34_PiskunovT2 (523113), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Решение устойчиво. Семейство кривых на фазовой плоскости будет — = — =/г, т, е. у=аж С, С Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Точки по траекториям приближаются к началу координат. Особая точка 0(0; 0] есть узел (рнс. 288). 9зЦ ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 125 Заметим, что в случае Лз=Лз)0 форма решения (22) сохраняется, но при 1 + оо ~ к (1) ) — оо и 1у (1) ) - оо. Решение неустойчиво. Х. П уст ь Л,= Л,=О.
Тогда х=С,+С,1, у= — ~ — сС,+С,— сС,(1. 1 й (24) Откуда видно, что х- оо и у- оо при 1- +оо. Решение неустойчиво. Пример 9. Исследовать устойчивость решения системы уравнений Ых др — „,=д, —,=о. от 'ж Р е ш е н и е. Находим корни характеристического уравнения: ! 0 Л!=0 Л =Аз=о. Находим решения у=С„х=С,1+Сь Очевидно, что х — ьеопри 1 — ь+ ее. Решение неустойчиво. Уравнение на фазовой Рис. 290. Рис. 289. Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы (4), поступим следующим образом.
Запишем корни характеристического уравнения в форме коиплексиых чисел: Л,=Л;+(Л, Л,=Л:+(Л," (в случае действительных корней Л;"=0 и Л =О). плоскости будет — = О. Траектории у=С вЂ” прямые, параллельные оси (рис. 289). дв дх Особая точка называется варожденнмм седлом. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл, хш —,, =сх+уу+Р(х, у), ~ — „в = ах+ Ь у+ 1„) (х, у). ) (25) Решение такой системы, кроме исключительных случаев, не выражается через элементарные функции и квадратуры. Для того чтобы установить, устойчивы илн неустойчивы решения этой системы, ее сравнивают с решениями линейной системы. Предположим, что при х- 0 и у — 0 функции Р(х, у) и (е (х, у) также стремятся к нулю и притом быстрее, чем р, где р=~/ха+у', иными словами, 1пп — '=О, 11ш — '=О.
Р (х, у) . о (х, в) Р"~О Р О+О Р Тогда можно доказать, что, кроме исключительного случая, решение системы (25) будет устойчиво тогда, когда устойчиво решение системы — = сх+уу, „— = ах+Ьу, (4) и неустойчиво, когда решение системы (4) неустойчиво. Исключение составляет тот случай, когда оба корня характеристического уравнения лежат на мнимой оси; в этом случае вопрос об устойчивости или неустойчивости решения системы (25) решается значительно сложнее. А.М.
Ляпунов *) исследовал вопрос об устойчивости решений систем уравнений при довольно общих предположениях относительно вида этих уравнений. В теории колебаний часто рассматривают уравнение (25) Ляпунов А. М. Общая вадача об устойчнвостн движения.— Мл Лл ОНТ, !935. Возьмем плоскость Х'Хаа комплексной переменной и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (4) можно сформулировать следующим образом. Если ни один из корней Кн й,а характеристического уравнгния (6) не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво (рис.
290). Рассмотрим теперь более общую систему уравнений МЕТОД ЭЙЛЕРА !21 Обозначим лх — = о. л! — . (21) Тогда получаем систему уравнений ЫХ ИР т=о — =1(х, о) си и (28) 0х ЫР— =о, —,=ах+Ьо. Р! ' Р! Это система вида (4). Точка х=О, о=О есть особая точка, она определяет положение равновесия.
Отметим, что переменная х— не обязательно механическое перемещение точки. Она может иметь различный физический смысл, например, обозначать величину, характеризующую электрические колебания. 5 32; Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера Мы рассмотрим два метода численного решения дифференциального уравнения первого порядка. В этом параграфе рассмотрим метод Эйлера.
Найдем приближенно решение уравнения Д=~(х, у) (!) на отрезке [х„Ь), удовлетворяющее начальному условию у=у, при х=х,. Разделим отрезок [х„Ь] точками х„хг, х„..., х„=Ь на а равных частей (здесь х,<хт< х, «...х„). Обозначим фазовой плоскостью для этой системы будет плоскость (х, о). Траектории на фазовой плоскости дают геометрическое изображение зависимости скорости о от координаты х и наглядно качественно характеризуют изменение х и о. Если точка х=О, о=О является особой точкой, то она определяет положение равновесия.
Так, например, если особая точка системы уравнений есть центр, т. е. траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые линии, окружающие начало координат, то движения, определяемые уравнением (26),— незатухающие колебательные движения. Если особая точка фазовой плоскости есть фокус (при этом )х)- О, (о)- О при 1- оо), то движения, определяемые уравнением (26), — затухающие колебания. Если особая точка есть узел или седло (и это единственная особая точка), то х-!-оп при ! — Ро. В этом случае движущаяся материальная точка уходит в бесконечность. д'х Ых Если уравнение (26) линейное вида „вЂ”, =ах+Ь вЂ”, то система л! ' (28) имеет вид 1гл.
хш диффвввнцилльныв гглвнвния х, — х, = х, — х, =... = Ь вЂ” х„; = Лх = й, следовательно, хе й=— »» Пусть у=»р(х) есть некоторое приближенное решение уравнения (1) и уе= р(хе), у'= р(хг), ", у.= р(х.). Обозначим Аде=ум Уе» Уг=уе Уо ' '»»»Уе-г=у»» Уе-г В каждой из точек х„х;, ..., х„в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей: Д =г(х, у), (2) АУ=Р(х, у) 4х.
