34_PiskunovT2 (523113), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3 3' х=-рсозО, у=рз1пО. Кривая АВ(р= р,) на плоскости Оху (рис. 320) переходит в прямую А'В' на плоскости ООР (рис. 321). Кривая РС(р=р,) на плоскости Оху переходит в прямую Р'С' на плоскости ООР. Прямые АР и ВС плоскости Оху переходят в прямые А'Р' и В'С' плоскости ООр. Кривые В< и ьа переходят в кривые ь; и Ь;. Вычислим якобиан преобразования декартовых координат х и у в полярные 0 и р: вычислвнив площади повнрхности 179 471 Непосредственное вычисление этого двойного интеграла было бы затруднительным; однако простая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям координат.
Положим 1 и=у — х, о=у+ — х. 3 (6) Тогда прямые у=х+1, у=х — 3 перейдут соответственно в прямые и=1, 1 7 1 и= — 3 на плоскости Оио; прямые же у= — — х+ —, у= — — х+5 перей- 3 3 ' 3 дут в прямые о=713, о=3. Следовательно, заданная область Р преобразуется в прямоугольную область Р', изображенную на рис. 322. Остается вычислить якобиан преобразования. Длн этого выразим х и у через и и о. Решая систему уравнений (б), получим 3 3 1 3 х= — — и+ — о, у= — и+ — о. 4 ' 4 4 Следовательно, 3 3 4 1 1 3 4 4 дх дх ду до ду ду ди до 9 3 3 16 1б 4 Рис. 322, и абсолютная величина якобианв равна ~ 7 1=3/4.
Поэтому дд(у Ц ь14 +4 ) ( 4 +4 )1 о о' э ! 3 3 Я 4 д д 4 о 7 -э з й 7. Вычисление площади поверхности Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис. 323); поверхность задана уравнением г = 7(х, у), где функция 1(х, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Оху через Е.
Область на плоскости Оху, ограниченную линией Ь, обозначим через а), Разобьем произвольным образом область г) на а элементарных пло!цадок ЬЗ„ЬЯ„..., Ы„. В каждой площадке ЛЯ! возьмем точку Р1(91; Ч!). Точке Р, будет соответствовать на поверхности точка Ма[в!; Ч,; )($1, Ч!)1. Через точку М; проведем касательную плоскость к поверхности. Уравнение ее имеет вид у!= г!х($! Ч!)(х $!)+1э60 Ч!) Ь Ч!) (!) (гл. х!ч КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (см. $ 6, гл. 1Х, т. 1). На этой плоскости выделим такую площадку Ьо<, которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки ЛЗ!.
Рассмотрим сумму всех площадок Ьп,: ~'.~ Лп!. 1= ! Предел а этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок Ьа! стремится к нулю, мы будем называть плон(адью поверхности, т. е. Гю определению положим 1!ш,У, Ла!. и!и!иьии-~ 0! ! (2) Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через у; угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху. Рис. 323.
Рис. 324. На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис. 324) ЬЯ! = Ло! соз у!, или (3) Угол у! есть в то же время угол между осью Ог и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (!) и формулы аналитической геометрии имеем 1 соз у!— Р' 1+ЮГ'(й! Ч!)+!Р*(й!. Чд Следовательно, ггл. хгу КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ определяется уравнением р=к.
Следовательно, гя Л гп ги -яг ~Г те)и-и ~~ — уа~р~г а=яа ~юв=~ и'. о о П р и м е р 2. Найти площадь той части поверхности цилиндра х'+уз =аз, которая вырезается цилиндром хе+ге=ач. Рис. 326. Рис. 326. Следовательно, Уа~-к~ а газ-х а а а а р г ух= а~ ух=аз, о о о= 8аа. ф 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл Пусть в области Р распределено некоторое вещество, так что на каждую единицу площади области Р приходится определенное количество этого вещества. Мы будем говорить в дальнейшем о распределении м а с с ы, хотя наши рассуждения сохранятся и в том случае, когда идет речь о распределении электрического заряда, количества тепла и т.
п. Рассмотрим произвольную площадку ЬЯ области В. Пусть масса вещества, приходящаяся на данную площадку, есть огл. Решение. На рис. 326 изображена г/з часть искомой поверхности. уравнение поверхности имеет внд у= у аг — х', поэтому бу х бу ~ +®'+®'= ~ +,"*„, =, ',. Область интегрирования представляет собой четверть круга„т. е. определяется условиями хг+ гг ~ аз, х ~ О, г ) О. $81 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕШЕСТВА Тогда отношение — называется средней поверхностной плотноаш Ь5 стью вещества в области ЬЗ. Пусть теперь площадка гхЗ уменьшается, стягиваясь к точке ат Р(х; д).
