34_PiskunovT2 (523113), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В рассмотренном ниже методе по формуле (2) определяют только несколько пеРвых значений У, когда 1» — ха( мало. Мы определим значения ут н у, прн х,=х,+г1 н прн ха=хе+26, беря -четыре члена разложения (у, известно на основанйн начальных данных): !гл. хш !32 диеевгвнцн»льные ге»знания Допустим теперь, что нам известны значения решения у„у„ д„..., у . На основании этих значений, пользуясь уравнением (!), мй можем вычислить значения производных д,', д,', у,', ..., у», а следовательно, Ьу»', Лу», . ° °, Ьу»» и Л»у», Ь»у» ° ° !Рд»-».
Определим значение у»+! по формуле Тейлора, полагая а=х„, х=х„»,=х»+й: в, /Р „6» »т у»+! д»+Ту» 1 2у»+! 23д» +''' гл~д» + Ограничимся в нашем случае четырьмя членами разложения: Ь, /Р»» у»+! у»+ ! д»+! 2д»+ ! 2 Зд» (5) В этой формуле неизвестными являются у„" и у»"', которые мы попытаемся определить через известные разности первого и второго порядков. глзносгнып метод )ЗЗ » зз) Предварительно представим по формуле Тейлора у» „полагая а=х,, х — а= — и: ( — й) ( — й)' у»-»= у»+ 1 У»+ 1.2 У» з (6) и у» „полагая а=х», х — а= — 2йл ( — 2») „( — 2й)з У»+ 1 У»+ 1 2 (7) Из равенства (6) находим й й» у» — у»-~=Л»у»-~= 1 у» — 1.2 у» . (8) (10) Подставляя выражение у»" в равенство (8), получим (11) Итак, у» и у»' найдены. Подставляя выражения (10) и (11) в разложение (8), получим й, й, вй У»+» У» 1 У" 2 У" »+!2 Это и есть так называемая Формула Адахюа с четырьмя членами, Формула (12) дает возъюжность, зная у„, у, „у „определить у»+,.
Таким образом, зная у„у, и у„мы можем нанти у, и далее У4 УБ Замечание 1. Укажем без доказательства, что если существует единственное решен»е уравнения (1) на отрезке (х„Ц, удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность приближенных значений, определенных по формуле (12), по абсолютной величине не превосходит Л(й', где Л( — постоя»пая, зависящая от длины интервала и вида функции 1(г, у) и не зависящая от величины й. Замечание 2. Если мы хотим получить большую точность выч»слеп»я, то следует брать больше, чеи в разложении (8), членов, и формула (12) соответствующим образом изменится.
Так, Вычитая из членов равенства (6) члены равенства (7), получим й . Зй' У» ' У» » У» » 1 У» 2 (9) Из (8) и (9) находим дзу' ь»у'" илп 1» У» = ят й'У»-з. (гл. хш дифоипинциальныв углвниния если вместо формулы (5) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т. е. дополним членом порядка (то, то вместо формулы ((2) аналогичным путем получим формулу Л . » , 5Ь а , ЗЬ Уа+в = У»+ 1 У»+ 2 АУ»-в +12 А'У»-в+ 3 А'У»-а Здесь у»+т определяется через значения у„, у» т, у», и у» а.
Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно знать четыре первых значения решения у„ут, у„у,. При вычислении этих значений по формулам типа (4) следует брать пять членов разложения. П р и ив р 1. Найти приближенные значения решения уравнения у'=у+х, удовлетворяющего начальному условию уо=1 при хо=О. Значения решения определить при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Найдем сначала у; и у, по формулам (4) и (4').
Из уравнения н начальных данных получаем уа= (у+х) (в=о =уе+хо= !+0= 1 Дифференцируя данное уравнение, получим у" =у'+1. Следовательно, уа=(у'+!) !а=о=1+1=2. Подставляя в равенство (4) значения уо, уе, уо и И=0,1, получим 0,1 0,1в 0,!в Ух=! + — ' ° 1+ — ' ° 2+ — ' ° 2= 1,1103, 1 12 123 Аналогично при 6=0,2 получим 0,2 0,2в 0,2в Ув =-1+ — ' 1+ — ' ° 2+ — ' ° 2= 1,2427, 1 1 2 1.2.3 Зная у„ уо у„ на основании уравнения находим уо = уе+ хо = 1 ув = ут+ хт = 1, 1103+ 0, 1 = 1,2103, ув = ув+ хе = 1,2427+ 0,2 = 1, 4427, Ьуе=0,2103. Ьуо=0,2324, Авуа=0,0221, Полученные значения заносим в таблицу! Дифференцируем еще раз: Следовательно, у =у, уа =уа=2.
4 зз! 135 РАЗНООТНЫЙ МЕТОД По формуле (!2) находим уо.' уо= 1,2427+ †' 1,4427 + †' 0,2324+ †' 0,022! = 1,3995. 01 01 501 2 Далее находим значения уо, Луо, Л'ут. Снова по формуле (12) находим уо. у.= 1,3995+ †, ° 1,6995+ — 0,2568+ †, О,! 0,0244= 1,5833. 0,1 0,1 5 Точное выражение решения данного уравнения: у=2ех — х — 1. Следовательно, у)х ол — — 2ео.о — 0,4 — ! =1,58364. Абсолютная погрешность: 0,0003 0,0003; относительная погрешность: ' гл 0,0002=0,02%. (Абсолютная погрешность значения уо, вычисленного по методу Эйлера: 0,06; относительная погрешность: 0,038=3,8',4.) П р и м е р 2.
