34_PiskunovT2 (523113), страница 25
Текст из файла (страница 25)
у'+у=е-». 1 — 2х Отв. е"у=х+С. 65. у'+ — у — 1=0. Отв. у=ха(1+Се04). Проинтегрировать уравнения Бернулли: 66. у'+ку=хзуэ. Оте. у'(ха+1+Се"')=1. 67. (1 — уз) у' — ку — аху'=О. Опы. (0~1 — х' — а)у=1. 68. Зу'у' — ауз — х — 1=О. Отв. а'у'=Се'"— — а (х+ 1) — 1. 69. у' (хзуз+ху) = 1. Оте.
х ((2 — уз) ез Гз+ С)= езуз . 70. (у1пх — 2)у4(к=кар. Отв. у(Схз+1пх'+1)=4. 71. д — у'Созх= 16 к+веса = узсозх(1 з!пк). Отз. у= а!п х-)-С Проинтегрировать следующие уравнения в полных дифференциалах: хз 73. (ха+у) Пх+(к — 2у) ау=О. Оте. — +ух — у'=С. 73. (у — Зхз) Пх— 3 — (4у — х) 4(у=О. Ота. 2уэ — ку+хз=С. 74. (уз — х) у'=у.
Оте, у4=4ху-)-С. у 11 Г! х' 1 у хд 7$. "— — ~ 4(х+ ~ — — — ~ Уу=О. Опы. 1п — — = С, 1(х — у)з х З ~ у (к — у)з) х к — у 78. 2 (Зхуз-(-2хз) г!к+3 (2хзу+ уз) 4(у = О. Отв. хй+ Зкзуз+ уз = С. 77. х4(х+(2х+д) 4(у х Г 1 Зу' т (к+у)' =О. Опы. 1п( +у) — — =С.
78. ~ — + — ) Пх= х+у ' (хз хй ) — Оте. хз+ уз = Схз 79. э .— — О" Отв, — д = С 2у 4(у хз 4(у — у' 4(к х ( — у)' к — у уах — х4(у х 80. х4(х+у4(у= . Опы. хз+уз — 2агс46 — =С. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХП! 81. Определить кривую, обладающую тем свойством, что произведение нвадрата расстояния любой ее точки от начала координат на отрезок, отсекаемый на оси абсцисс нормалью в этой точке, равно кубу абсциссы этой точки. Отв. уг(2х*-(-у') =С. 82. Найти огибающую следующих сеиейств линий; а) у=Сх+Сз. Отв. хз+4у=О. Ь) у= — +С'. Отв. 27хг=4уг.
с) — — = 2. С ' ' ' С Са Отв. 27у = ха. д) С'х+ Су — 1 = О. Отв. у'+ 4х = О. е) (х — С)э+ +(у — С)'=С'. Отв, х=О; у=О. 1) (х — С)г+у'=4С. Оглв. у'=4х+4. 8) (х — С)'+ (у — С)' = 4. Отв. (х — у)' = 8. Е) Схг+ Сзу = 1. Отв. хе+ 4д = О. 83. Прямая перемещается так, что сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, сохраняет постоянную величину а. Составить уравнение огибающей всех положений прямой. Отв. хыз+уыэ =аггг (парабола). 84.
Найти огибающую семейства прямых, на которых оси координат отсекают отрезок постоянной длины а. Отв, хг/г+уггг =агга. 88. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат удвоенные ординаты параболы уг=2рх. Отв. дг=2р ~х+ — ) . р 'г 2)' 86. Найти огибающую семейства окружностей, центры которых лежат нз параболе д'=2рх, причем все окружности семейства проходят через вершину этой параболы. Отв. Циссоида ха+у'(х+р)=О. 87. Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых служат перпендикулярные к оси х хорды эллипса Ь'х' + азуэ = агЬг.
а Олм. — + — =1. а+э' Ь 88. Найти эволюту эллипса хгЬг.+а'уг=аэЬ' как огибавшую его нормалей. Отв. (ах)ггз+(Ьу)зга =(а' — Ьз)згз. Проинтегрировать следующие уравнения (уравнения Лагранжа): С 2 2С вЂ” рг 89. у=2ху'+у'. Отв. х= — — — р, у= —. 90. у=ху"+у'з. Зрг 3 Отв. у=(у х+1+С)з. Особое решение: у=-О. 91. у=х(1+у')+(у')з. Отв. Х=Св-Р— 2р-(-2, у=С(Р+1)е-Р— Р'+2. 92.
