34_PiskunovT2 (523113), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования ( — к, и) промежутком интегрирования (Л, Л+ 2п), т. е. можем положить А+ зя х+тн а,= — „~(х) Нх, а„= — „~ у(х) сов пхе(х, 1 Г 1 г л+зя Ь„= — ') у (х) з(п пх дх, — (1) где Š— любое число. Это следует из того, что по условию функция у(х) является периодической с периодом 2п; следовательно, и функции у (х) соз пх и у(х) з(пах являются периодическими функциями с периодом 2п. Покажем иа примере, как доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях. ААй -хи -и О ж уя зя ек бв бзр Рл би Рис.

382. П р имер. Пусть. требуется разложить в ряд Фурье функцию 1(х) с периодом 2я, которая на отрезке..о < х~2я задана равенством (7 (х) =х. График функции / (х) изображен на рис. 382. Эта функция на отрезке ( — я, я1 задается двумя формуламн: у(х)=х+2я на отрезке 1 — я, 01 и РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ Г(х)=х на отрезке [О, и). В то же время на отрезке (О, 2п) гораздо проще она задается одной формулой Г (х) =х. Позтому для разложения втой функ.

ции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (1), приняв )г=-О: 2п зя 1 )" 1 (' аа= — ) г'(х) ((х= — ) х((х=2п; з е 2П 2л 1 )" 1 Г 1 Гхзй) лх сов лх12)г а„= — ) )(х) созлх((х= — ) хсозля((х= — ~ — + — ~ =О; "— и.) и и л лз 3о е а 2П 2п 1Г1) 1 Г х сов ля зп) лх12л 2 й„= — ~ г'(х) зш лх ((х= — аз)пах((х= — [— п и и Е л лз зе л в Следпватель но, 2 2 2 2 1 (х) =и — 2 Мп х — зн) 2х — зи) Зх — — йп 4х- — зпгбх — '., 2 3 4 Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (т.

е. кроме точек х=о, 2л, 4л, ...). В згвх точках сумма ряда равна полусуйме предельнык значений функции Г(х) справа н .слева (т. е. в данном случае числу и). й 4. заиды Фурье длн четных и нечетных функций Из определения четной и нечетной функции следует, что если 2))(х) — четная функция, то ~ф(х) г(к=2 ~)р(х) ((х. Действительно,, и а ~ ф (х) ((х = ~ ф (х) г(х+ ~ ф (х) г(х = ( )р ( х) г(х ( ('.ф (х),(х л )г й .

о о =(г()о~-(ч(*)п=г)т()г*, о з так как по определению четной функции гр( — х) =)р(х). Аналогично можно доказать, что, если (р (х) —.н е ч е т н'а я функция, то л л л л л (ю()г"-(т( — ')Ф" (-(%(г)и"=Ф(*)аФ(*)гг=О и е е Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ~(х)2 то произведение Г (х) созччх есть функция также нечетная, а РЯДЫ ФУРЬЕ 1гл.

хугг Г (х) з[п йх — четная; следовательно, аз= — „~ Г'(х) с[х= О, а» эм — ) Г(х) соз Йхс[х=О, 1 Г л п Ь„= — ) Г (х) 6 1п йх с[х = — ') Г (х) зги йх г[х', — и о т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только си- нусы» (см. пример ] 2 2). Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произ- ведение )'(х) 61пйх есть функция нечетная, а Г(х) сових четная и, следовательно, а, = — „~ ~ (х) г(х, о а» = — ') Г'(х)созйхс[х, (2) о Ь» = — ) Г (х) з[и лх г[х = О, - -л т. е.

ряд Фурье четной функции содержит «только коси- ' нусы» (см. пример 2 2 2). Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная. функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной илн нечетной (см. при- мер 5 2 2). П р и и е р.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье четную функцию /(х), которая имеет период 2л и на отрезке [О, л] задана равенством у=х. Эту функцню мы уже разлагали в ряд Фурье в примере 2 6 2 (см, рис. 376). Вычислим снова коэффициенты Фурье этой функции, используя тот факт, что заданная функция является ч»твой.

В силу формул (2) Ь»=О при любом й; ае= — „хг(х=л, а»= — ~ хсозйхг[х= о О прн й четном, 2 Гх зги йх соа йх1л 2 = — ~ — + — ~ = — [( — 1)" — 1].= 1 4 .~э л»~ ' ~ — — при й нечетном. лаз Мы получили те же коэффициенты, что и в примере 2 6 2, но более порот. ким путем. еяд еугьв для еункции с пвгиодом и ЗЗ1 5 5. Ряд Фурье для функции с периодом 21 Пусть 1(х) есть периодическая функция с периодом 21, вообще говоря, отличным от 2п. Разложим ее в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле х=И/и. Тогда функция ~(И/и) будет периодической функцией от 1 с периодом 2п. Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке — и( <х<п: Ф ) ( — 1) =-2 +х, (а„созМ+Ь„з1пИ), (1) А=! где а, = — ~ ~ ( — „1) й, аг' —— — „~ ) ( — „1) соз И г(1, Ь = — ~ ~( — 1) з(пл(й. Возвратимся теперь к старой переменной х: и . з х= — 1 1=х — й= — дх. я ' 1' Тогда будем иметь ! ( а, = — ~ ) (х) Ик, а, = — ~ ~ (х) соз — ях,, 1 Г 1 г ялк -1 -1 ( Ьь= — ) 1 (к) 51п — Ык. 1 Г . лак г — 1 ) (2) -Ю Формула (1) примет вид )".(к) =~— '+~ ~агсоз ~ к+Ьг з!п — к), (3) г ! где 'коэффициенты а„аю Ьг вычисляются по формулам (2). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 21. Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2п, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 21.

