34_PiskunovT2 (523113), страница 24
Текст из файла (страница 24)
0,1 0,1 5 1 * 2 ' 12 Очевидно, что точные решения данной системы уравнений, удовлетворяю. щие указанным начальным условиям, будут у=зЬх, г=сйх. Поэтому пять верных после запятой знаков решений будут уо — — зй0 4=0,4!075, го=сЬ0,4=1,08107. Замечание. Так как уравнения высших порядков и системы уравнений высших порядков во многих случаях сводятся к системе уравнений первого порядка, то изложенные методы применимы к решению этих задач. 141 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХП! Упражнения к главе Х!И Показать, что указанные функции, зависящие от произвольных постоявных, удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям: Функции Дифференциальные уравнения ! 1.
у=з!пх — 1+Се йх — +у соз х= — э!п 2х. 2 () дуайт пу пу — ) — — — +у=о. ох) йх их ху [1 — ( — ) ~ =(хз — у' — аэ) —. 2. у=С»+С вЂ” С'. 3. у»=2СХ+Сэ. аэС 4. у'=С» — —. !а+' 5. у=Сгх+ — +Сэ. С, х Пзу 3 очу — + — — =О. г!лз х Ыхз — — 23 — '+Азу= е". 2 — х пхэ пх (1 — х') — — х — — аэу =О. и'у иу Пхз Пх йэу 2 йд — + — — =О. йхэ х йх ех 6. у=(Сг+Стх) еа" + (Гг — 1)а ' У С аамячх Се-аагсиа» д= ге + зе Задачи на составление дпфференциальнын ур авнен ий 26.
Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент касательной в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола. Отз. у=ах'+С. 26. Найти такую кривую, проходящую через точку (О; — 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы, Оте, у=е" — 3, 6. у= — +С,. Сг Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен нымн. 9.
уйх — хйу=О. Оте. у=Сх. 1О. (1+и) ойи+(1 — о) и Я=О. Оте. 1п ив+и о=С. !!. (1+у) йх — (1 — х) оу=О. Оте. (1+у)(1 — х)=С. !2. (гэ -хгэ) — +ха+!ха=О. Ота. — +!п= — С. 13. (у — а) йх+хз!(у=О. й! гх г Отз. у — а=Се . 14. »г(à — (Н вЂ” аз) йг=О. Оте. Хз»=С вЂ”. 16. — = 1-а йх г+а' ' йу —. От». х= —. 16. (1+з') йт — У Гйз=О. Оте. 21/1 — агс1яз=С. !+х' у+С !+уэ ' ' =! — Су' !у.
ар+у!29йВ=О. Оте. Р=Ссоз В. !8. з!пВсозфй9 — сов Взнтф йр=О. Оте, созф=СсоаВ. 19. эес' 0 !2 ф ПО+ вес' ф !2 В гйр = О. Оте. !2 0 !2 ф = С. 29. асс»В !Хфд!р+зесзф !ЯВдВ=О. Оте. з!па 9+зша~р=С. 21. (1+ха) г(у — )у! — де г(Х=О. Отв. агоз!п у — агс!Е х=С. 22. Зг! —.г' йу — у' ! — у' г(Х=О. Олы. у у' 1 — ха — х)/1 — уз=С. 23.
3»" ! 2 у ох+ (! — е") весе у йд =- О. Оте. ! 2'у = — С (1 — е»)а. 24. (х — узх) г!х+(у — хту) г(у=О. Отв. ха+уз=хауз+С. !ГЛ. ХРИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 142 27. Найти такую кривую, проходящую через точку (1; 1), чтобы угловой коэффициент касательной к кривой в любой точке был пропорционален квадрату ординаты атой точки. Ота. Й(х — !)у — у+1=0. 28. Найти такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в и раа более углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Отв. у=Сх".
29. Через точку (2; 1) провести кривую, для которой касательная в любой точке совладает с направлением радиус-вектора, проведенного из начала координат в ту же точку. Отв. у=х!2. 30. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла между радиус-вектором и касательной равен обратной величине радиус-вектора, взятой с обратным знаком. Ошв. г(6+С)=-1. 31. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиус-вектором с касательной, равен квадрату радиус-вектора. Оглв.
г»=2(6+С). 32. Доказать, что кривая, обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность. ЗЗ. Найти такую кривую, чтобы в каждой ее точке длина подкасательнай равнялась удвоенной абсциссе. Оша.
У=С уг х. 34. Найти кривую, для которой радиус-вектор равен длине касательной между точкой касания и осью х. пу Р е ш е н и е. По условиям задачи ~ —, ~ Рг! + у'з = у' ха+ уз, откуда — = у »гх С вЂ” Интегрируя, получаем два семейства кривых у=Ск и у= —. х х.' 35. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20'С и тело в течение 20 мин охлаждается со 100' до 60'С, то через сколько времени его температура понизитсядо30'С? «1Т Р е ш е н и е. Дифференциальное уравнение задачи — = й (Т вЂ” 20).
Инте«!1 грируя, находим Т вЂ” 20=Се»'! Т=!00 при 1=0, Т=60 при 1=20, поэтому Г 1 1»1»о / 1 10»о С=80, 40=Се'еа, е" = ( — ), следовательно, Т=20+80 ~ — ) . Пола- (,2) '1 2 ) тая Т=ЗО, найдем 1=60 мйн. 36. В какое время Т вода вытечет через отверстие 0,5 смз надиеконической воронки высотой 1О см с углом при вершине»(=604? Р е ш е н и е. Подсчитаем двумя способами объем воды, вытекшей за время между моментами 1 и !+йГ.