У=УУ'+2хУ'. Отв. 4Сх=4Са — уг, 93. Найти кривую, имеющую постоянную нормаль. Отв. (х — С)а+уз=а'. Особое решение: д= х а. Проинтегрировать данные уравнения Клеро: 94. у=ху'+у' — у". Отв. д=Сх+С вЂ” С'. Особое решение: 4д=(х-)-1)'. 95. у=яд'+ у'! — у'з. Отв, у=Сх+ у 1 — Сг. Особое решение: уз — х'=1.
1 1 96. у=ху'+у'. Отв. у= Сх+С. 97. у=ху'+ †, . Огпв. у= Сх-1- С 1 Особое решение; у'=4х. 98. у=яд' —,. Отв. у=Сх — —. Особое решение: уз Сг 27 ут = — — хз. 1 99. Площадь треугольника, образованного касательной к искомой кривой н осями хоординат, есть величина постоянная.
Найти кривую. Отв. Равнобо. кая гипербола 4ху= ~ а'. Кроме того, любаяпрямаясемействау=Сх.ь а4рС, 100. Найти такую кривую, чтобы отрезок ее касательной между коордн- аС ватнымя осями имел постоянную длину а. Отв. у=Си ~ . Особое $/1+С решение: хе~а+у~~'=а~~~ 101.
Найти кривую, касательные к которой образуют на осях отрезки, 2аС сумма которых равна 2а. Отв. у=Сх — †. Особое решение: (у — х — 2а)з=8ах. 1 — С' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !гл хеи 102. Найти кривые, для которых произведение расстояния любой касательной до двух данных точек постоянно. Отв. Эллипсы и гиперболы, (Ортогональные и изогональные траектории.) 103. Найти ортогональные траектории семейства кривых у =ах". Отв. х'+ау«=С.
104. Найти ортогональные траектории семейства парабол у«=2р(х — а) (и — параметр семейства). Отв. У=Се «Гв. 108. Найти ортогональиые траектории семейства кривых х' — у'=а (а — параметр). Отв. у=С~«. 106. Найти ортогональиые траектории семейства окружностей ха+уз = = 2ах Отв. Окружности: у=С(х'+у'). 107. Найти ортогоиальные траектории равных парабол, касающихся ввершине данной прямой, Отв. Если 2д — параметр парабол и данная прнмая 2 / 2 212 взята за ось Оу, то уравнение траектории будет у+С= — 1㫠— х 3 У р 108. Найти ортогональные траектории циссоид у'= 2а — х ' О .
( +уз)з=с(уз+2»2), 109. Найти ортогональные траектории лемнискат (»«+уз)'=(х' — уз) а'. Отв. (х'+уз)2=С»у. 110. Найти изогональные траектории семейства кривых ха=2а (у — хйг 3), где а — переменный параметр, если постоянный угол, который образуют траек- тории с линиями семейства, равен ю=бО'.
2у «вЂ” Р е ш е н и е. Находим дифференциальное уравнение семейства у' = — — у 3 х у' — 18 ю у — й'3 и заменяем у' выражением 4=- 1, . Если ю=бб', то д=,и 1+у'гйю ' ' 1+)Г'Зу ' у' — гг 3 2у мы получаем дифференциальное уравнение = — у 3. Общий ин1+у'зг 3 теграл уз =С (х — у з~ 3) дает искомое семейство траекторий. 1!!. Найти изогональные траектории семейства парабол уз =4Сх, когда з зв-» »Ит — зсссх— И=45'.
Отв. у' — ху+2хз=Се 112. Найти нзогональные траектории семейства прямых у=Сх для случая 2 З' з зсссх —" Ф=ЗО', 45'. Отв. Логарифмические спирали ха+у'=в 2 исгх— в ха+уз=в 113. у=С«в»+С,в-». Исклиусить С, и С,. Отв. у" — у=О. 114. Написать дифференциальное уравнение всех окружностей, лежащих в одной плоскости. Отв. (1-(-у'2) у"' — Зу'у"'=О. 118. Написать дифференциальное уравнение всех центральных кривых второго порядка, главные оси которых совпадают с осями Ох, Оу. Отв. х (уу" + у") — у'у = О. 116. Даны дифференциальное уравнение у«а — 2у" — у'+2у=О и его общее решение у=С«в»+С,в»+Свез».
