34_PiskunovT2 (523113), страница 11
Текст из файла (страница 11)
хн Я1 новку Сну Н вЂ” 1=Р. Тогда р н=(г +1) д Сл 1 ар=3! (Р+1) А — пй сл Следовательно, = — )' Сну Н вЂ” 1 (Сху !'+2). С,' Окончательно получаем х+ Са = ~ —, Г Схр д — 1 (Сну Д -(- 2) . С,' Пример 3. Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, зависящей только от положения точки. Дифференциальное уравкение движения будет гРх т — „=г" (х). Мз г(х Пусть при 1=0 будет х=ха — =се. М = е. г(х Умножив обе части уравнения на — Л и проинтегрировав в пределах М от 0 до 1, получим я 1 ~ бх'1а гл~ ) июа=( г(х)ах 2 хМ) 2 =) я, или +~ — ) Е(х) Лх~= — шов=сонь!. я, Первое слагаемое последнего равенства представляет собой кинетическую энергию, второе — потенциальную энергию движущейся точки. Из полученного равенства следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной во все время движения. Задача о математическом маятнике.
Пусть материальная точка массы гл под действием силы тяжести движется по окружности 1„лежащей в вертикальной плоскости. Найдем уравнение движения точки, пренебрегзя силами сопротивления (т. е, силой трения, силой сопротивления воздуха и т. п.). Поместим начало координат в низшей точке окружности, ось Ох направим по касательной к окружности (рис. 271). Обозначим через ! радиус окружности, через з — длину дуги от начала О до переменной точки М.
где находится масса ш, причем эту длину берем с соответствующим знаком (з > О, если точка М правее точки О; а < О, если М левее О). Наша задача заключается в установлении зависимости з от времени 1. Разложим силу тяжести тд на тангенциальную и нормальную составляющие. Первая, равная — «глз1п ~р, вызывает движение, вторая уничтожается реакцией кривой, по которой движется масса ш. $ !з1 инкоторын типы нрлвиниии Таким образом, уравнение движения имеет вид бза т —,= — шд з1п ~р.
аХ1з Так как для окружности угол у=а!1, то мы получаем уравнение о 5 3 — = — яв$п —. й(з 1' Зто дифференциальное уравнение П типа (так как оно не содержит явным образом независимой переменной 1). Интегрируем его соответствующим образом: оз озз пр =р = р. ,11 ' б(а лз Следовательно, р — = — л в!ив др 3 бз ! ' 3 = — л з1п — оз, откуда 1 или р 0п= рз = 2д! соа — +С!.
3 Обозначим через зе наибольшую длину дуги, на которую отклоняется точка М. Прн з=з, скорость точки равна нулю: Рис. 27!. ( )= оз 1з 3+за 56 5 — =42!з!п — 'з!ив и'1 ) 21 21 (о) откуда е) — =2~!й! р зш — з!п —, оз / . а+за з~ — з Ф г 2! 21 (6) Это — уравнение с разделяющимися переменными, Разделяя переменные, получим =2 )Г21 б!. (7) а+за зз — 3 в1п — з!ив 21 21 *) Перед корнем мы берем знак плюс. Из замечания в конце решения задачи следует, что рассматривать случай, когда берется знак минус, нет надобности. Это дает возможность определить Сб 0=2л! соз — +Ст, откуда С = а1 1— за /лайз / 3 за = — 2л!соз —. Поэтому рз= ~ — ) = 2л1!(соз — соз — а иля, примеияя к последнему выражению формулу для разности косинусов, (гл хгм дифенвпицмлльцыи траиннния иля г(! р ! (6') Разделяя переменные, получим (предполагаем пока, что з Ф зо) лз о (7') а' Зо — за Снова будем считать, что з=0 при !=О.
Интегрируя последнее уравнение, получим а(з /д в (8') или агсзоп — = з/ — (, з /я з, откуда з=а!з!и гзх — Е /й У (9) Замечание. При решении мы предполагали, что зава. Но путем непосредственной подстановки убеждаемся, что функция (9) есть решение уравнения (6') при любом значении !. Напомним, что решение (9) является приближенным решением уравнения (5), так как уравнение (6) мы заменили приближенным уравнением (6'). Равенство (9) показывает, что точка М (которую можно рассматривать как конец маятника) совершает гармонические колебания с периодом колеба/! ния Т=йп зг —. Этот период не зависит от амплитуды колебания зо.
й' Пример 4. Задача о второй космической скорости. Определить наименьшую скорость, с какой нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось иа Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Обозначим массу Земли и массу брошенного тела соответственно через М и ш. По закону тяготения Ньютона сила 7 притяжения, действующая на тело ш, будет )=й —, ° М ш Го Будем пока предполагать, что з ~ зо, тогда знаменатель дроби отличен от нуля. Если считать, что з=б при (=О, то из равенства (7) получаем =2)г д! Е (8) з+зо . за в $г' зоп — з!п— 2! 2! Это равенство и дает зависимость з от й Интеграл, стоящий слева, не выражается через элементарные функции, не выражается через элемеитарныефункции я функция з от !.
Рассмотрим поставленную задачу приближенно. Будем предполагать, что углы зо/! и з!! малы. Углы (а+за)!2! и (з,— з)г2! не будут превосходить дф. В уравнении (6) синусы углов заменим приближенно углами: оз — - /а+ таз,— з — =2 ~ 8! тз7 и У 2! 2! НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ $181 где г — расстояние между центром Земли н цен~ром масс брошенного тела, й †гравитационн постоянная. Дифференциальное уравнение движения укаэанного тела с массой ш будет Лог М.ш и — = — Гг— с((о гз или (10) — — — й— о!о гэ Мы взяли знак минус потому, что а задаче ускорение отрицательно. Дифференциальное уравнение (10) есть уравнение вида (2).
Будем решать это дг уравнение при следующих начальных условиях: г=й, — =оо при 1=0. <И с(ог Здесь )с — радиус Земли, о,— скорость бросания. Обозначим = — о, — = <И ' б(о сЬ сЬ с( Фо = — = — — =о —, где о — скорость движения. Подставляя в уравне- Ж а1г Ж бг' <Ь М ние (1О), получим о — „= — й —. Разделяя переменные, получаем о до = ог гэ с(г = — АМ вЂ” . Интегрируя это уравнение, находим г оз 1 — =Ам — +С . 2 г Из условия, что о=о, на поверхности Земли (при г=)с), определим Сг! — =АМ вЂ” +С, оо 1 )( г или йМ оо с,= — — + —.
2 Подставим найденное значение Сд в равенство (11): ! АМ оо — =АМ вЂ” — — 1-— г Я+2 или оз 1, /оо АМ~ — ыойМ вЂ” +~— 2 г'~2 )с /' (12) По условию тело должно двигаться так, чтобы скорость всегда была положительной, следовательно, оз/2 > О. Так как величина йМ/г при неограниченном возрастании г делается как угодно малой, то условие оэ/2 > 0 будет выполняться при любом г только в случзе оо АМ вЂ” — ге0, 2 1с (13) Следовательно, наименьшая скорость будет определяться равенством Г2АМ оо= ~/~— Я 1 (14) 3 И.
С. Пискунов. э. З (тл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где см А=8,88 !О- —,, /(=ЕЗ 10 г с' ' На поверхности Земли при г=/т' ускорение силы тяжести равно М Е(о=981 см/сз). На основании этого из равенства (10) получаем д=/т —, /( 3 дмэ или М= —. Подставляя это значение М в формулу (!4), получаем и оэ —— ~2ф~ =Р 2 981 63 1О' Рз 11,2 10' см/с=11,2 км/с, 9 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения второго порядка.
Пусть имеем уравнение у'=/(х, у, у'). (1) Обозначим через тр угол, который касательная к кривой образует с положительным направлением оси Ох; тогда — „,=1~ р. ор Чтобы выяснить геометрический смысл второй производной, вспомним формулу, определяющую радиус кривизны кривой в данной точке'), (1+Ем) /* л= р Отсюда (!+У'3) /а й Но У'= (и тр, 1 -1- У'э = 1 -(- 1иэ тр = зесэ тр, (1 -(- у'з) ч,— ~ эе з тр ~ 1 поэтому 1 /1 ! созе~у) (з) Подставляя теперь в уравнение (1) полученные выражения для у и у", будем иметь 1 з ! /(~ у Ктр) ') До сих пор мы всегда считали радиус кривизны по по ж и т ел ь н ы м числом, однако в настоящем параграфе мы будем считать радиус кривизны числом, которое может принимать как положительные, так и отрицательные значения: если кривая выпукла (у" < 0), мы считаем радиус кривизны отрицательным (тт < 0); если кривая вогнута (у' > 0),— положительным (/т > 0).
грлеичнскин мвтод интегрирования 67 $!э1 или (4) ~ соав тор ! 7(х, р, 1К ф) Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второго порядка определяет величину радиуса кривизны интегральной линии, если заданы координаты точки и направление касательной в этой точке. Из предыдущего вытекает способ приближенного построения интегральной кривой при помощи гладкой У кривой, составленной из дуг окружностей *). Пусть, например, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим начальным условиям: 1 У)х=х~=Уа У ~х=х.=Уз Рис.
272, Через точку М,(х,; у,) проведем луч М,Т, с угловым коэффициентом у' = 1к грз= у,' (рис. 272). Из уравнения (4) найдем величину гс' = хсе. Отложим отрезок М,С„равный Я„на перпеидикуляре к направлению М„Т„и из точки С„как из центра, опишем небольшую дугу М,М; радиусом )се. Заметим при этом, что если ус',(О, то отрезок М,С, нужно направлять в ту сторону, чтобы дуга окружности была обращена выпуклостью вверх, а при Яе) Π— выпуклостью вниз (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
