34_PiskunovT2 (523113), страница 23

Файл №523113 34_PiskunovT2 (Полезный учебник по дифференциальным уравнениям) 23 страница34_PiskunovT2 (523113) страница 232013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В рассмотренном ниже методе по формуле (2) определяют только несколько пеРвых значений У, когда 1» — ха( мало. Мы определим значения ут н у, прн х,=х,+г1 н прн ха=хе+26, беря -четыре члена разложения (у, известно на основанйн начальных данных): !гл. хш !32 диеевгвнцн»льные ге»знания Допустим теперь, что нам известны значения решения у„у„ д„..., у . На основании этих значений, пользуясь уравнением (!), мй можем вычислить значения производных д,', д,', у,', ..., у», а следовательно, Ьу»', Лу», . ° °, Ьу»» и Л»у», Ь»у» ° ° !Рд»-».

Определим значение у»+! по формуле Тейлора, полагая а=х„, х=х„»,=х»+й: в, /Р „6» »т у»+! д»+Ту» 1 2у»+! 23д» +''' гл~д» + Ограничимся в нашем случае четырьмя членами разложения: Ь, /Р»» у»+! у»+ ! д»+! 2д»+ ! 2 Зд» (5) В этой формуле неизвестными являются у„" и у»"', которые мы попытаемся определить через известные разности первого и второго порядков. глзносгнып метод )ЗЗ » зз) Предварительно представим по формуле Тейлора у» „полагая а=х,, х — а= — и: ( — й) ( — й)' у»-»= у»+ 1 У»+ 1.2 У» з (6) и у» „полагая а=х», х — а= — 2йл ( — 2») „( — 2й)з У»+ 1 У»+ 1 2 (7) Из равенства (6) находим й й» у» — у»-~=Л»у»-~= 1 у» — 1.2 у» . (8) (10) Подставляя выражение у»" в равенство (8), получим (11) Итак, у» и у»' найдены. Подставляя выражения (10) и (11) в разложение (8), получим й, й, вй У»+» У» 1 У" 2 У" »+!2 Это и есть так называемая Формула Адахюа с четырьмя членами, Формула (12) дает возъюжность, зная у„, у, „у „определить у»+,.

Таким образом, зная у„у, и у„мы можем нанти у, и далее У4 УБ Замечание 1. Укажем без доказательства, что если существует единственное решен»е уравнения (1) на отрезке (х„Ц, удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность приближенных значений, определенных по формуле (12), по абсолютной величине не превосходит Л(й', где Л( — постоя»пая, зависящая от длины интервала и вида функции 1(г, у) и не зависящая от величины й. Замечание 2. Если мы хотим получить большую точность выч»слеп»я, то следует брать больше, чеи в разложении (8), членов, и формула (12) соответствующим образом изменится.

Так, Вычитая из членов равенства (6) члены равенства (7), получим й . Зй' У» ' У» » У» » 1 У» 2 (9) Из (8) и (9) находим дзу' ь»у'" илп 1» У» = ят й'У»-з. (гл. хш дифоипинциальныв углвниния если вместо формулы (5) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т. е. дополним членом порядка (то, то вместо формулы ((2) аналогичным путем получим формулу Л . » , 5Ь а , ЗЬ Уа+в = У»+ 1 У»+ 2 АУ»-в +12 А'У»-в+ 3 А'У»-а Здесь у»+т определяется через значения у„, у» т, у», и у» а.

Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно знать четыре первых значения решения у„ут, у„у,. При вычислении этих значений по формулам типа (4) следует брать пять членов разложения. П р и ив р 1. Найти приближенные значения решения уравнения у'=у+х, удовлетворяющего начальному условию уо=1 при хо=О. Значения решения определить при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Найдем сначала у; и у, по формулам (4) и (4').

Из уравнения н начальных данных получаем уа= (у+х) (в=о =уе+хо= !+0= 1 Дифференцируя данное уравнение, получим у" =у'+1. Следовательно, уа=(у'+!) !а=о=1+1=2. Подставляя в равенство (4) значения уо, уе, уо и И=0,1, получим 0,1 0,1в 0,!в Ух=! + — ' ° 1+ — ' ° 2+ — ' ° 2= 1,1103, 1 12 123 Аналогично при 6=0,2 получим 0,2 0,2в 0,2в Ув =-1+ — ' 1+ — ' ° 2+ — ' ° 2= 1,2427, 1 1 2 1.2.3 Зная у„ уо у„ на основании уравнения находим уо = уе+ хо = 1 ув = ут+ хт = 1, 1103+ 0, 1 = 1,2103, ув = ув+ хе = 1,2427+ 0,2 = 1, 4427, Ьуе=0,2103. Ьуо=0,2324, Авуа=0,0221, Полученные значения заносим в таблицу! Дифференцируем еще раз: Следовательно, у =у, уа =уа=2.

4 зз! 135 РАЗНООТНЫЙ МЕТОД По формуле (!2) находим уо.' уо= 1,2427+ †' 1,4427 + †' 0,2324+ †' 0,022! = 1,3995. 01 01 501 2 Далее находим значения уо, Луо, Л'ут. Снова по формуле (12) находим уо. у.= 1,3995+ †, ° 1,6995+ — 0,2568+ †, О,! 0,0244= 1,5833. 0,1 0,1 5 Точное выражение решения данного уравнения: у=2ех — х — 1. Следовательно, у)х ол — — 2ео.о — 0,4 — ! =1,58364. Абсолютная погрешность: 0,0003 0,0003; относительная погрешность: ' гл 0,0002=0,02%. (Абсолютная погрешность значения уо, вычисленного по методу Эйлера: 0,06; относительная погрешность: 0,038=3,8',4.) П р и м е р 2.