Требуется: !) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти частное решение, если при х=О имеем 1 у = 1, у' =О, у" = — 1. Отв. у= — (Ов»+в-» — 4вз»). УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХИ1 !47 1 117. Даны дифференциальное уравнение у"= —, и его общее решение 2у' х 2 (х ) С )з/з [ С 3 Требуется: 1) проверить, что данное семейство кривых действительно является общим решением; 2) найти интегральную кривую, проходящую через точку (1; 2), если касательная в втой точке составляет с положительным з 4 направлением осн Ох угол 45'. Ота.
у= — угла+ †. 3 3' Проинтегрировать некоторые просгейшие типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка. 118. ху"'=2. Ота. у=ха!их+С,х'+С,х+Сзд выделить частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х=1, у=1, у'=1, у"=3.
т(капп Оп!а. у=ха !их+1. 119. угад=ха. Отв. у= +Сдх" д+...+С„1х+Сдг (т+ п)1 120. д'=а'у. Ота. ах=!п(ау+ З' а»уз-(-Сд)+Сз или у=Стев»+Сзе-п». 121. у"=а!уз. Ота. (Сдх+Сз)'=Сду' — а. В примерах 122 — 125 выделить частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: х=О, у= — 1, у'=О. 122. хд" — У'=х'е". Отв. У=а» (х — 1)+Сдхз+Сз. Частное Решение: у=е" (х — 1). 123. уу" — (у')з+(у)»=0.
Ота. у+С! 1пу=х-(-С,. Частное ре. 1 шение: у= — 1. 124. у" +у' !2х=зш2». Отз. у=С,+Сд з!их — х — в!п 2». 2 Частное решение: у= 2 здп х — з!их сов х — х — !. 123. (у)з+(у)а=аз. Отв. у.=С,— а соь (х+С,). Частные решения: у=а — 1 — а сов х, у=а сов х — (а+1). (Указание. Параметрическая форма д"=асов!, у'=авш !.) 126.
у"= —,. 2уд ' Ота. у = ~ — (»+ Сд)»7~+ Се. 127. у"' = у"з. Опи. у =-(Сд — х) [1п (Сд — х) — 1) + 3 -(-С,х+Сз. 128. у'узп — Зу"7=0. Ота. х=Сдуз+Сзу+Сз. Проинтегрировать следующие линейные дифференциальные уравнения с постоянными козффициентами: 129. у"=9у. Отз. У=С,е'"+С,е-з». 130. у"+у=О.
Отв. у=А сов х+ + Вз!их, 131. у" — у'=О. Опи. у=Сд+С е'. 132. у"+!29=7у'. Отв. у = =Одет»+Саед».!ЗЗ. у" — 4у'+49=0. Ота. у=(Сд+Сдх)ез". 134. у"+2у'+ +1Оу=О. Оте. у=е "(АсозЗх+Вз!пЗх). 133. у"+Зу' — 2у=О. Отв. у= -Зе!'17 -3-!'17 » » =С е з -(-С е 7 . 136. 4у" — 12у'-[-9у=О. Ота. у=(Сд-[-С х) ез»7з.
137. у"+у'+у=О. Отв. у=е» д~ Асов\ — х )+Вз1п( — х)~. 138. Деа одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти движение, наторев получит один груз, если другой оборвется. Опм.х=асоз( ггг — !), г, где а есть увеличение длины пружины под действием одного груза в состоя- нии покоя. 139. Материальная точка массы т притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Мнодкитель пропорциональности равен й. Расстояние между центрами равно 2с. В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии а от ее середины. Начальная скорость равна нулю.
Найти закон движения точки. Ота. х = ° а,соз( ~!). (гл, хнн днооврвнцнальнщв урлвнвння 148 140. уду-5у" +4у=б. Оте. у=Сде"-(-С е «-(-С ез«+Сге-з«. 141. у"'— — 2у" — у'+2у=О. Оте, у=С ед"+Сде«+Сзе ". 142. у"' — Зау'-)-Заду' — азу=О. Оте. у=(Сд+С,х+С,хд) еа«. 143. уу — 4у"'=О. Оте, у=С!+Се«+Сзхд+ -)-Сге'"-(Сзе-д". 144. удч+2у"+бр=О. Оте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