(2') При х=х, будем иметь аее ~ = 1 (х. Уе), Л у. = 1 (х„у.) Лх, или уг — у. = 1 (хе, у.) Ь. В этом равенстве х„ у„ й известны, следовательно, находим уг = уе+ Р (х„у,) й. При х=хт уравнение (2') примет вид Лд,=((х„д,) Ь, или у.— де=1(х, у)й, у.=у.+1(хг, у.)й. Здесь известными являются хп у,, й, а у, определяется. Аналогично находим у, = у»+ )' (х„уе) й, у„+г=уе+1(х„, уе)й, у„=у„г+1(х, -„у„е) й.
Таким образом, приближенные значения решения в точках х„ хо..., х„найдены. Соединяя на координатной плоскости точки (х,; у,), (х,; у,), ..., (х„; у„) отрезками прямой, получим ломан у ю — прйближенное изображение интегральной кривой (рис. 291). Эта ломаная называется ломаной Эйлера. метод эйлеРА 2 221 Замечание. Обозначим через у=фа(х) приближенное решение уравнения (1), соответствующее ломаной Эйлера при Лх=й. Можно доказать в), что если существует единственное решение у = фв (х) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и определенное иа отрезке (х„Ь), то,1пп ~ ф» (х) — фв (х) [= я о =О при любом х из отрезка [х„Ь). П р имер.
При х= 1 найти приближенное значение решения уравнения р'=а+х, удовлетворяющего начальному условию Рис. 291. рв = 1 при хв = О. Решение. Разделим отрезок [О, 11 на 10 частей точками хо=О; О,1; 0,2; ..., 1,О. Следовательно, а=0,!. Значения уы уэ, ..., ри будем ис. пать йо формуле (2'): бра=(ра+ха) Лв или уавт=уа+(ух+ха) Л. Таким образом, получаем Р =1+(1+О) 0,1=1+0,1=1,1, Ув = 1 1 + (1, 1 + О, 1) О, 1 = 1,22, ° ° ° В процессе решения составляем таблицу: Мы нашли приближенное значение р[к э=3,1800. Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее укаэанным начальным условиям, будет у = 2гх — х — 1.
') Доказательство см., например, в книге; Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— Мл Наука, 1970, Н. С. Пискунов, т. 2 ггл хш диееврвнцилльныв нравнвния Следовательно, У! >=2(о — !)=3,4366, 0,2566 Абсолютная погрешность. '0,2566; относительная погрешность; — '=О,О?5ое ' 3,4366 аа 8%. 3 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса Снова будем искать решение уравнения у'=?(х, у) на отрезке [х„Ь), удовлетворяющее начальному условию у=у, при х=х,.
Введем нужные для дальнейшего обозначения. Приближенные значения решения в точках х„хт, х„..., х„будут у„у„у„..., у„. Первые разности, или разности первого порядка: йуо = Ут Уо >— >Ус = Уо Уо ' ' '> йуо-т= ух Уп-т Вторые разности, или разности второго порядка: А уо=буг Ауо=у> 2ут+уо Лоу,=ЛУ,— Лу,= у,— 2У,+у„ А'Уи-о=Ау -1 Ауп-о=уп 2У -т+У -1 Разности вторых разностей называются разностями третьего порядка и т, д. Через у,', у,', ..., у„' обозначим приближенныезначения производных, через у,", у"„..., у"„— приближенные значения вторых производных и т.
д. Аналогично определяются первые разности производных Ауо = Уо Уо> йуо Уо Ут > АУо-т Уо Уа-и вторые разности производных о ус=>т>ут — оауо сь у(=Аут — сьу[ ° ° ° са уо-о=йуо-о — гау»-о и т. д. Напишем далее формулу Тейлора для решения уравнения в окрестности точки х=х, (т. 1, гл. оЧ, й 6, формула (6)); х — хо, (х — хо)о . (х — хо)о> у=уо+ ) ус+ ).2 уо+ +).2,,лоув '+)то> (2) В этой формуле у, известно, а значения у,', у"„...
производных РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД й 331 находятся нз уравнения (1) следующим образом. Подставляя в правую часть уравнения (1) начальные значения х, н у„найдем у,". У0=1(»0, ую). Дифференцируя члены уравнения (1) по х, получим д1 д( дх дуу ' (3) Подставляя в правую часть значения х„у„у,", найдем д1 д( Уе= + У '=( дх ду у (х хь х=ш, у' у~' А , Ае „ Аа Ут = Уо+ 1 Уе+ 1.2 Уа+ 21 Уа 2А, (2А)3 „(2А)э Уа = Уа + 1 Уа + 1.2 Уа + З1 Уе (4) (4') Таким образом, будем считать, что известны трн значения **) функции у„у„у,. На основании этих значений, пользуясь уравнением (1), определяем уе =1(»., у.), у'=1(хт, у ), у'=1(х" у*) Зная у,'„у,', у,', можно определить Луа', Лу,', Лауе.
результаты вычисления заносим в таблицу: *) Мы в дальнейшем будем предполагать, что функция 1(х, у) столько раэ дифференцируема по х и по у, сколько требуется по ходу рассуждений. 'ь) Нели бы мы стали находить решение с большей точностью, то потребовалось бы вычислять больше трех первых значений у. Подробно об этом см., например: Бевино в ич Я. С. Приближенные вычисления,— Мл Гостехиэдат, 1949, Дифференцируя еще раз равенство (3) по х н подставляя значения х„у„у,', у",, найдем у,"'. Продолжая е) так, можем найти значейия производных любого порядка прн х=х,. Все члены, кроме остаточного члена )с, в правой части формулы (2) известны. Таким образом, пренебрегая остаточным членом, мы можем получить приближенные значения решения прн любом значении х; нх точность бУдет зависеть от величины (х — хе~ н числа членов в разложении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