В частности, сохраняет свою силу достаточный при- знак разложимости функции в ряд Фурье (см. конец Ь 1), заме- чание о возможности вычислять коэффициенты ряда, интегрируя по любому отрезку, длина которого равна периоду (см. 2 3), (гл. хуи РЯДЫ ФУРВВ а также замечание о возможности упростить вычисление коэффициентов ряда, если функция является четиой-или нечетной (3 4).

П р имер. Рааложить в ряд Фурье периодическую функцию 1(х) с 'периодом 21, которая на отреаке ( — 1, 1) аадается равенством 1(х)=) х) (рис1383). Рис. 383. Р е ш е н и е. Так как рассматриваемая'функция четная, тп 2 Р па=о, ае —— — ~ ада=1, о О при л'четном, па= — хсоа — Нх= — х сов ахи= 41 о — — при и нечетном. пала Следовательно, рааложеаие имеет вид и Зм (йр+ 1) и 1 41 1 ) соа — х соа — х соа х 2 йа'С 1 + За +'''+ (2р+1)а . +''' й й. 0 разложении непериодической функции в ряд Фурье Пусть на некотором отрезке [а, Ь1 задана кусочно монотонная функция )'(х) (рис. 884).

Покажем, что данную функцию )(х) в точках ее- непрерывности можно представить в виде суммы ряда Р Рис. 384 Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ~,(х) с периодом 2)ь)Ь вЂ” а, совпадающую с функцией 1(х) на отрезке [а, Ь1. (Мы дополнили определение функции у(х).) зе) о разложении непериодической оинкцни и ряд Фурье 333 Разложим функцию Г,(х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (а, Ь1 (кроме точек- разрыва) совпадает с заданной функцией ) (х), т. е.

мы разложили функцию Г'(х) в ряд Фурье на отрезке Га, Ь). Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция Г'(х) задана на отрезке [О, (]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке )" — 1, 01 (сохраняя кусочную монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мй дополним определение данной функции так, чтобы при — ! х< 0 было Г(х)=Г( — х), в результате получится четйая функция (рис.

385). (В этом случае говорят, что функция Г(х) апродолжена четным образом».) Эту функцию разлагают в ряд Фурье, который содержит только косинусы. Таким образом, заданную'на отрезке)0, !1 функцию Г'(х) мы разложили по косинусам. Если же мы продолжим определений функции Г'(х) при — (( <х<0 так: Г(х)= — Г( — х), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам (рис.

386). (Функция ) (х) «продолжена нечетным образом».) Таким образом, если на отрезке)0, Г) задана некоторая-кусочно монотонная функция Г,(х), то ее можно разложить в ряд Фурье как по косинусам', так и по синусам.. Рис. 335. Рис. 335. Пример 1. Пусть требуется разложить функцию г(х)=х иа отрезке (О, и) в ряд по синусам. Р е ш е н и е. Продолжая зту функцию нечетным', образом (рис. 375), получим ряд Г.з1пх в1п 2х .в1п зх 1 1 2 + 3 (см.

пример 1 $2). Пример 2. Разложить функцию Г(х)=х на отрезке'(О, и) и ряд по косинусам. Р е ш е н и е. Продолжая зту функцию четныы образом, мы получим ' Г(х)=)х), — п(ха и (рис. 376). Разлагая ее в ряд, найдем и 4 Гссзх совах со»5х Г (х)= — — — ~ — + — + — + 2 п~ 1 3» 5» РЯДЫ 4!МРЬВ (гл. хтц (см. врвмср 2 Э 2). Итак, вз отрезке [О, я[ имеет место равенство я 4 !" сов х сов зк соз Зх 2 м[ 1 Зз Зз '' ]' $7.

Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена Представление функции бесконечным рядом (Фурье, Тейлора и т. д.) имеет на практике тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на и-м члене, является и рну ближенным выражением разлагаемой функции; это при- У ! ~~ ближеиное выражение можно -с " довести до какой угодно степени ,У з!т!щ - ~ точности путем выбора достаточ! !у-р~~ в но большого значения и.

Характеристики

Список файлов книги