатами х, у, г. Следовательно, х, у, г являются функциямн от С Проекции вектора скорости точки ох оу ог на оси координат будут — , — , — . ог' аг ' ж' Предположим, что сила Р, а следовательно, и ее проекции Р„, Рэ, Р зависят от времени Г, положения х, у, г точки и от скорости движения точки, ох гГу г(г т. е. ст —, —, —. ог от ' от' Искомыми функциями в этой задаче являются три функции х=х(г), у=у(т)> г=г(г).
йзэ) снстямы овыцновянных днооявянцнальных урдвняннн 10у (9) Тогда Система двух уравнений второго порядка (9), (1О) с двумя искомыми функциями х(Г) и у(Г) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями х, у, и, о Ых бу — =и, — =о; бг ' бг <Ь ш — =г' (Г, х, у, и, о). бг ш — =г"х(Г, х, у, и, о) Ыи цг — х Заметим в заключение, что рассмотренный нами общий прием решения системы может быть в некоторых конкретных случаях заменен тем или иным искусственным приемом, быстрее приводящим к цели. П р и и е р 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений бэу бэг — =г, Фхэ ' бхз Решение. Диффереицируем по х два раза обечастипервогоуравнения: иу изг бха бхэ ' бзг бау Но — у, поэтому получаем уравнение четвертого порядка — = у.
Инте- бхз бха грируя зто уравнение, получим его общее решение (см. й 22, пример 4) у = Схе" + С,е-" + Сз соз х+ Са з1п х. бзу Находя отсюда —, и подставляя в первое уравнение, найдем г1 цха г=Сдеч+Сзе "— Сз сов х — Сза1п х. Эти функции опйеделяютсн из уравнений динамики (закон Ньютона) и= — г" (йх,у,г,—,—,— ), И (, ' б(' и'б() (8) бзг У Ых бу бг 1 т= — Ез(йх,уг,—,—,— ). бгз ( ' ' бг лг ПГ) Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т. е.
движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Оху), получаем систему двух уравнений для определения функций х(Г) и у(Г): г1эх / бх бу 1 т — =г 11дх,у,—,— ) бгз х ~ » бт ~Г)~ бзу У бх бу й т — ~У (Сх,у,—,— ). ан з(,' ' ' бт бт)' (1О) Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка.
На примере уравнений (9) и (1О) покажем, как это делается. Введем обозначения бх бу — =и, — =о. бг ' бг ~гл. хш дие Фзгенцилльныв уэхвнвния шз $30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть Мы имеем систему дифференциальных уравнений ех1 — =а„х,+а„х,+ . +а,„х„, ех, — =а„х,+а„х,+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