Рассмотрим предел 1пп †. Если этот предел сущеаз- о ао ствует, то, вообще говоря, он будет зависеть от положения точки Р, т. е. от ее координат х и у, и будет представлять собой некоторую функцию ((Р) точки Р. Будем называть этот предел поверхностной плотностью вещества в точке Р: 1пп — =1(Р) =((х, д). (1) аз обо Таким Образом, поверхностная плотность есть функция ~(х, у) координат точки области. Пусть теперь, обратно, в области Р задана поверхностная плотность некоторого вещества как некоторая непрерывная функ- ция )(Р) = г(х, у) и требуется определить общее количество ве- щества М, содержащегося в области Р. Разобьем область Р на площадки сто! (!=1, 2, ..., и) и в каждой площадке возьмем точку Рб тогда 1(Р!) есть поверхностная плотность в точке Р!.
Произведение 1(Р!)ЬЗ! с точностью до бесконечно малых выс- шего порядка, дает нам количество вещества, содержащегося на и площадке Мг, а сумма ~ !'(Р!) !хо! приближенно выражает г=1 общее количество вещества, распределенного в области Р. Но это — интегральная сумма для функции 1(Р) в области д). Точное значение мы получим в пределе при ЬО! — О.
Таким образом*), и И= 1(ш Х йР,)ЛЗ,.= 5~(Р)а= $$р(х, у)( бр, (2) р О т. е. общее количество вещества в области Э равно двойному интегралу по области Р от плотности ((Р) =1(х, у) этого вещества. Пример. Определить массу круглой пластинки радиуса!с, еслиповерх- ностная плотность г(х, р) материала пластинки в каждой точке Р(х; И) про- порциональна расстоянию точки (х; у) от центра круга, т. е. если г(х, у)=/г г'х +рь. Решение. По формуле (2) имеем й( = Я ~ й г' хх -1- уа !(х ор, о где область интегрирования В есть круг хе+рая На. *) Соотношение Ьо! -~. О мы понимаем в том смьмле, что днаметр области Ьо! стремится к нулю.
<ГЛ Х22 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 184 Переходя к полярным координатам, получаем 2п Я я м-~1((ма)~н-мм ~ = мм. з~ з о о о й 9. Момент инерции площади плоской фигуры Моментом инерции 1 Ааатериальной точки М с массой т относительно некоторой точки О называется произведение массы т на квадрат ее расстояния Г от точки О: 1=те'.
Момент инерции системы материальных точек т„т„..., т„ относительно точки О есть сумма моментов инерции отдельных точек системы: У 1 =,~ Ятаго Г=~ $ Определим теперь момент инерции материальной плоской фигуры й. Пусть фигура Р расположена в коор- динатной плоскости Оху. Определим моРис. 327. мент инерции этой фигуры относитель- но начала координат, предполагая, что поверхностная плотность всюду равна единице.
Разобьем область 17 на элементарные площадки ЛЯ; (1 = 1, 2, ..., н) (рис. 327). На каждой площадке возьмем точку Р, с координатами $ь 272 Назовем элементарным моментом инерции Л1; площадки ЛЯ, произведение массы площадки ЬЯа на квадрат расстояния Г', = Я+21,': Л12=(В)+Ч2) йЪ и составим сумму таких моментов Х 6Г+Ч',) б~2. Она представляет собой интегральную сумму для функции 1(х, у) =х*+у' по области О. Момент инерции фигуры 0 определим как предел этой интегральной суммы, когда диаметр каждой элементарной площадки Ло 2 стремится к нулю: 1, = 1ип ~~'„Я+2)2) Ь5н ач аз,.- о о Пределом этой суммы является двойной интеграл ~ ~ (х'+у')бха(у.
о % о) МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 185 Следовательно, момент инерции фигуры 0 относительно начала координат равен 1,= Ц("+у) й.йу, (!) о где Π— область, совпадающая с данной плоскон фигурой. Интегралы 1„, = 11 у*дхйу, 1„„= Ц х'с(хс(у о (2) (3) называются соответственно моментами инерции (Вигуры )3 относительно осей Ох и Оу.
Пр имер 1. Вычислить момент инерции площади круга Р радиуса относительно центра О. Решен не. По формуле (1) имеем 1е — — ~) (ха+ее) охоу. Длявычислео ния этого интеграла перейдем к полярным координатам В, р. Уравнениеокружности в полярных координатах есть р=)т. Поэтому тп а ь = 1 ()г г~ е) ю - '2~' . 3 а м е ч а н и е. Если поверхностная плотность 7 не равна единице, а является некоторой функцией от х и у, т. е. у = = у(х, у), то масса площадки ст31 будет с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна у($1, кн)ЛЗО и поэтому момент инерции плоской фигуры относительно начала координат будет 1 = 1) 7(х, у)(х'+у')с(хс(у. о Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