При постоянной скорости о за 1 с через отверстие вытекает цилиндр воды с основанием 0,5 смз и высотой о, а за время М вытекает объем воды»(о, равный — по= — 0,5в Ш= — 0,3 )Г28А а! «), С другой стороны, вследствие утечки высота воды получает отрицательное «приращение» Ж, и дифференциал объема вытекшей воды равен — »(о=яг» «Уг= — (8+0,7)» пуг. 3 Таким образом, — (8+0,7)з 48= — 0,3 Р 288 (1, «) Скорость е истечения воды из отверстия, находящегося нарасстояииий от свободной поверхности, дается формулой п=0,6)г 288, где д — ускорение силы тяжести. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Хгы 143 отсюда ! = О 0315 (1 О'/' — й™)+ 00732 (10'/' — Аз/а) + 0078 ()Р10 — )Р Д).
Полагая lг=О, получаем время истечения Т=12,5с, 37. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения ы. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 мнн вращается со скоростью 60 об/мнн. Отв. ы= 100 (з/а)г об/мин. ЗВ.
Допустим, что в вертикальном воздушном столбе давление на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев. Найти зависимость дав- ления от высоты, если известно, что на уровне моря зто давление равно 10Н на ! сма, а на высоте 500 м оно равно 9,2 Н на 1 см'. Указание. Воспользоваться законом Бойля — Мариотта, в силу кото- рого плотность газа пропорциональна давлению. Дифференциальное уравнение задачи г/р= — йр г(А, откуда р=10е-в вввг'а. Отв. р= !Ов ' вввг'".
Проинтегрировать следующие однородные дифференциальные уравнения: 39. (у — х) г/х+(у+х) г/у=О. Отв. уз+2ху — ха=С. 40. (х+у) г(х+х г/у=О. Отв. х'+ 2ху = С, 4!. (х+у) г/х+ (у — х) г/у = О, Отв. 1п (ха+уз) /'— — агс!5 — =С. 42. хг/у — уг/х=)/ха+уз г(х. Отв. 1+2Су — Сзх'=О. х 43. (Ву+1Ох) г(х+(Зу+ух) г(у =О. Оев. (х+у)а (2х+у)з=С. 44. (2 г' з! — в) г(!+ + !г!з=О. Отв.
!в ' =С, или з=! 1пз —. 45. (! — з) г(!+(г(з=О. г 5/г С С з Оев. /е у=С, или а=! 1п —, 46. хуг г/у=(ха+уз) г(х. Отв. у=х ~г/3!п Сх, 47. хсоз — (уг/х+хг!у)=уз!и — (хг/у — уг/х), Отв. хусоз — =С. у у у х х х Проинтегрировать дифференциальные уравнения, приводящиеся к одно- родным 48.
(Зу — 7х+7) г/х — (Зх — 7у — 3) г/у=О. Отв. (х+у — 1)г(х — у — 1)а=С. 49. (х+2у+1) г/х — (2х+4у+3) г/у=О, Отв. !п(4х+Ву+5)+Ву — 4х=С 50. (х+2у+!) г/х — (2х — 3) г/у = О. Отв. !п (2х — 3) — = С, 4у+ 5 2х — 3 51. Определить кривую, поднормаль которой есть среднее арифметическое между абсциссой и ординатой. Отв. (х — у)а(х+2у)=С, 52. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого каса- тельной на оси Оу, к радиус-вектору равно постоянной величине. г/у у х— г/» / х Р е ш е н и е. По условиям задачи = т, откуда ~ — /! )г ха+у' ~с) (С )м 2у 53. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого нормалью на оси Ох, к радиус-вектору равно постоянной величине, Зу х+у— г/х Р е шеи не.
По условию задачи =т, откуда хе+уз=та(х — С)з. ЬГхз+уа 54. Определить кривую, у которой отрезок, отсекаемый касншльной на оси Оу, равен а ню6, где 6-угол между радиус-вектором и осью х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !гл хш Отв Решение. Так как 1ЕВ= — и по условию задачи у — х — =ааесО,то д 4(У к ггх й ( й 4((Г )Г ха+Уз к —,ь (+э получаем у — х — =а, откуда у= — 1 ек — е йк х 2 55. Определить кривую, для которой отрезок, отсекаечый на оси ординат нормалью, проведенной н какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат. к Решение.
Отрезок, отсекаемый нормалью на оси Оу, равен у+ —, у х поэтому по условию задачи имеем у+ —,= ЭГха+уз, откуда х'=С(2у+С). у 56. Найти форму зеркала, которое все лучи, выходящие иэ одной и той же точки О, отражало бы параллельно данному направлению. Р еш е ни е. За ось х принимаем данное направление, точку Π— за начало координат. Пусть ОМ вЂ” падающий луч, МР— отраженный, МΠ— нормаль к искомой кривой: а = В, ОМ = 00, )УМ = у, Лг0 = ХО+ 00 = — х+ дг ха+ да= =ус(ЕВ=у —., откуда уау=( — х+)' х'+уа) Пх; интегрируя, имеем у'= х' Сз+2Сх. Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения: 57.
у' — =(х+1)з. Ота. 2у=(х+1)4+С (х+!)а. 58. у' — а — = —, к+! х х х 1 у=Схй+ — —. 59. (к — ха) у'+(2х' — !) у — ахз=О. 1 — а а' 4(З Отв. у = пк+ Сх д' 1 — хэ. 60. — соз 1+ э з1п 1= 1, Отв. з = в!п !+С соз 1. а1 пз 1 и 6!. — +асоз1= — виг21. Ота. з=в1п1 — 1+Се" и" г. 62. у' — — у=еххй. 2 и а Отв. у=х" (е" +С). 63. у'+ — у= — „. Отв. х"у=-ах+С. 64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
