34_PiskunovT2 (523113), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вычислить момент инерцииплоскойматериальнойфигурыР, ограниченной линиями уэ=! — х, х=о, у=о, относительно оси Оу, если поверхностная плотность в каждой точке равна у (рис. 828). Р е ш е н и е. Г харя 1 ! уха лу о»= — пх= — т «я (1 — «) ит= —, 24' о о о Эллипс инерции. Определим момент инерции площади плоской фигуры 0 относительно некоторой оси ОЕ, проходящей через точку О, которую мы примем за начало координат. Обозначим через ф угол, образованный прямой ОЬ с положительным направлением осн Ох (рис. 329). Фз4 момент инирции площади плоскон фигуры 18т В силу равенства (5) величины Х и У связаны между собой соотношением 1 = 1„„Хз - 21„аХ)г+ („„уз.
(6) Таким образом, геометрическое место точек А(Х; г') есть кривая второго порядка (6). Докажем, что эта кривая есть эллипс. Справедливо следующее очень важное в приложениях неравенство, установленное русским математиком В. Я. Буняковским*): (~~ куйхе(д) ( ( ( Ц х с( (у) () 1 уМ е(у), или Рис. 330. Таким образом, дискриминант кривой (6) положителен и, следовательно, эта кривая есть эллипс (рис. 330). Этот эллипс назы- ') Для доказательства неравенства Буняковского рассмотрим следующее очевидное неравенство: ~ ~ [1(х, у) — йр(х, р))збхе(у~о, о где ь — постоянная. Знак равенства возможен только тогда, когда )(х, р)— — Ьр(х, у)=еО, т.
е. если 1(х, р)=ар(х, у). Если предположим, что г(х, у)/ф(х, у) Ф сопз(=ь, то всегда будет иметь место знак неравенства. Таким образом, раскрывая скобки под знаком интеграла, получим ~ ~ (з (х, у) дх е(р — 2)э ~ ~ 1(х, у) ф (х, р) Фебу+ "ьз ) ~ фз (х, у) Их бр > О.
о о о Рассмотрим выражение, стоящее слева, как функцию от )ь Это — много- член второй степени, никогда ие обращающийся в пульп следовательно, его корци комплексны, а зто будет тогда, когда дискрнминант, составленный из коэффициентов квадратного многочлена, отрицателен, т. е.
( ~ (~р ох Лу1 — ( ~ (э Ых Нд ~ ( фе ох оу < О, ( о / о о ( ~ ~ Гфбхе(у1 < ~ ~ Гз е(хну ~ ~ фее(хйр. о / р о Это и есть неровенспео Буняковского. В нашем случае )(х, у)=х, ф(х, у)=у, х/д ~ сопзн Замечательное неравенство Буняковского постоянно применяется в различных областях математики.
Это неравенство во многих учебниках неправильно называют неравенством Шварца. В. Я. Буняковский опубликовал его (среди других важных неравенств) в !859 г., а Шварц лищь в 1875 г. 1ГЛ Х1Ч КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вается эллипсом инерции. Понятие эллипса инерции имеет существенное значение в механике. Заметим, что длины осей эллипса инерции и его положение на плоскости зависят от формы данной плоской фигуры. Тах как расстояние от начала координат до какой-либо точки А эллипса равно 14/ /, где 1 — момент инерции фигуры относительно оси ОА, то, построив эллипс, можно легко подсчитать момент инерцяп фигуры 1) относительно какой-либо прямой, проходящей через начало координат.
В частности, легко видеть, что момент инерции фигуры будет наименьшим относительно большой оси эллипса инерции и наибольшим относительно малой оси этого эллипса. $10. Координаты центра масс площади плоской фигуры В $ 8 гл. ХП (т. 1) указывалось, что координаты центра масс системы материальных точек Р;, Р„..., Р, с массами лГ„т„... ..., и„ определяются по формулам Хл= ~р э ух= (1) Определим теперь координаты центра масс плоской фигуры О.
Разобьем эту фигуру на очень малые элементарные площадки ЛЯР Если поверхностную плотность принять равной единице, то масса площадки будет равна ее площади. Если приближенно считать, ЧтО ВСЯ МаССа ЭЛЕМЕНтаРНОй ПЛОЩаДКИ Ло1СОСРЕДОтОЧЕНа В КаКОй- либо ее точке Р,($1; п1), то можно рассматривать фигуру Р как систему материальных точек. Тогда по формулам (1) координаты центра масс этой фигуры будут приблигкенно определяться равенствами л л ~ч, 11ах1 Ъ~ ч1ах1 1= 1 1 Х" Х ~ ~ х лх Фу х — ' ~~Л ЛР о ) ~ у лх 1~у Уа ~~лхлд о (2) Эгн формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной В пределе при йашЛЯ1 — О интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, и мы получим точные формулы для вычисления координат центра масс плоской фигуры: 4 !о1 КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА МАСС 189 плотностью (, остаются, очевидно, в силе и для фигуры, имеющей любую другую постоянную во всех точках плотность у.