Найти приближенные значения решения уравнения у' =уз+хо, удовлетворяющего начальному условию уз=О при хо=О. Значения решения определить при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Находим у;=От+От=б, У" )а=о= (2уу'+2х)!а=о=О, у !а=о=(2у" +2уу" +2)(. о=2. !гл хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !35 По формулам (4) и (4') получаем 0 13 У = — ', 2=-0,0003, 0,2а у.= — ' 2=0,0027. 31 Иэ уравнения находим уа =О, ут =0,0100, уе = 0,0400. На основании этих данных составляем первые строка таблицы, а затем значения у, и уа определяем по формуле (12). Итак, уз=0,0027+ — ' 0,0400+ —,' 0,0300+ — 0,1.0,0200=0,0090, 0,1 0,1 5 ух=0,0090+ — ' 0,0901+ — ' 0,0501-)- —.0,1 0,0201=0,02133. 01 01 5 2 ' 12 Отметим, что первые верные четыре знака в уа таковы: уа — — 0,02!3. (Это можно получить другими, более точными методами, с оценкой погрешности.) $34.
Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотренные в 8 32 и 33 методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений применимы и для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим 3 34! ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ )37 здесь разностный метод для решения систем уравнений. Рассуждения будем проводить для системы двух уравнений с двумя искомымн функциями. Требуется найти решения системы уравнений ф = ~4(х, у, г), (1) „— =)з(х, д, г), (2) удовлетворяющие начальным условиям у=д„г=г, при х=х,. Будем определять значения функции у и г при значениях аргумента х„хп х„..., х„, хз;, ..., х„, Пусть снова хо,— хо=!ох =й (й=О, 1, 2, ..., а — 1).
(3) Приближенные значения функции обозначим Уо д! ° ° Ум УА. и ° ° ° Уп и соответственно гоо гзо '' 'о «А го+о ' ' '~ го' Напишем рекуррентные формулы типа (12) 5 33! й . й, 5 Тдз 2 дз з Г2 й, Л . 5 гй гз+ Т~з+ 2 Ый + (2МР~ (4) Чтобы начать вычисления по этим формулам, нужно знать кроме заданных у, и г, еще ун у,; гь г,; эти значения находим по формулам типа (4) и (4') $ 33: Лз ),з Уà — Уо+ ! Уо+ 2 Уо+ а! Уо ° 2й, (2Л)з (2Л)з Уз=Уо+ ! Уо+ 2 Уо+ 3! Уо ° й йо йз г г + го+ го+ го 4 о ! 2 3! о 2Л . (2й)з .
(2Л)з г =г + — г,'+ — г" + — г,'". ! 2 о 3! до=о"4(Хо УО го) го=!' (Хо Уо го). Для применения этих формул нужно знать у,', до, до го, го. г,", к определению которых мы сейчас и приступим. Из уравнений (1) и (2) находим 1гл. хеи 1ЗВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференцируя уравнения (() и (2) и подставляя значения х„у„ г„у,' и г,', найдем Дифференцируя е1це раз, найдем у,'" и г'„'".
Зная уп у„г,, г„ находим из данных уравнений (!) и (2) у,', у,', г,', г,', Хуо', тзут', стоу„Иго', тзг'„тзого', после чего мы можем заполнить первые пять строк таблицы: По формулам (4) и (5) найдем у, и г„а из уравнений (1) и (2) найдем у,' и г,'. Вычислив оту;, оооут', оог;, тазг'„сиона по формулам (4) и (5) найдем у, и г, и т. д. Пример 1. Найти приближенные значения решений системы у'=г, г'=у с начальными условиями уо.=о, го=1 при хо=О. Вычислить значения решений при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4.
Ре ш е н н е. Из данных уравнений находим уо=г~х-о=1, го — у!я=о=О, ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ 4 341 Дифференцируя данные уравнения, найдем у." =у" 1„ , = з' го = г'" („, = у" к=о=в о=о= ! с=о=1 1„о =О. По формулам типа (4) и (5) находим У!=О+ — ' ° 1+ — ' ° О+ — ' ° 1=0,!002, О! ОН 0!з ! !2 3! уз = 0 + — ' ° 1+ — ' ° О+ — ', ° 1 = 0,20 ! 3, 0,2 0,2з 0,2з О! 01' 01' г,=!+ — ' О+ — ' !+ — ' О=.),ОО5О, 1 12 31 г,=!+ — ° О+ — ', .
!+ — ' 0,2 0,24 0,2' На основании данных уравнений находим уз = 1,0050, гз =О,!002, Уз=1,0200, го=0,20!3, дую=0,0050, ага=о,!002, Ьу~ =0,0150, Ьгз =0,1011, Лоро=0.0100, Лого=о 0009 и заполняем первые лять строк таблицы (см. с. !40). Далее по формулам (4) и (5) находим уз = 0,2013+ — ' . 1,0200 + — '. 0,0! 50.»- — 0,1 0,0100 = 0,3045, О! 01 5 1 ' 2 гз= 1,0200+ †' 0,2013+ †' .0,10!1 + — 0,1 0,0009 = 1,0452 О! 01 5 1 ' 2 ' 12 и аналогично уо =0,3045+ †' ° 1,0452+ †' 0,0252-)- †.0,1 0,0102 =0,410?, О,! О,! 5 2 ' 12 го= 1,0452 + †' 0,3045+ †' 0,1032+ — 0,1 0,0021 = 1,0809.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
