34_PiskunovT2 (523113), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найти общий и особый интегралы уравнения ау а— лу кх ах -~/ (ау)а Р е ш е н и е. Общий интеграл получаем, заменяя — на С: ау г(х аС у=хС+ Рис. 264. У)+С ' Для получения особого решения днфференцируемпоследнееуравнениепоС: а х+ =О. ((+с') и Особое решение (уравнение огибающей) получается в параметрическом виде (где параметром служит С) а аСз ((+С*)'*' " (+ )' Исключив параметр С, можем получить непосредственную зависимость между 2 х и у. Возводя обе части каждого уравнения в степень — и складывая 3 почленно полученные уравнения, найдем особое решение в следующем виде: хг'+у ц=а1ь Это — астроида. Однако огибающей семейства (а следовательно, и особым решением) является не вся астроида, а только ее левая половина (так как из параметрических уравнений огибающей видно, что хчК О) (рис.
264). 49 УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА $14. Уравнение Лагранжа Уравнением Лагранжа называется уравнение нида у= р(у')+Ф(у'), (1) ««'у где «р и ф — известные функции от ««х Это уравнение линейно относительно у и х. Рассмотренное в предыдущем параграфе уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при «р(у')=у'. Интегрирование уравнения Лагранжа, так же как и интегрирование уравнения Клеро, производится с помощью введения вспомогательного параметра р. Положим у =р' тогда исходное уравнение запишется в виде у=х«р(р)+ф(р). Дифференцируя по х, получим р=«р(р)+[х«р' (р)+$' (р)1 — „ или р — «р (р) = [х«р' (р) +ф' (р)) — Р.
Из этого уравнения сразу можно найти некоторые решения: именно, оно обращается в тождество при всяком постоянном значении р = р„удовлетворяющем условию «р (р«) Действительно, при постоянном значении р производная †=†О, «Гр «Гх и обе части уравнения (1") обращаются в нуль. Решение, соответствующее каждому значению р=р„т. е. ««у хх 0 — "=р„является л ни ей ион функцией от х(так как производная — постоянна только у линейных функций). Для того чтобы ««у ««х найти эту функцию, достаточно подставить в равенство (1') значение р=р;1 у = х«р (ро) + т' (ра) Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет особым решением.
Найдем теперь общее решение. Для этого запишемуравнение (1") в виде Йх «р' (р) «)' (р) и р — «Р( ) р — ч (р) ДИФФВРВНЦИАЛЬНЫВ УРАВНЕНИЯ 1гл, хгп и будем рассматривать х как функцию от р Тогда полученное уравнение будет линейным дифференциальным уравнением относительно функции х от р. Решая его, найдем х=ш(р, С). (2) Исключая параметр р из уравнений (1') и (2), получим об щ и й интеграл уравнения (1) в виде Ф(х, у, С)=0. Пример.
Дано уравнение р = ху'+ у'з Положив у'=р, будем иметь У=ад +Р ° Дифференцируя по х, получим р = рз+ 12хр+ 2р] —, пр нх (Г) Найдем особые решения. Так как ре рз при де=о и р,=1, то решениями будут лняейные функции !см. (ГЛ 1р=х ба+От, т. е. У=О, и у =х+1. Будут лн зги функции частными илн особыми решениями, мы увидим, когда найдем общий интеграл.. Для его разыскивания запишем уравнение (1") Нх 2 2 в виде — — х — = — и будем рассматривать х как функцию незавиПр 1 — р 1 — р симой переменной р.
Интегрируя полученное линейное (относительно х) уравнение, находим Сз х= — 1+ 0 — 1)' ' й 15. Ортогональиые и нзогональные траектории Пусть имеем одиопараметрическое семейство кривых Ф(х, у, С)=0. (1) Линни, пересеквкацие все кривые данного семейства (1) под постоянным углом, называются изогоналаными траекториями. Если этот угол прялюй, то траектории называются ортогональными траекториями., Исключая р из уравнения (1') н (П), получим общий интеграл В=(С+ Г х+1) . Особым интегралом исходного уравнения будет у=о, поскольку зто решение не получается из общего ни при каком значении С. Функция же у=к+1 является не особым, а частным решением; она получается из общего решения при С=О.
