34_PiskunovT2 (523113), страница 14
Текст из файла (страница 14)
111. Корни характеристического уравнения действительные и равные. В этом случае й,=й,. Одно частное решение у,=ее" получается на основании предыдущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение, линейно независимое с первым (функция еа*" тождественно равна е"" и поэтому не может рассматриваться в качестве второго частного решения). Будем искать второе частное решение в виде у, = и (х) еа " где и(х) — неизвестная функция, подлежащая определению.
Дифференцируя, находим у,' = и'еа" + й,иеь х = еь -" (и' + й,и), у, = и "еа '+ 2йи 'е' + йлиее ' = еь ' (и"-1- 2йи' + йаи). Поэтому общим интегралом будет функция у= С,е""+ С,хеа '= еа '(С,+С,х). П р и м е р 4. Дано уравнение у" — 4у'+ 4у = О. Подставляя выражения производных в уравнение (1), получаем еах(и" +(2лт+Р) и'+ Я+Рйт+У) и|=О. Так как й,— кратный корень характеристического уравнения, то й)+ рй, +д= О. Кроме того, я,=й,= — р(2 или 2/гт= — р, 2Й,+р=О. Следовательно, для того чтобы найти и(х), надо решить уравнение ее'и"=О, или и"=О. Интегрируя, получаем и=Ах+В.
В частности, можно положить А=1, В=О; тогда и=х. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять у, = хе" Зто решение линейно независимо с первым, так как — ' = х чаа сопз1. уд ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕННЯ л.ГО ПОРЯДКА 4 221 Пишем характеристическое уравнение йз — 4й+4 =0. Находим его корни: да=да=2. Общим интегралом будет У= Сгеа»+Саха'".
$22. Линейные однородные уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка у(л)+а у(л-ы+... +а у (1 (1) Будем предполагать, что а„а„..., ал — постоянные. Прежде чем указывать метод решения уравнения (1), введем определение, нужное нам для дальнейшего. Определение 1. Если для всех х отрезка (а, Ь)имеет место равенство ф„(х)=Атф,(х)+А ф,(х)+... +А„тф„г(х), где Ао А„..., А„,— постоянные числа, не все равные нулю, то говорят, что фл(х) выражается линейно через функции фт(х), гр,(х), ..., ф„,(х).
Определение 2. и функций ф,(х), фа(х),..., ф„г(х), ф„(х) называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные. Замечание 1. Из определений следует, что если функции ф,(х), ф,(х), ..., фл(х) линейно зависимы, то найдутся постоянные фф..., С„, не все равные нулю, такие, что для всех х отрезка [а, Ь) будет выполняться тождество С,ф,(х)+С,ф,(х)+... +Сафи(х) =О. Пример 1.
Функции у,=е", у,=ез", уз=за» линейно зависимы, так 1 как при С, =1, С,=О, Сз= — — имеет место тождество 3 Схе»+С,аз»+ Се Зе» = О. П р и ме р 2. Функции ух=!, у,=х, уз=ха линейно независимы, так как ни при каких Сы С„Са, одновременно не равных нулю, выражение Сх 1+ + Схх+Сахз не будет тождественно равно нулю. Пример 3. Функции уг=еа'х, у»=ее*х, ..., у =еа"х ..., где йт, й„..., й„, ... — различные числа, линейно независимы. (Это утверждение мы приводим без доказательства.) Перейдем теперь к решению уравнения (1).
Для этого уравнения справедлива следующая теорема. Теорема. Если функции у„у„..., у„являются линейно независимыми решениями уравнения (1), то его общее решение есть (2) у=с,у,+С,у,+... +Сну„, где С„..., ф— произвольные постояннь1е. диееврвнцилльнын ирлвивния ггл, хш Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка. 1) Составляем характеристическое уравнение лч+а,л" '+аале '+...
+а„=О. 2) Находим корни характеристического уравнения л„л„..., л„. 3) По характеру корней выписываем частные линейно неза- висимые решения, руководствуясь тем, что: а) каждому действительному однократному корню и соответ- ствует частное решение е»"; б) каждой паре комплексных сопряженных однократных кор- ней Йа'=а+1р и Й™=а — 1р соответствуют два частных реше- ния е""созрх и и""з1прх; в) каждому действительному корню й кратности г соответствует г линейно независимых частных решений е»", хе»", ..., х"-'е»; г) каждой паре комплексных сопряженных корней й<зз=а+ф, й<»>=а — гр кратности р соответствуют 2)ь частных решений е"'сов Рх, хе""соз|3х, ..., хи-'еих сон рх, е 'з)прх, хе""ыпрх, ..., хи-'еихыпрх.
Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько, каков порядок данного линейного дифференциального уравнения). Можно дока- зать, что эти решения линейно независимы. 4) Найдя и линейно независимых частных решений у,, у„... ..., у„, строим общее решение данного линейного уравненйя у=с,д,+С,д,+... +Спд„, где С,, С„., ф— произвольные постоянные.
Пример 4. Найти общее решение уравнения р1ч — у=о. Р е ш е и и е. Составляем характеристическое уравнение й» вЂ” 1 =О. Находим корни характеристического уравнения: й» 1 ~2 ~ йз г ~»= Пишем общий интеграл у=С,е +С»е-"+С» соа х+С, зиз х, где Сг, С», С», С» — произвольные постоянные. Замечание 2. Из изложенного следует, что вся трудность решения линейных однородных дифференциальных уравнений с по- стоянными коэффициентами заключается в решении характери- стического уравнения. а 231 НЕОДИОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 81 и 23.
Неоднородные линейные уравнения второго порядка У1.=..=Уе, У'(=;=Уе. (5) каковы бы ни были числа х„у, и у,' (лишь бы х, было взято из той области, где функции а,, а, и Г'(х) непрерывны). Заметив, что у можно представить в форме у = С,у;+ С,у„ где у, и у,— линейно независимые решения уравнения (2), а Се и С,— произвольные постоянные, можем переписать равенство (3) в виде у=су,+Су,+у.
Тогда на основании условий (5) будем иметь *) Сеута+Сеуае+у. = у„С,у,,+С,у,е+ у,-= „,. (3') Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка у" + а,у'+ а,у = ) (х). (1) Структура общего решения такого уравнения (1) определяется следующей теоремой: Т е о р е м а 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения етого уравнения у' и общего решения у соответствующего однородного уравнения у'+а,у'+а,у= О. (2) Доказательство.
Нужно доказать, что сумма у=у+у' (3) есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1). Подставляя сумму у+у' в уравнение (1) вместо у, будем иметь (у+ у')" +а,(у+у*)'+а,(у+у') =1(х), или (у" +а,у'+а,у)+(у*" +а,у" +а,у*) =1(х). (4) Так как у есть решение уравнения (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как у* есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно 1'(х). Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем теперь, что выражение (3) есть общее решение уравнения (,1), т. е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия: Э * ) Здесь у;а, уее, уе. у(е, уае, уе обоэиачают числовые значения функций уь уе, уа, ут, уа, уа' при х=хе. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ огл. хш Из этой системы уравнений нужно определить С, и С,. Переписав систему в виде С~у~о+С~до~= Уо Уо С~уи+С~уоо =Уо — Уо (б) замечаем, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций уо и у, в точке х=х,.
Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно, система (6) имеет определенное решение Со и С„т. е. существуют такие значения Со и С„при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Теорема полностью доказана.
Таким образом, если известно общее решение у однородного уравнения (2), то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какого-либо его частного решения у*. Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Напишем общее решение однородного уравнения (2) у = С,д„ + С,д,. (7) Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая Со и С, как некоторые пока неизвестные функции от х. Продифференцнруем равенство (7): д'=С,д,+С,д,+С;д,+С;д,.
Подберем искомые функции С; и С, так, чтобы выполнялось равенство С;д,+С;д,= б. (8) Если учесть это дополнительное условие, то первая производная у' примет вид у'=С,д,+С,у,. Дифференцируя теперь это выражение, найдем у'. д"=С д,+С,д,+С д,+Сд,. Подставляя у, д' и у" в уравнение (1), получим Содо+Соуо+С;уо+Су,'+а„(Соу,'+С,у)+а,(С,У,+С у,) =1(х), или С, (у", + а,у,'+ а,у,) + С, (у,"+ а,у,'+а,у,) + С;у,'+ С;у,' =1(х). Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль, $231 НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 83 так как у, н уз — решения однородного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