Если же поверхностная плотность переменив: у=у(х, у), то соответствующие формулы будут иметь вид ) ) т (х, у) х ах Зу х,= о ) ) т (х, у) г(х ау о ) ) т(х, у) уахау ус ~ ~ т (х, у) ах ау о Выражения М„= ) ) у (х, у) х с(х с(у и М„= ) ) у (х, у) у дх г(у о о Интеграл ~ ~ у(х, у) г(хг(у выражает величину м а с с ы рассматриваемой фигуры. П р н и е р. Определить координаты центра 3 масс четверти эллипса (рис. 331) ха уа — + — =1, аа Ьт т ч„ х Рис. 331. полагая, что поверхностная плотность во всея точках равна 1. Рещение.
По формулам (2) получаем ха= в — на*-хг а а а о о ( ) *Ф)а — ! 1'~ — *'*а ь ~ а — — — (аа «т)а/а о аЗ (о 4а (( 7")- а ° у ау ал 1 Зп' 4 1 — ь 4 1 — паь 4 называются статическими моментами плоской фигуры О отно- сительно осей Оу и Ох. (гл хзи КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 190 й 11. Тройной интеграл Пусть в пространстве задана некоторая область У, ограниченная замкнутой поверхностью о. Пусть в области У и на ее границе определена некоторая непрерывная функция )(х, у, г), где х, у, г — прямоугольные координаты точки области.
Для ясности в случае, если Г(х, у, г))0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области и'. Разобьем область и' произвольным образом на области Лоо обозначая символом Лр~ не только саму область, но и ее объем. В пределах каждой частичной области Лог выберем произвольную точку Р, и обозначим через )(Р~) значение функции ) в этой точке. Составим интегральную сумму вида 1(щ Х 1 (Рг) М = ) Ц 1 (Р) йп.
или ) ) ) ) (Р) йо = ~ ~ ) ( (х, д, г) с(х с(у йг. (2) Если )".(х, у, г) считать объемной плотностью распределения вещества в области У, то интеграл (2) даст массу всего вещества, заключенного в объеме г'. а) Диаметром области Лог яазывается максимальное расстояние между точками, лежащими на границе области. **) Эта теорема о существовании предела интегральных сумм (т. е. о существовании тройного интеграла) для всякой функции, непрерывной в замкну.
той области У (включая границу), принимается нами беа доказательства. и будем неограниченно увеличивать число малых областей Ьпг так, чтобы наиболыпий диаметр Лог стремился к нулю е). Если функция ~(х, у, г) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1), где предел интегральных сумм понимается в таком же смысле, как это было указано при определении двойного интеграла *а). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области У, ни от выбора точек Р;, обозначается символом )) ) ) (Р) йо и называется тройным интегралом.
Таким образом, по определению ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 19! г ГЕ1 5 12. Вычисление тройного интеграла Предположим, что пространственная (трехмерная) область ограниченная замкнутой поверхностью О, обладает следующими свойствами: 1) всякая прямая, параллельная оси Ое, проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе О) точку области пересекает поверхность О в двух точках; 2) вся область У проектируется на плоскость Оху в правильную (двумерную) область Р; Рту Рис. 332. Рис. 333.
3) всякая часть области У, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей (Оху, Охз, Оуе), также обладает свойствами 1) и 2). Область У, обладающую указанными свойствами, мы будем называть лраеильной трехмерной областью. Правильными трехмерными областями являются, например, эллипсоид, прямоугольный параллелепипед, тетраэдр и т. д. Пример неправильной трехмерной области дан на рис. 332.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать только правильные области. Пусть поверхность, ограничивающая область У снизу, имеет уравнение а=у(х, у), а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение г=ф(х, у) (рис. 333). Введем понятие тр ехк ратного интеграла 1Р по области У от функции трех переменных ) (х, у, х), определенной и непрерывной в области У. Предположим, что область Р— проекция области У на плоскость Оху — ограничена линиями у=<р,(х), у=~рг(х), х=а, х= Ь. Тогда трехкратный интеграл от функции 1(х, у, е) по области У 192 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ.
Х)Ъ определяется так а е ()(Ф( ° у) Ч Уу=~ ~ ~ ~ 1(х, У, г)йг~([У~йх. а е, (х) Х (х, у) Заметим, что в результате интегрирования по г и подстановки пределов в фигурных скобках получится функция от х и у. Далее, вычисляется двойной интеграл от этой функции по области Х), как это было рассмотрено выше. Приведем пример вычисления трехкратного интеграла по областн У.
Првмер 1. Вычнслнть трехкратный интеграл от функции ((х, у, х)= = хуг по области У, ограннченной плоскостямн х=О, у=О, 2=0, х+у+а=1, Решение. Зта область правнльная, она ограничена сверху н снизу нлоскостямн г=О н а= ! — х — у н проектируется на плоскость Оху в правильную плоскую область [), представляющую собой треугольник, ограниченный прямыми х=О, у=о, у=! — х (рнс. 334). Позтому трехкратный интеграл )у вычвслнтся следующяя образом: г)-х-у 2,=11[ о о Рнс. 334.
Расставляя пределы в этом двукратном интеграле по области [), получим а=(-х-у ву~ ух= а о ) Гх 1 Вх= ~ — (1 — х)алх= —, ,) 24 720' о "-й[ -"1" = 1 (1 — х ([) — ~а — * — ) е) г 1 з 3 2 о в Ь=1у,+Ь,+ . +1у„. Рассмотрим теперь некоторые свойства трехкратного интеграла. Свойство 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
