34_PiskunovT2 (523113), страница 7
Текст из файла (страница 7)
— — +ф'Ы=— уе ук следовательно, 1 ! р' (у) = —, р Ь) = — — +С ук у х' 1 и(х, у)= — — — +Сы уа у Таким образом, общий интеграл исходного уравнения есть хз 1 — — — =С. у Условие (21 прн у мо выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции и (т, у). Найдем эту функцию.
ди 2х Так как — = —, то, следовательно, дх у' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл юи й 1О. Интегрирующий множитель Пусть левая часть уравнения М(х, у) Нх+й((х, у) Ыу=О не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию р(х, у), после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом.
Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция р(х, у) называется интегрирующим множителем уравнения (1). Для того чтобы найти интегрирующий множитель р, поступаем следующим образом-: умножим обе части данного уравнения на неизвестный пока интегрирующий множитель р: рм 1+рй( (у=О. Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение д(ИМ) д(рУ) ду дх т. е. р — +М вЂ” =р — +Л вЂ”, дМ д(х дй' дп ду ду дх ' дх' или дп дп Гдй дМ) М вЂ” — М вЂ” =и ~à — — — !. ду дх ' ( дх ду!' После деления обеих частей последнего уравнения на р, получим М вЂ” — 1(1 — = — — —.
д1п (х д!и и дЛ' дМ (2) ду дх дх ~ду ' Очевидно, что всякая функция р(х, у), удовлетворяющая последнему уравнению, является интегрирующим множителем уравнения (1). Уравнение (2) является уравнением в частных производных с неизвестной функцией р, зависящей от двух переменных х и у. Можно доказать, что прн определенных условиях оно имеет бесчисленное множество решений н, следовательно, уравнение (1) имеет интегрирующий множитель. Но в общем случае задача нахождения (х(х, у) из уравнения (2) еще труднее, чем первоначальная задача интегрирования уравнения (1).
Только в некоторых частных случаях удается найти функцию р(х, у). Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от у. Тогда — =О, д(п и дх ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ $ г!1 и для отыскания (з мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение дд( дМ д(пи дх ду Э ду из которого определяется (одной квадратурой) 1пр, а следовательно, и р.
Ясно, что так можно поступать только в том слудЛг дМ чае, если выражение „не зависит от х. дх ду дж дМ дх ду Аналогично, если выражение не зависит от у, а зависит только от х, то легко находится интегрирующий множитель, зависящий только от х. П р н м е р. Решить уравнение (у+хуз) дх — хну=о.
Решение. Здесь М=у+ху', (У= — х, дМ дАГ дМ дд( — =1+2ху, — = — 1, — ф. —. ду ' ' дх ' ду дх ' Следовательно, левая часть уравнения н е есть полный дифференциал. Посмотрим, не допускает лн зто уравнение интегрирующего множителя, завясящего только от у. Заметив, что дМ дМ дх ду — ! — 1 — 2ху 2 М у+хуз у ' заключаем, что уравнение допускает ннтегрярующяй множитель, зависящий только от у. Находим его: — = — —; отсюда 1и Р= — 2 1п у, т. е. и=1(уз.
д (п и ду После умножения всех членов данного уравнения на найдеяный интегрируют! 1 х щнй множитель р получаем уравнение ( — +х) дх — ну=о в полных днф(. у ) у' г'дМ дд( 1 1 ференцналая (1 — = — = — — ) . Решая зто уравнение, найдем его общий ~ ду дх уз) ' х хз 2х интеграл — + — +С вЂ” О, нлн у=-— у 2 ' хз+2С' й 11. Огибающая семейства кривых Пусть дано уравнение вида Ф(х, у, С)=0, где х и д †переменн декартовы координаты, а С вЂ параме, могущий принимать различные фиксированные значения. ~гл.
хш диффпивицидльные хидвнения При каждом данном значении параметра С уравнение (1) определяет некоторую к ри вую на плоскости Оху. Придавая С всевозможные значения, мы получаем с е м е й с т в о к р и в ы х, зависящих от одного параметра, или — как часто говорят — одно- параметрическое семейство кривых. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение одно- параметрического семейства кривых (так как оно содержит только одну произвольнуто постоянную). Рис. 257. Рис.
256. О п р е д е л е н и е. Линия й называется огибаюи(ей однопараметрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии й ее касаются различные линии данного семейства (рис.
256). Пример 1. Рассмотрим семейство линий (х — С)е+уа=йа, где тт— постоянная, С -параметр. Это — семейство окружностей радиуса й с центрами на осн Ог. Очевидно, что вто семейство будет иметь огибающими прямые у =Я, р= — и (рнс. 25?Х Нахождение уравнен и я ог и ба ющей данного семейства. Пусть дано семейство кривых Ф (х, у, С) = О, (1) зависящих от параметра С. Предположим, что это семейство имеет огибающую, уравнение которой можно записать в виде у =р(х), где ~р(х) — непрерывная и дифференцируемая функция от х.
Рассмотрим некоторую точку М (х; у), лежащую на огибающей. Эта точка также лежит на некоторой кривой семейства (1). Этой кривой соответствует определенное значение параметра С, которое при данных х и у определяется из уравнения (1): С= С(х, у). Следовательно, для всех точек огибающей удовлетворяется равенство Ф(х, у, С(х, у))=0. (д) Допустим, что С(х, у) — дифференцируемая функция, не постоян. ная ни на каком интервале рассматриваемых значений х, у.
Из уравнения (2) огибающей найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке М (х; у). Продифференцируем ОГиБАющАя семенстВА кРиВых равенство (2) по х, считая, что д есть функция от х: дФ дФ дС /дФ дФ дС 1 — + — +~ — + — — '~д =О, дх дС дх (, ду дС ду,~ или Ф;+Ф„д'+Фс~ —,+,— д ) =О. 1'дС дС (3) Далее, угловой коэффициент касательной к кривой семейства (1) в точке М(х; д) найдется из равенства Ф,+Ф„д'=О (4) (С на данной кривой постоянно). Мы предполагаем, что Ф„' Ф О, в противном случае мы считали бы х функцией, а д аргументом.
Так как угловой коэффициент й огибающей равен угловому коэффициенту й кривой семейства, то из (3) и (4) получаем Ф. (дС + дС д.) О Но так как на огибающей С(х, д) Фсопз(, то дС дС вЂ” + — д~о, дх ду и потому для ее точек справедливо равенство Фс(х, д, С) =О. (5) Таким образом, для определения огибающей служат следующие два уравнения: Ф(х, д, С) =О, Фс(х, д, С) =О. (6) Обратно, если, исключая С из этих уравнений, получим уравне- ние д = 1р(х), где 1р(х) — дифференцируемая функция, при этом значение С ~сопз1 на этой кривой, то д= Гр(х) есть уравнение огибающей. Замечание 1. Если для семейства (1) некоторая функция д = 1р (х) является уравнением геометрического места особых пючек, т.
е. точек, где Ф'=О и Ф„'=О, то координаты этих точек так- же удовлетворяют уравнениям (6). Действительно, координаты особых точек можно выразить через параметр С, входящий в уравнение (1): х=) (С), д=р(С). (7) Если эти выражения подставим в уравнение (1), то получим тождество относительно С: Ф() (С), р(С), С) =О. (гл. хан дифевркнцнлльныа ирдвнвння Дифференцируя зто тождество по С, получим: ,оэ,,бн Ф' —— ,С+Фа'„С+Фс=О; так как для любых точек выполняются равенства Ф;=О, Ф„'=О, то, следовательно, для них также выполняется равенство Фс= О. Этим мы и доказали, что координаты особых точек удовлетворяют уравнениям (6).
Итак, уравнения (6) определяют либо огибающую, либо геометрическое место особых точек кривых семейства (1), либо сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлетворяющую уравнениям (6), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим местом особых точек. Рис.
259. Рис. 258. Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей (х — С)'+уз — йз=о, зависящих от одного параметра С. Р е ш е н не. Дифференцируя уравнение семейства по С, получаем 2(х — С)= =О. Исключая С из этих двух уравнений, получим уравнения рз — )ге=о иля р= ~Р. Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является о г и ба юще й (а не геометрическим местом особых точек, так как окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек). Пример 3. Найти огибающую семейства прямых: х сов га+р зьг а — р= о, (а) где ге †параме. Решение. Дифференцируя по а данное уравнение семейства, будем иметь: — хз1п се+у соз а=а.
(Ь) Для ясключения параметра а из уравнений (а) и (Ь) умножим члены первого на соз сс, а второго — на апьрь и вычтем из первого второе; тогда будем иметь х=рсоза. Подставляя это выражение в равенство (Ь), найдем р= = рзГпа.
Возводя члены двух последних уравнений в квадрат и складывая почленно, получим хэ+уэ5 ра. Это — окружность. Она является огибающей семейства (а не геометрическим местом особых точек, так как прямые линии не имеют особых точек) (рис. 258). П р и и е р 4.
Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью оэ под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. При этом будем считать, что орудие находится в начале координат, а траектории снарядов лежат в плоскости Охи (сопротивлением воздуха пренебрегаем!. ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ Р е ш е н и е. Найдем сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси Ох угол а. Во время полета снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномерное движение ео скоростью ор в направлении ствола орудия и падение вниз под действием силы тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