Найти приближенные значения решения уравнения у' =уз+хо, удовлетворяющего начальному условию уз=О при хо=О. Значения решения определить при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Решение. Находим у;=От+От=б, У" )а=о= (2уу'+2х)!а=о=О, у !а=о=(2у" +2уу" +2)(. о=2. !гл хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !35 По формулам (4) и (4') получаем 0 13 У = — ', 2=-0,0003, 0,2а у.= — ' 2=0,0027. 31 Иэ уравнения находим уа =О, ут =0,0100, уе = 0,0400. На основании этих данных составляем первые строка таблицы, а затем значения у, и уа определяем по формуле (12). Итак, уз=0,0027+ — ' 0,0400+ —,' 0,0300+ — 0,1.0,0200=0,0090, 0,1 0,1 5 ух=0,0090+ — ' 0,0901+ — ' 0,0501-)- —.0,1 0,0201=0,02133. 01 01 5 2 ' 12 Отметим, что первые верные четыре знака в уа таковы: уа — — 0,02!3. (Это можно получить другими, более точными методами, с оценкой погрешности.) $34.

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Рассмотренные в 8 32 и 33 методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений применимы и для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим 3 34! ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ )37 здесь разностный метод для решения систем уравнений. Рассуждения будем проводить для системы двух уравнений с двумя искомымн функциями. Требуется найти решения системы уравнений ф = ~4(х, у, г), (1) „— =)з(х, д, г), (2) удовлетворяющие начальным условиям у=д„г=г, при х=х,. Будем определять значения функции у и г при значениях аргумента х„хп х„..., х„, хз;, ..., х„, Пусть снова хо,— хо=!ох =й (й=О, 1, 2, ..., а — 1).

(3) Приближенные значения функции обозначим Уо д! ° ° Ум УА. и ° ° ° Уп и соответственно гоо гзо '' 'о «А го+о ' ' '~ го' Напишем рекуррентные формулы типа (12) 5 33! й . й, 5 Тдз 2 дз з Г2 й, Л . 5 гй гз+ Т~з+ 2 Ый + (2МР~ (4) Чтобы начать вычисления по этим формулам, нужно знать кроме заданных у, и г, еще ун у,; гь г,; эти значения находим по формулам типа (4) и (4') $ 33: Лз ),з Уà — Уо+ ! Уо+ 2 Уо+ а! Уо ° 2й, (2Л)з (2Л)з Уз=Уо+ ! Уо+ 2 Уо+ 3! Уо ° й йо йз г г + го+ го+ го 4 о ! 2 3! о 2Л . (2й)з .

(2Л)з г =г + — г,'+ — г" + — г,'". ! 2 о 3! до=о"4(Хо УО го) го=!' (Хо Уо го). Для применения этих формул нужно знать у,', до, до го, го. г,", к определению которых мы сейчас и приступим. Из уравнений (1) и (2) находим 1гл. хеи 1ЗВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференцируя уравнения (() и (2) и подставляя значения х„у„ г„у,' и г,', найдем Дифференцируя е1це раз, найдем у,'" и г'„'".

Зная уп у„г,, г„ находим из данных уравнений (!) и (2) у,', у,', г,', г,', Хуо', тзут', стоу„Иго', тзг'„тзого', после чего мы можем заполнить первые пять строк таблицы: По формулам (4) и (5) найдем у, и г„а из уравнений (1) и (2) найдем у,' и г,'. Вычислив оту;, оооут', оог;, тазг'„сиона по формулам (4) и (5) найдем у, и г, и т. д. Пример 1. Найти приближенные значения решений системы у'=г, г'=у с начальными условиями уо.=о, го=1 при хо=О. Вычислить значения решений при х=0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Ре ш е н н е. Из данных уравнений находим уо=г~х-о=1, го — у!я=о=О, ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ 4 341 Дифференцируя данные уравнения, найдем у." =у" 1„ , = з' го = г'" („, = у" к=о=в о=о= ! с=о=1 1„о =О. По формулам типа (4) и (5) находим У!=О+ — ' ° 1+ — ' ° О+ — ' ° 1=0,!002, О! ОН 0!з ! !2 3! уз = 0 + — ' ° 1+ — ' ° О+ — ', ° 1 = 0,20 ! 3, 0,2 0,2з 0,2з О! 01' 01' г,=!+ — ' О+ — ' !+ — ' О=.),ОО5О, 1 12 31 г,=!+ — ° О+ — ', .

!+ — ' 0,2 0,24 0,2' На основании данных уравнений находим уз = 1,0050, гз =О,!002, Уз=1,0200, го=0,20!3, дую=0,0050, ага=о,!002, Ьу~ =0,0150, Ьгз =0,1011, Лоро=0.0100, Лого=о 0009 и заполняем первые лять строк таблицы (см. с. !40). Далее по формулам (4) и (5) находим уз = 0,2013+ — ' . 1,0200 + — '. 0,0! 50.»- — 0,1 0,0100 = 0,3045, О! 01 5 1 ' 2 гз= 1,0200+ †' 0,2013+ †' .0,10!1 + — 0,1 0,0009 = 1,0452 О! 01 5 1 ' 2 ' 12 и аналогично уо =0,3045+ †' ° 1,0452+ †' 0,0252-)- †.0,1 0,0102 =0,410?, О,! О,! 5 2 ' 12 го= 1,0452 + †' 0,3045+ †' 0,1032+ — 0,1 0,0021 = 1,0809.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,04 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее