34_PiskunovT2 (523113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Переменная. Функция» и «Предел. Непрерывность функций» написаны в пределах возможного кратко. Некоторые вопросы, обычно излагаемые в этих главах, без ущерба для дела перенесены в третью и последующие главы. Зто дало возможность раньше перейти к основному понятию дифференциального исчисления — производной, чего требуют другие дисциплины втузовского курса (целесообразность такого расположения материала подтверждается опытом работы).
В связи с включением во втузовскую программу по высшей математике вопросов, необходимых для обеспечения курсом мате'матики втузовских дисциплин, связанных с автоматикой и вычис- пнвдисловии к пятому издинию 12 лительной техникой, в учебнике подробно изложены соответствующие разделы: «Численное интегрирование дифференциальных уравнений н систем дифференциальных уравнений» *), «Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений», «Понятие о теории устойчивости Ляпунова>, «Оператор Гамильтона», «Интеграл Фурье» и т. д. В главе ХИ11 рассмотрены основные уравнения математической физики.
Обращено большое внимание на выяснение характера физических явлений, приводящих к уравнениям различных типов и соответствующим краевым задачам. Большое внимание уделено численным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных. В главе Х1Х излагаются основные понятия операционного исчисления и операционный метод решения дифференциальных уравнений. Это требуется для многих последующих дисциплин, и особенно электротехнических. В учебник включено большое количество задач и примеров для упражнений, многие из которых иллюстрируют связь математики с другими дисциплинами.
Задачи и примеры специально подобраны по каждому разделу курса, что способствует усвоению излагаемого материала. Это обстоятельство также делает книгу удобной для самостоятельного изучения курса математики, в частности для студентов-заочников. Автор Шестое издание отличается от пятого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение, где изложен важный для инженеров вопрос «Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов». Седьмое издание отличается от шестого только тем, что в конце 1-го тома дано приложение «Интерполяционная формула Ньютона.
Численное дифференцирование». «) Обычно излагаемые численные методы анализа также изложены а данном учебнике. ГЛАВА ХП! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ й !. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линни Пусть функция у = !'(х) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто, рассматривая зто явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости у от х, а можем установить зависимость между величинами х и у и производными от у по х: у', у", ...у'", т. е. написать ди ффе ре нциальиое уравнение. Из полученной зависимости между переменными х, у и производными требуется установить непосредственную зависимость у от х, т.
е. найти у=у(х) или, как говорят, п роинтегри ровать дифференциальное уравнение. Рассмотрим два примера. Пример 1. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого ль Требуется установить, по каколгу закону будет пзменятьси скорость о падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропор. циональностн й), т.
е требуется найти о=у(!). Решение. По второму закону Ньютона г)о щ — =Р, П1 пэ где — есть ускорение движущегося тела (производная от скорости по вре- гИ мени), а à — сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила скчадывается из двух: силы тялкести тд и силы сопротивления воздуха — йо (мы берем ее с минусом, так как она направлена в сторону, противоположнуго направлению скорости). Итак, г(о т — = тл — йо.
о! Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию о и ее произ. оо водную -' —, т.е. дифференциальное уравнение относительи! ' (гл. хиг ДИФФИРННГ1ИВЛЬЫЫН Ивдвннымй 14 но неизвестной функ ци и о. (Это уравненве движения некоторых типов парашютов.) Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую фуннцию о=1(Г), которая тождественно удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Таких фувкций имеется бесконечное множество.
Читатваь легко проверит, что всякая функция вида в о=Се "' + — ~ й (2) удовлетворяет уравнению (1), каково бы ни было постоянное число С. Какая же нз этих функций даст искомую зависимость о от П Для того чтобы ее найти, используем дополнительное условие: при у сбрасывании тела ему была придана начальная скорость оэ (которая, в частности, может быть равной нулю); мы предполагаем эту начальную скорость известной.
Но тогда искомая функция о=.) (1) должна быть такова, чтобы при 1=0 (в начале движения) выполнялось условие э=о,; Подставляя 1=0, о=в, в формулу (2), найдем оэ=С+ —, откуда С=оэ — ° шп тл д ' й' Таким образом, постоянпан С найдена. Следовательно, искомая зависимость о от такова: ( шп) — +шп (2') Рис. 250. Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию о=оэ при 1=0, П р и ме р 2. Гибкая однородная нить подвешена за два конца. Найти уравнение кривой, по которой расположится нить под действием собственного веса (так располагаются подвешенные канаты, провода, цепи). Решен и е. Пусть Мэ (О, З) — наиболее низкая точка нити, М вЂ” ее про.
невольная точка (рнс. 250). Рассмотрим часть нити МэМ. Эта часть находится в равновесии под действием трех сил: 1) натяжение Т, действюощее по касательной в точке М и составляющее с осью Ох угол йц 2) натяжение Н в точке Мэ, действующсе горизонталыю; 3) вес нити уз, направленный вертикально вниз, где з †дли дуги МэМ, у †линейн удельный вес нити. ') Формула (2 ) может быть получена нз (2') с помощью предельного перехода: Из этой формулы следует, что при достаточно больших 1 скорость о мало зависит от ое. Заметим, что если А=О (т. е.
сопротивление воздуха отсутствует или оно столь мало, что мы можем им пренебречь), то мы получаем известный из физики результат ч): ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Разлагая натяжение Т иа горизонтальную и вертикальную составляющие, получим уравнение равновесия: Т соа ф = Н, Т з!п ф = уз. Деля члены второго равенства на составляющие члены первого, получим (йф= — а. у Н (з) Положим теперь, что уравнение искомой кривой у=)(х). Здесь „)(х) — неизвестная функция, катару!о тим, что (и ф = 7' (х) = де)у Следовательно, можно записать в виде надлежит найти. Заме- ~~у 1 еТх а Н где через а обозначено отношение —. у Продифференцируем обе части равенства (4) по хз д'у 1 йз ихз а ах Но, как известно (см. 6 ! гл. Ъ'!), аз / (е)у) ! !(5 Подставляя значение — в уравнение (5), получим а! пение искомой кривой: (4) дифференциальное урав.
(6) Оио выражает связь между первой и второй производными от неизвестной функпии у. Не останавливаясь на методах решения уравнений, укажем, что всякая функция вида у=ос)! ~ — +С!) -!-С, (а (7) у =зй ( — '+С,) . удовлетворяет уравнению (6) при любых значениях постоянных С! и Сз, в чем можно легко убедиться, подставив первую и вторую производные указанной функции в уравнение (6).
Укажем далее без доказательства, что этими функциями (при различных С, и С,) исчерпываются все возможные решения уравнения (6). Это будет показано в й )8. Графики всех полученных таким образом функций называются цепными линиями. Выясним теперь. как надо подобрать постоянные С! и Сэ, чтобы получить именно ту цепную линию, низшая точка М которой имеет координаты (О, Ь). Так как при х=О точка цепной линии занимает наинизшее положение, то в этой точке касательная горизонтальна, т. е. — .=О.
Кроме того, по условию, бу ' !)х в этой точке ордината равна Ь, т. е. у=Ь. Из уравнения (7) находим ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ тгл. хш подставляя сюда х=о, получим О= Ь Ст. Слсдовамльно, С1=0. Вели ордпната точки Ме есть Ь, то у=Ь прн х=о. Нз уравнения (7), полагая к=О и Ст=о, получаем Ь= — (1+1)+СФ 2 откуда С,= Ь вЂ” а. Окончательно находим у = а сц (к(а)+ Ь вЂ” а. УРавнение (7) пРинимает особенно пРостой виД, если оРдинатУ точки Ме взять равной числу а. Тогда уравнение цепной линии будет у = а сй (х/а).
$ 2. Определения Определение 1. Дифференииальнылг уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у=('(х) и ее производные у', у", ..., у'"'. Символически дифференциальное уравнение можно написать так: г" (х, у, у, у, ..., у"') =О нли Если искомая функция у=)(х) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В настоящей главе мы будем заниматься только обыкновенными дифференциальными уравнениями в). Оп р еде ление 2. Поряднолг дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Так, например, уравнение у' — 2ху'+ 5 = — О есть уравнение первого порядка. ') Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в матеыатнческом анализе изучаются также уравнения в частных производных. Диф. ереренциаеьным уравнением в частных нроиэеодных называется соотношение между неизвестной функцией г, зависящей от двух или нескольких переменных х, у, ..., этими переменными х, у, ... и частными производными от г: дг дг д'г дх ' ду ' дхе — — — н т. д. Дифференциальным уравнением в частных производных с неизвестной дг дг функцией г(х, у) является, например, уравнение к — =у —. дх ду' Легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет функция г=х'уе (и еще множество других функций).
В настоящем курсе уравненвям в частных производных посвящена гл. ХУ1Н. йа1 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнение У" + иу' — Оу — з1п х= О есть уравнение второго порядка и т. д. Уравнение, рассмотренное в предыдущем параграфе в примере 1, является уравнением первого порядка, а в примере 2 — уравнением второго порядка. 0 п р е дел ен и е 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция у=1(х), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. л у П р и м е р 1. Пусть мы имеем уравнение — + у = О. Лхе Функция у=з1пх, у=2соах, у=за)пх — созх и вообще функции вида у=Стеша, у=С,сов х илн у=С,нюх+С,сов х являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных Сг и С,; в атом легко убедиться, подставив указанные функции в уравнение.
Пример 2. Рассмотрим уравнение у'х — х' — у=о. Его решениями будут все функции вида у = ха+ Сх, где С вЂ” любая постоянная. Действительно, дифференцируя функцию у=х'+Сх, находнму'=2х+С. Подставляя выражения у и у' в исходное уравнение, получаем тождество (2х+С) х — хз — ха — Сх= О. Каждое вз уравнений, рассмотренных в примерах 1 и 2, имеет бесчисленное множество решений. 3 3.
Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) 1. Дифференциальное уравнение п е р в о г о порядка имеет вид Р(х, у, у')=О. (1) Если это уравнение можно разрешить относительно у', то его можно записать в виде У 1(», У) (1') В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Т е о р е м а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
