34_PiskunovT2 (523113), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(9') Отметим, что функция (7') является частным случаем функции (7) (Р(х)=м, !е(х)=!»!, а=-0); функции (8') и (9') являются частными случаями функций (8) и (9). При мер 4. Найти общий интеграл линейного неоднородного уравнения у" +2у'+бу=2 соз х. Р е щ е н и е. Характеристическое уравнение йа+2й+5=0 имеет корни й»= — 1+2»; йа — — — ! — 2!. Позтому общий интеграл соответствующего 4 241 нводнородныв увдвнвния второго порядка 89 однородного уравнения есть у = е-х (Сх соз 2х+С, з1п 2х). Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде уь= А соз х+В з!п х, где А и  — постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя у' в заданное уравнение, будем иметь — А соз х — В з!п х+ 2 ( — А з!п х+ В соэ х) + 5 (А соз в+ В зш х) = 2 соз х. Приравнивая коэффициенты при сов х и з1п х, получим два уравнения для определения А н В. — А+2В+5А=2, —  — 2А+5В=О, откуда А=2/5, В=115. Общее решение данного уравнения: у=у+у*, т,е. 2 1 у=е-х (Сг соа 2х+Сз а1п 2х)+ — соах+ — а!п х, 5 5 Пр имер 5.
Решить уравнение у'+4у= сов 2х. Решен не. Характеристическое уравнение имеет корни 5!=21, й = — 21; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид у = Сх соз 2х+ С, з!п 2х. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме у*=х (А соз 2х+В з1п 2х).
Тогда у"=2х( — Аз!и 2х+В сов 2х)+(А сов 2х+Вз1п 2х), у""=4х( — А сов 2х — В з1п рх)+4 ( — А з1п 2х+В сов 2х). Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при сов 2х и з1п 2х, получаем систему уравнений для определения А и В: 4В=!. — 4А=О, откуда А=О, В=!/4. Таким образом, общий интеграл данного уравнения 1 у = Сх соз 2х+С, в1п 2х+ — х з!п 2х. П р и м е р 6. Решить уравнение у" — у = Зее" сов х.
Решен не. Правая часть уравнения имеет вид 1 (х) = ез" (М соз х+ У з!п х), причем М=З, И=О. Характеристическое уравнение йа — 1=0 имеет корни в4= 1, йз= — 1. Общее решение однородного уравнения есть у=С„+С,е- . Так как число а+!() =2+1.1 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у' = еах (А сов х+ В з!п х) . Подставляя это выражение в уравнение, получим после приведения подобных членов (2А-(-4В) езх сов х+( — 4А+2В) ез" в!и х=-Зез" созх.
Приравнивзя коэффициенты прн созх и з1пх, получим 2А+4В=З, — 4А+2В=О. ггл, хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 90 Отсюда А=З!!О, В=З!5. Следовательно, частное решение /3 3 уе = евв — сов х+ — в!н х ), ~!О 5 в общее гх 3 3 у=С,сх+Све-"+е'" ( — совх+ — вшх). '1!0 3 3 а м е ч а н и е. Отметим, что все рассуждения этого параграфа справедливы и для линейного уравнения первого порядка. Рассмотрим, например, уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (это уравнение часто встречается в технических приложениях) „— ~+ад=Ь, (10) где а и Ь вЂ” постоянные.
Находим обгцее решение однородного уравнения д~+ау=О Составляем характеристическое уравнение в+а=О, й= — а. Общее решение однородного уравнения будет в, Се-вх Ищем частное решение у' неоднородного уравнения в форме д =В. Подставляя в уравнение (10), получаем аВ=Ь, В =Ь!а. Итак, у' = Ыа. Общее решение уравнения (10) будет у= у+у* или у=Се в" +Ь|а. (11) й 25.
Неоднородные линейные уравнения высших порядков Рассмотрим уравнение у'"'+а,у" "+... +а„у=1(х), где а,, а„..., а„, 1(х) — непрерывные функции от х (или постоянные числа). Пусть нам известно общее решение д=С,В,+С,д,+ ... +С„д„ (2) соответству!ощего однородного уравнения угггг+агу'» гг+агуш™+... +а,у=О. $251 НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 91 Как и в случае уравнения второго порядка, для уравнения (1) справедливо следующее утверждение. Теорема. Если у — общее решение однородного уравнения (3), а у' — численное решение неоднородного уравнения (1), то 1'=у+у' есл1ь общее решение неоднородного уравнения. Таким образом, задача интегрирования уравнения (1), как и в случае уравнения второго порядка, сводится к нахождению частного решения неоднородного уравнения.
Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить способом вариации произвольных постоянных, считая в выражении (2) фф..., С„функциями от х. Составим систему уравнений (ср. 9 23) С;д,+С;д,+... +С„д„=О, С,у,+С,д,+... +С„у„= й, (4) и~-ъ ! С Р~-в ! 1 С ~н-з>. б С;у'," "+С;у'," "-)-... -)-С„'у„'" "=1(х). Эта система уравнений с неизвестными функциями С;, С;, ..., С„' имеет вполне определенные решения. (Определитель из коэффициентов при С;, С;, ..., С„' представляет собой определитель Вронского, составленный для частных решений у„у.„..., у„однородного уравнения, а так как зти частные решения по условию линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля.) Итак, система (4) может быть решена относительно функций С;, С;, ..., С„'.
Найдя их и интегрируя, получим С, = ~ С; дх+ С„С, = ~ С; дх+ С„..., С„= ~ С„' дх+ С„, где фф..., ф— постоянные интегрирования. Докажем, что в таком случае выражение у =С,у,+С,у,+... +С„у„ (5) есть общее решение неоднородного уравнения (1). Дифференцируем выражение (5) п раз, принимая каждый раз во внимание равенства (4); тогда будем иметь д =Сд, +С у, +...+Сд„, д* =Сд, +Сд, +...+С д„, о = С у'," "+С,у'," "+ ° .. +С„у„'" ", у*'"' = С,у', ' + С,у"," +...
+С„у'„"'+~ (х). ~гл. хш 92 диеэагвнцилльныв угавнвння Умножая члены первого, второго, ... и, наконец, последнего уравнения соответственно на а„, а„„..., а, и 1 и складывая, получим у» он+о у» ы и+ +и у» — 1 (х) так как у,, у„..., у„— частные решения однородного уравнения, и поэтому суммы члейов, полученные при сложении по вертикаль- ным столбцам, равны нулю. Следовательно, функция у*=с,у,+...+С„у„ (где С,, ., ф— функции от х, определенные из уравнений (4)) является решением неоднородного уравнения (1). Это решение зависит от л произвольных постоянных фф..., С„.
Как и в случае уравнения второго порядка, доказывается, что это есть общее решение. Таким образом, утверждение доказано. В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоян- ными коэффициентами (ср. 9 24) частные решения иногда находятся проще, а именно: 1. Пусть в правой части дифференциального уравнения стоит функция 1(х)=Р(х) е, где Р(х) — миогочлен от х; тогда надо различать два случая: а) если се не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно искать в виде у' = Я (х) е"", где Я (х) — многочлен той же степени, что и Р(х), но с неопределенными коэффициентами; б) если а есть корень кратности р характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения можно искать в форме у'=хи() (х) е"", где (1 (х) — многочлен той же степени, что и Р(х).
П. Пусть правая часть уравнения имеет вид ) (х) = М соз рх + М з(п рх, где М и М вЂ” постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом: а) если число Я не есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид у'= А соз ~)х+В гбп ~х, где А и  — постоянные неопределенные коэффициенты; $ зз! НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 93 б) если число р! есть корень характеристического уравнения кратности р, то у*=хи(А совках+В з!Прх).
111. Пусть ! (х) = Р (х) е"" соз !эх+ Я (х) е"х з!и рх, где Р(х) и (е (х) — многочлены от х. Тогда: а) если число а+р! не является корнем характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде у'=(г'(х) е"'соз(1х+!г(х) е"'з!Прх, где (у (х) и у(х) — многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов Р(х) и 1е (х); б) если число а+р! является корнем кратности р характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде у' = хи 1(г' (х) е"" соз (эх+ )г (х) е"" з!п )1х1, где (у(х) и ог(х) имеют тот же смысл, что и в случае а).
Общее замечание к случаям 11 и И1. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только соз))х или только з!Прх, мы должны искать решение в том виде, как было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит сов рх нлн з!п рх, отнюдь не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций. В этом мы могли убедиться, рассматривая примеры 4, 5, 6 предыдущего параграфа, а также пример 2, приведенный в этом параграфе.
П ример !. Найти общее решение уравнения ущ — у=ха+1. Решен ие. Характеристическое уравнение хо — 1=О имеет корни й1=1, аз= — 1, 1гз=й йо»» — 1 Находим общее решение однородного уравнения (см. пример 4 $ 22) у=Стех+С е-"+Сз соз х+С, з1п х. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме р»=Аохз ! Азха+А,х-(-Аз. Дифференцируя у' четыре раза и подставляя полученные выражения в заданное уравнение, получим — Аохз — Азха Азт — Аз=хо+1. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: — Ао=1 — Ах=о — А»=О, — А»=1 Следовательно, у» = — хз — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
