34_PiskunovT2 (523113), страница 19
Текст из файла (страница 19)
+а,„х„, и~л ~~" =а„,х„+ал,х,+ ° ° ° +а„„х„, ~ где коэффициенты ау суть постоянные. Здесь 1 — аргумент, хе(1), х, (1), ..., х„(1) — йскомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Как уже указывалось в предыдущем параграфе, эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению и-го порядка, которое в данном случае будет линейным (это было указано в замечании 1 предыдущего параграфа). Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению и-го порядка.
Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений. Будем искать частное решение системы в следующем виде: х,=а,е~', х,=а,ем, ..., х,=а„ем. (2) Требуется определить постоянные ап а„..., а„и А так, чтобы функции а,е"', а,е"', ..., а,е"' удовлетворяли системе уравнений (1).
Подставляя их в систему (1), получим ла,ем =(а„а,+а„а, +... +а,„а„) ем, йа„ем = (а„,а, + а„,а, +... + а„,а„) ем. Сократим на е"'. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при а„а„..., а„, получим систему уравнений (ам — Й) а, + а„а, +...
+ а„а,+ (а„— Й)а,+... + а;,а„= О, а,„а„= О, (3) а„,а,+... +(а„„вЂ” е)а„=О. а„,а, + Выберем а;, а„..., а„и А такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно ап а„., а„. Составим В 30] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ОЗ определитель системы (3); ав,— а а;, ... аы аы авв 'в . ав» о (а) = аы а„, ... а„„ — а Если й таково, что определитель вв отличен от нуля, то система (3) имеет только нулевые решения ав=вх,=...
=а„=О, а следовательно, формулы (2) дают только тривиальные решения ХТ(1) =Х,(1) =... =Ха(1) =О. Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких а, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению п-го порядка для определения й: авв —" а1в ав~ авв аьв ав» а„д а„в ... ааа — Ь для корня ав решение системы (!) Хав'=сса'Евв, хР'=а',ввеМ .. Х„"'=авв'еввв; для корня л„решение системы (1) ° '''э~а Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций лт — — Срввв ~ЕМ+ С а вевв1 + + С авв веаа~ ивеав+С авеау+ +С вав авв в л„= Сва„'в'е" 4+Сви„'ввев в +...
+ С я<а>савв в а ° Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения. Рассмотрим несколько случаев. 1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначимчерезя„й„..., й„ корни характеристического уравнения. Для каждого корня й; напишем систему (3) и определим козффициенты ав", ава', ..., аввв.
Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем: для корня лв решение системы (1) х(в' = и~а'е» в, хв~в' = авввев,в хво ая~ев,н (гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по х) = а) а<С, (2) <2) х = сс) 442 (2) (2) 1 и определяем а>1' и ссзпз (и 1а', '+(3 — 1) с<1 '=О, Составляем систему (3) для корня Ас= (2 — !)а)< +2аз() 0 нли а',и+ 2аз '=О, откуда аз = — — аз, Полагая а) =1, получаем аз = — —. Таким обра- а> 1 си (1> а> 1 2 2 ' аом, мы получилн решение системы х) =ес, хз = — е(12.
(1) а) Составляем далее систему (3) для корня (22=4 и определяем а(1' и св)а'1 — 2аз +2аз =О, а) — ссз =О, (2) (2> <2) (2) откуда сс, =аз и а) =1, аз =1. Получаем второе решение системы <2> <2> <2> <2> х, = 242, хз = 44<. <2> <1> Общее решение системы будет (см.
(6)) 1 х) —— С)е(+ С244<, хз =- — — С)е(+ Сзе<2 2 П. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня: н) = а+ ср, и, = а — ))). Этим корням будут соответствовать решения х)п — о>ен<4<Р) < (1 1 (7) х,'"=а';"е<а '"'' (1=1, 2, '..., п). (8) Коэффициенты а)п н сс('> определяются из системы уравнений (3). где фф..., ф— произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1).
Это есть общее решение системы (1). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. Пример 1. Найти общее решение системы уравнений ()Х) <(хз — =2х +2х, — =-х +Зх. <(( ' ш Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение !' '.-' 1=' нли /22 — ба+4=0. Находим его корни А,=1, аз=4.
