34_PiskunovT2 (523113), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. на некотором интервале, содержащем точку ха а) справедлива формула Тейлора~ 1(х) = ) (а)+ — 1' (а)+ + )" (а)+... +(— ,~'л'(а)+)г„(х), (1) где так называемый остаточный член Я„(х) вычисляется по формуле Я„= (" ),, ~'"+п1а+0(х — а)1, 0<0<1, Если функция Г (х) 'имеет производные в с е х порядков в окрестности точки х=а, то в формуле Тейлора число л можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член К„стремится к нулю при л — оо~ 11ш Я„(х)=О.
л-~ а Тогда, переходя в формуле (1) к пределу при гг — ел, получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейпорьп 1(х)=)(а)+— * 1'(а)+... + ~'л'(а)+... - (2) Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если Я„(х) — О при и — оо. В этом. случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции 1(х). Докажем, что это дейст- вительно так' ) (х) = Р„(х) +Р„(х), где Рл(х)=1(а)+ — ) (а)+... +(— )1'л'(а), Так как по условию Бш )г„(х) =О, то л -а а г( )= 11ш Р„(х).
л -г а Но Р„(х) есть л-я частичная сумма ряда (2); ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (2). Следовательно, -равенство (2) справедливо: 1(х)=~(п)+-и-Г(п)+ 2, Г(п)+" ° +:,Р"'(а)+" Из предыдущего следует, что ряд Тейлора представ- ляет данную функцию 1(х) только тогда, когда ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ 8 1т1 1пп )с„(х) = О. Если 1цп )с„(х) Ф О, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции). Если в ряде Тейлора положим а=О, то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: 1(х) — ~(0)+ — ) (0)+ — 1" (0)+...
+ — ~ (0)+... (3) Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции. Отметим, что для каждой нз элементарных функций, определенных в 2 8 главы 1 (т. 1) существует такое а и такое )с, что в интервале (а †)с, а+)с) она разлагается в ряд Тейлора или (если а=О) в ряд Маклорена. $17, Нримеры разложения функций в ряды 1.
Разложение функции 7 (х) = зш х в р я д Маклорена. В й 7 главы 117 (т. 1) мы получили формулу АЗ Уб Айп -1 з(пх — х 1 1 ... +( — 1) +~ +)с (х). 3! 61 ' ' ' (2А — 1)! Так как было доказано, что 1пп )с,„(х)=0, то на основании сказанного в предыдущем параграфе получаем разложение зш х в ряд Маклорена: АЗ Х~ ~ал -1 з(пх=х —.— + — +... +( — 1)"+' +...
(1) 3! 6! ' ' ' (2з — 1)1 Так как остаточный член стремится к нулю при любом к, то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию зйпх при любом х. На рис. 371 показаны графики функции з!пх и первых трех частичных сумм ряда (1). Этим рядом пользуются для вычисления значений з(пх при различных значениях х. Вычислим, например, 81п10' с точностью до 10 1. Так как 10' или, в радианах, †, ж 0,174533, то Ограничиваясь первыми двумя членами, получим следующее приближенное равенство: 1 Гя~з 3!п — ж — — — ~ — ) 18 18 6 ~18~ 1гл. хит Ряды 2М, при этом возникает погрешность 6, которая по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов, т. е.
6< 8 (~"~) (12о.0,21 <4 10 '. Если каждое слагаемое в выражении для з(п — будем вычис- 18 лять с шестью знаками, то получим: з)п (и/18) = 0,173647, . За первые четыре знака можно ручаться. Рис. 371. 2. Разложение функции 1(х)=е" в ряд)14аклорена. На основании 3 7 главы 1Ч (т. 1) имеем " =1+х+ 21+ 3. +'"+ 1+ " (2) так как было доказано, что 1пп )с„(х)=0 для любого х.
Следо. и-««« вательно, для всех значений х ряд сходится и представляет функцию е". Если в разложении (2) заменить х на ( — х), то получаем х« хи х4 е '=1 — х+ — — — + — —... 21 31 4! ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА . 3, Разложение функции )(х)=созх в .ряд Маклорена. На основании 2 7 главы 1Ч (т. 4) имеем хх х' к' созх=1 — — + — — +...' 2! 4! б! при всех значениях х ряд сходится и представляет функцию созх. 4.
Разложение функций ж=.й =, ж-.й — + в ряд Маклорена. Разложение' этих функций легко получается путем вычитания и сложсния рядов (2) и (3) и деления на два. Итак, х' х' х' '""=х+ 3! + И + т! + " (5) хк х~ к~ сЬх=1+ — +.,— + — +... 2! '4! 6! (б) $18, Формула Эйлера Если определить показательную функцию еге с мнимым показателей с помощью формулы (2) 2,!7, дающей представление функции ех в виде степеннбго ряда, то мы получим то же равенство Эйлера. Действительно, определим ем, положив в равенстве (2) 2 17 вместо х выражение 1у: + + + + л (ф)х (Ф)з (Ф)п П 2! 3! ' ' ' л! Принимая во внимание, что Р = — 1, Р = — 1, 1к =1, 11 = 1, (к= — 1 и т.