3153 ОРТОГОИАЛЬИЫЕ И ИЗОГОИАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ 51 Ортогональные траектории. Найдем уравнение ортогональных траекторий. Напишем дифференциальное уравнение данного семейства кривых, исключая параметр С из уравнений Ф(х, у, С)=0 дФ дФ ду — + — — =О. дх ду дх Пусть это дифференциальное уравнение будет р (х, д, д"у) = О. (Г) Здесь — есть угловой коэффициент касательной к кривой семенну дх ства в точке М(х; у). Так как ортогональная траектория, проходящая через точку М(х; у), перпендикулярна к соответствующей кривой семейства, то угловой коэффициент касательной к ней — связан с — соотношением дуг ду дх дх (рис.
265) ду 1 (2) Тх дуг Ех Подставляя это выражение в уравнение(Г) и опуская индекс Т, получим Рис. 265. соотношение между координатами произвольной точки (х; у) и угловым коэффициентом ортогональной траектории в этой точке, т. е. дифференциальное уравнение ортогональных траекторий г х, у — — =О. Общий интеграл этого уравнения Ф,(х, у, С)=0 дает семейство ортогональных траекторий.
С ортогональными траекториями приходится иметь дело, например, при рассмотрении плоскою течения жидкости. Положим, что течение жидкости на плоскости происходит так, что в каждой точке плоскости Оху определен вектор п(х, у) скорости движения. Если этот вектор зависит только От поло. жения точки на плоскости, но не зависит отвремени, то движение называется стационарным, или установившимся.
Такое двн- ггл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ жение мы и будем рассматривать. Кроме того, мы допустим, что существует потенциал скоростей, т. е. такая функция и(х, у), что проекции вектора о(х, у) на оси координат о,(х, у) и оу(х, р) являются ее частными производными по х и йс ди ди (4) Линни семейства и(х, у) =-С (5) называются энвипотенциальными линиями (т. е. линиями равного потенциала). Линии, касательные к которым во всех точках совпадают по направлению с вектором о(х, у), называются линиями тона и дают траектории движущихся точек. Покажем, что линии тока суть ортогональные траектории семейства эквипотенциальных линий (рис. 266). Пусть ф — угол, образованный вектором скорости е с осью Ох. Тогда на основании соотношения (4) ди (х, у) — =) о[с з<р, ' у =) е) з!пу; ду отсюда находим угловой коэффициент касательной к линии тока ди(, у) ди(х, у) ' ду (6) дх Рнс.
266. Угловой коэффициент касательной к эквнпотенциальной линии получим, дифференцируя по х соотношение (5): ди ди ду — + — — =О, дк ду Ых откуда ди ду дх (7) дх ди ду Таким образом, угловой коэффициент касательной к эквипотенциальной линии обратен по величине и противоположен по внаку угловому коэффициенту касательной к линии тока. Отсюда и следует, что эквипотенциальные линии и линии тока взаимно ортогональны. $151 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ 53 В случае электрического или магнитного поля ортогональнымп траекториями семейства эквипотенциальных линий служат силовые линии этого поля. П р и м е р 1.
Найти ортогональные траектории семейства парабол у=с, . Ре ш е н ив. Напишем дифференциальное уравнение семейства у'=2Сх. у' 2 1 Исключая С, получим — = †. Заменяя здесь у' нз — —,, получим диф. у х' 1 2 ференцнальное уравнение семейства ортогональных траекторий — —,= —, уу' х хох или уоу= — —. 2 Его общий интеграл х' уч — + — '=Ст.
4 2 Следовательно, ортогональнымп траекториями данного семейства парабол будет некоторое семейство эллипсов с полуосями л=2С, Ь=Суг 2 (рис. 262). Рис. 267. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом а, причем 1ца=й Угловой коэффициент „— = 1ц р (рис.
288) касательной к кри- ву вой семейства и угловой коэффициент — = 1и ф к изогональной оут ох траектории связаны соотнопгением 1 1Р— 16 а КФ= К !Ф вЂ” а)=1+! 1,р ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ХН! т. е. — — й г)рт !(д их (2') а "Ут+! пх Подставляя это выражение в уравнение (Г) и опуская индекс Т, получим дифференциальное уравнение изогональных траекторий. Пр ни е р 2. Найти изогональные траектории семейства прямых у =Сх, (8) пересеканпцие линии данного семейства под углом ге, тангенс которого 1ец=й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