Решение системы ищем в виде а> и>( а> о>( х) =ос,'е-', хз =аз ес и $30! СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Так же как и в 2 21, можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения х,'" = е"1 ()Ч(" соз Рх+) 1(*> 3!п ()х), (9) х»( ' = е" ()>1(1> з)п«+) )" совр«), где Л';1>, )а>, )>(1>, )>>(Р> — действительные числа, определяемые через сс(1>и а(.1>, 1 Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы.
Пр имер 2. Найти общее решение системы (С«» (С«1 — = — 7«1+ х„— = — 2«, — 5хз. ш ' ш Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение — 2 — 5 — й~ или й'+12й+37=0 и находим его корни й> = — 6+1, йз= — 6 — 1, Подставляя й»= — 6+» в систему (3), находим а> =1, аз =!+1.
(1> (1> Пишем решение (7): х',и =е(-1+»> ( «а'=(! (;) е(-1+»>» Подставляя й,= — 6 — » в систему (3), находим а, =1, аз =! — С. (1> а> Получим втору>о систему решений (8): е(-в-»>1 1(1> — (1;) е(-1-0 с Перепишем решение (7'): «1 =е 11 (сов»+1 з!п С) (7') (8') х(1 =(!+!) е 1» (сов С+»з1п»), х (а' = е-'( сов С -/- (е -1» з!л С, хз > =е 1((соз с — в!п 1)+ (е-1»(соз с+в»п 1).
Перепишем решение (8'): х»1' = е-'( соз 1 — »е-(1 з!и 1, хз' =е-'1(сот С вЂ” з1п 1) — Се-1( (соз С+в»п С), За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части: х(1 =е-1»сов», хз =е 1( (сов! — в!п 1), (О(1 «х>~>=е-1»в»п с, ха(1>=е-11(сов с-(-вй> с). ) Общим решением системы будет х» = С»е-М сов 1+ С,е-'> в>л 1, «, = с е-'» (сов 1 — за> О+с е-'» (соз с+з!п 1).
1гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1!2 Аналогичным методом можно находить решение системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных, уравнений второго порядка озх с)зя —,=амх+а„у, —,; =а„х+а„у. (10) Снова ищем решение в форме х = аеа', у = ()еас. Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на е"', получаем систему уравнений для определения а, В и й (азг — йз) а+асР = О„а„а+ (а„— й')Р = О.
(11) В>)>с>с р>3> = В) 3>е -)'С, р<з) В)з>еУ 3 с уи> В<4)е Уз с Отличные от нуля а и 11 определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю: (12) Это есть характеристическое уравнение для системы (1О); оно является уравнением 4-го порядка относительно а.
Пусть йс, й„ яз и й,— его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня й, из системы (11) находим значения а и й. Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид х = С)а)))ез '+ С,а'"ез*'+ С,сз"'е"'+ Сза)4)ез4>, у = С,йсз>еа '+ С,й)3)ее*с+ С,(1)3)еа с+ Сф)4>ез с.
Если среди корней будут комплексные, то каждой паре ком- плексных корней в общем решении будут соответствовать выра- жения вида (9). П р и и е р 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с>зх с>зр с>13 ' с>13 — =х — 4у, — = — х+у. Решение. Пишем характеристическое уравнение 112) и находим его корни: ~1 — йз — 4 й)=с', хз= — С, С)3=У'3, аз= — Г'3 ° Решение будем искать в форме ха> = ао>есс, х)3> = а)3>е СС, «)3) а[В> е 3 ! х>4> а)4)е-УЗ С узы понятия о теории нстоичнвости ляпунова 113 Из системы (11) находим о<Л и 3<в< с«1< и<э< — 1 а<з>=1, м<м й«< =1<2> В = !(2. Р<з! = — 1/2, ()<и = — 1/2. Выпишем комплексные решения: х<м=е<< =сов!+<в1п 1, у«<=05(сов !+!за< !), х<э<=е-и=сов ! — <з1п 1, у<э<=05(сов! — <зш !).
Решением будут действительные и мнимые части: х'х'=сов й у'х'=0,5соз 1, х'ы=зш 1, у'м=о,бз<п!. теперь можем написать общее решение х=С< соз !+С, в!п !+Сае зг +С<е 1 1 1 ьз< 1 -Кз< у= — Сх сов!+ — С,з!п ! — Сае — — С,е 2 2 2 2 Замечание. Мы не рассматривали в этом параграфе случай кратных корней характеристического уравнения. Этот вопрос подробно изложен, например, в книге: Петр овский И. Г. Лекции по теории обыкновенныи дифференциальных уравнений.— Мл Наука, !970. й 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