д., преобразуем формулу (1) к виду Ф ух !ук ук Фк е'У=1+ — — — + — + — —... 1! 2! 3! 4! 5! До сии пор 44й рассматривалн только ряды с действительными членами, не затрагивая рядов с 'комплексными членами. Не приводя полной теории рядов с комплексными членами, которая выходит за райки данного учебника, рассмотрим только один важный пример из этой области.' В главе Ч$1 (т. 1) была' определена функция ех+м равенством е*+й = ех (соз у+16|и у). При х= О пплучаем формулу Эй3ерел е'х= соз у+16!и у. 1гл. кчт .Ряды Отделяя в этом ряде действительную и мнимую части, найдем 2! 41 ) + ~ П 81 + 51 ' ) ' В скобках стоят степеннйе ряды, суммы которых равны соответственно соз у и з1пу (см. формулы (3)- и (1) предыдущего параграфа).
Следовательно, ем = соз у+(з)п у. (2) Таким образом, мы пришли снова к формуле Эйлера. й 19. Биномиальный ряд 3. 'Разложим в ряд Маклорена'функцию )". (х)= (1+ х)", где т †произвольн постоянное число. Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые труд- ности и потому к разложению данной функции мы подойдем не- сколько иначе.
Заметив, что функция 1(х) = (1+х)м удовлетворяет дифферен- циальному уравнению (1+ х) 1' (х) = ту (х) (1) и условию г(0)=1, найдем степенной ряд, сумма которого з(х) удовлетворяет урав- нению (1) и условию з(0)=1: з(х)=1+а х+а,х'+...+а„х" +... в). (2) Подставляя его в уравнение (1), получим (1+х)(а, (т2а х+За хв+... +пах""'+...)= = т (1+ а,х+ а,х'+... + а„х" +...).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства, находим а1=т, а,+2а,=та;, ..., па„+(и+1)а„+г'=та„..., Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражения: а,=1, а,=т а,= о — ~ 1 > я ав ря — 2) т(и — 1) ря — 2) З 2,З ( — 1) ..
° 1 — ( — 1И о 1.2, ,л ° в) Мы приняли свободный Чаев рввным-однннав в онлу начального условня я(0)=1. Бнномнальныи Ряд Это †биномиальн коэффициенты. Подставляя их в формулу (2), получим з(х)=1+тх+ — х'+... + ( ) '" х" +... 12 !2...и (3) Если и — целое положительное число, то, начиная с члена> содержащего х"+', все коэффициенты равны нулю, и рядпревращается в многочлен. При и дробном или при т целом отрицательном имеем бесконечный ряд.
Определим радиус сходимости ряда (3) (а — !)...(а — и+!) „'а(а — !)...(а — и+2) >+г и! > и (и !)! > »».г( . ( а(а — !)...(а — а+!)(и — !)! и ! „ ( а 0 !)...( — +2) и! .".~ — '. ~=.Ы = Вщ ~ — „~ ~ х] = (х(. Таким образом, ряд (3) сходится при )х~ (1. В интервале ( — 1, 1) ряд (3) представляег функцию з(х), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) и условию з(0)=1. Так как дифференциальному уравнению (1) и условию з(0) = 1 удовлетворяет единственная функция, то, следовательно, сумма ряда (3) тождественно равна функции (1 +х)'", и мы получаем разложение (1+ ) 1+ + (! 2 ) + ( И )х»+, °, (3) В частности, при' и= — 1 получаем ! — = 1 — х+х' — х'+ !+х При т= — будет ! 2 — ! ! !.3 1 3 5 Г 1+х=1+ — х — — х'+ — х" — — х'+ ...
(5) 2 24 ' 246 2468 ! При т= — — имеем 2 ! 1 !3 !35 !357 = 1: — — + — ' — '' + '-' †.. (Е). 3> !+х 2 2'4 2'4'6 2'4'6'8 2. Применим разложение бинома к разложеииат друзин функций. Разложим в ряд Маклорена функцию 1(х) = агсз(п х. 1гл. Хт1 Ряды Подставляя в равенство (6) вместо л выражение — х', получим з 13 з 135 з- 135 "(2" — 1) зл р~ — хз +2 +24 +246 '''+ 246.... ° 2а +''' На 'основании теоремы об интегрировании степвннйх рядов получаем при ~х ~ ( 1; = агсз(пх 41 1 хз 1 ° 3 хз 1 35 хз 1,3,5.,(2 11 з + 2 3 24 5 246 7 ''' 246...2а 2а+1 =к+ — — + — ' — + — '' — +... + ' ' '"" — + ".
Этот ряд сходится в интервале ( — 1, 1). Можно было бы доказать, что ряд сходится и для х=3-1 и что'для этих значений сумма ряда также равна агсз!пх. Тогда, полагая к=1, мы получим формулу для вычисления гм а 1 1 13 1 135 1 агсзгп1 = — =1+ — ° — + — ° -+ — ° — +... 2 2 3 24 5 246 7 $20, Разложение функции !и(1+х) в степенной ряд» Вычисление логарифмов Интегрируя равенство (4) 3 19 в пределах от 0 до"х (при' 1х ( < 1), получим х ~(1 !+!з !з 1. )4(1 или хз хз хз ха 1п (1+х) = х — — + — — 4 + " +( — 1) "— + " ° (1) а Это равенство справедливо в интервале ( — 1, 1). Если в этой формуле заменить х на — х, то получается ряд хз хз хз 1п(1 — х)= — х — — — — — —... ' 2 (2) который сходится в интервале ( — 1, 1). С помощью рядов (1) и (2) можно вычислять логарифмы чисел, заключенных между нулем и двуми. Отметим, без доказательства, что при к=1 разложение (1) также справедливо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
