34_PiskunovT2 (523113), страница 56
Текст из файла (страница 56)
еепх е-елх созпх= 2 з!ппк= ' . = — 1 2! 2 Введем обозначения ав лп — !Ьп ел+ авп — =Се, 2 =Се 2 =С л' (3) При этих обозначениях формула (2) примет внд ) (х) = с, +,'Е (спе!""+с пе-епх). л=! Последнее равенство записывают более компактно: Ф 1(х) = ~ с„е'"х. (4) Это и есть комплексная форма ряда Фурье. Выразим коэффициенты сп н с „ через интегралы. Пользуясь формулами (4), (5) и (6) 2 1, можем формулы (3) переписать так: ! Г( — ( 1(х) сазаках — ! ( 1(х) з!Пахе(» л 2и п. и 1 г = — 2и с! 1(х) (созпх — 1зпвпх) е(хпп — ~ Г(к) е !"хе(х. 1 Р Итак, сп пп — „~ 1(к) е-епх «(х.
1 г (5') Подставляем эти значении совах и з1плх в формулу (1) и производим соответствующие преобразования: %-1 / Евлх+е-епх Еелх Е-1пх) 1(х) = — +~ !!а„— 1С„ , 2 л=! в 1 ~~. ~ и пеепх ~ лп+ "л е-епх) (2) л=! ггл. хю! РЯДЫ ФУРЬЕ Аналогично (5") с „= — ~ 1(х) е' ах. 1 с Формулы (5') и (5") и выражение с, можно формулу объединить в одну Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следую- 1 — к щая терминология.
Выражения е ' называются гармониками, числа а„= — "" (п=О, ~1, ~2, ...) называются волновыми числами функции 1(х) = ~ с„е' (10) Л вЂ” Ф Совокупность волновых чисел называется спектром. Если откладывате эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. Такую совокупность точек называют дискретной, а соответствующий спектр — дискретным. Коэффициенты с„, определяемые формулами (9), называют комплексной амплитудой. Отметим, что в некоторых трудах по электротехнике и радиотехнике совокупность модулей амплитуд ~с„~ также называют спектром функции 1(х). с„= ! ~1(х)е '""йх(п=О, ~1, ~2, ~3, ...). (6) с„и с „называются комплексными коэффициентами Фурье для функций 1(х).
Если функция 1(х) периодическая с периодом 21, то ряд Фурье для 1(х) будет 1(х) = — +~ ! (а соз — х+Ь 51п — х) (у) к=1 (см. формулу (3) 9 5). Очевидно, что, в этом случае ряд Фурье в комплексной форме вместо формулы (4) выразится формулой к НЛ )(х)= ~ с,е ' Коэффициенты ряда с„выразятся формулами .кк с = — ~~(х)е ' ах (п=О, 1-1, 1-2, ...). (9) РЯДЫ ФУРЬВ ггл.
хуп При ! — оо первый член в правой части стремится к нулю. Дей- ствительно, с а .—, ~тб ( — „~!ж!б(( — хс ~ !1(!)!б1- -1 -с а При любом фиксированном 1 выражение, стоящее в скобках, еств функция от аь (см. формулы (5)), принимающего значения от пс! до оо. БЕз доказательства укажем, что если функция С (х) кусочно монотонна на,каждом конечном интервале, ограничена на бесконечном интервала и удовлетворяет условию (1), 'то при 1 — + оо формула (6) примет вид +а / 1-а 111--,' ! ! !ссс .о — *со)а, сь о Стоящее справа выражение 'называется интегралом Фурье для функции 1(х). Равенство (?) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство +а, +а -' ') ~ ) Г(!)сова(( — х)с(с)с(хаа (+С)+~( О) ..
(7) Ь вЂ” а Преобразуем интеграл, стоящий в правой насти равенства (7), раскрывая сова (! — х): сова (! — х) = сов а1 совах+вша! в(пах. Подставляя зто выражение в формулу (7) и вынося совах и в!пах за знаки интегралов, где интегрирование совершается по перемен- ной 1, получим +а аа 11*С вЂ” '!(!1СС и) ~ со + а у .|- а -.— ' !(! 1СЬ*- а) ь, ОС О -а Каждый из интегралов по 1', стоящих в скобках, существует, так как функция с (!) абсолютно интегрируема в интервале (сю, + оо), а следовательно, абсолютно интегрируемы и функции ?(1)совас и ? !) в!па!.
ассмотрнм частные случаи формулы (8). 1. Пусть С(х) — четная„функция. В атом случае С(1)сова!— функция четная, а С'(!) в!па! — нечетная и мы получаем +а аа +а ~ )(1)совасй=2 ) '?Я сова!с(1, '~ ?(!) в!па!И=О. а о а ЬЫЗ) ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (12) Формула (8).в этом случае примет вид Аа /+а ~ы- —,' 1(1 но ~а) ° ж (о) О О 2. Пусть 1(х) — нечетйая функция.
Анализируя характер ин- тегралов в формуле (8) в этом случае, получим + а / '~ а по=-,' 1~1 и|а.. а)).а- .. (10) О О Если функция 1(х) определена только в интервале (О, +оо), то ее можно представить при х > 0 как формулой (9), так и фор- мулой (10). В нервом случае мы ее доопределяем в интервале ( — оо, 0) четным образом, а во втором — нечетным. Отметим еще раз, что в точках разрыва вместо выражения 1(х) в левых частях равенств (9) и (10) следует писать выражение 1 (х+ О)"+ 1 (х — о) 2 Вернемся к формуле (8). Интегралы, стоящие в скобках, являются функциями от а. Введем обозначтения А (а) = — ) )" (1) соз аг Ж, В (а) = — ) 1(Г) з1п а1 ой.
Тогда формулу (8) можно переписать так: ) (х)= ) 1А(а)созах+В(а) з!пах)оав. 111) о Говорят, что формула (11) дает разложение функции 1(х) на гар- моники с непрерывно меняющейся от 0 до оо частотой и. Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от ча- стоты а выражается через функции А(а) и В(а). Вернемся к формуле (9).
Положим +а р(а~= )/ — „~ )'(1)сози1 Ю, о тогда формула (9) примет вид 1(х)= )/ = ) Р(и) созихгйо. (13) о Функция Р(а) называется косинус-преобразованием Фуроа для функции )(х). (гл. хтп1 ряды оивьв Ф(а)= 1/ — ~ 1Язша(с(1, -/Г Г о ем 1(х)= у — ) Ф(а) з1палда. /2 ( е (и) (15) Функция Ф(а) называется синус-преобразованием Фурье. Пример, Пусть )(х)=е-з (р ) О, х»О). По формуле (12) определяем носинус-преобразование Фурьез 'Р(а)= ~ — ) е-Рсоа а1о1= ~ —— -/2  — и и па+аз' о По формуле (14) определяем синус-преобразование Фурье: ~ и /2 ( /2 а Ф(а)= У вЂ” ) е-йз1па1о1= У вЂ” У н и ))з+ав' о По формулам (13) и (15) находим взаимные соотношеииа: — ~ р — -йа=е-Зз 2() Г совами 3 йз+аз о +и 2 (' аззпах и,) ' () з+ аз " е (х» О), (х р О).
й 14. Интеграл Фурье в комплексной форме В интеграле Фурье (формула (7) 2 13) в скобках стоит четная функция от а, следовательно, она-определена и при отрицательных значениях а. На ос)зевании сказанного формулу (7) можно перепнсать так: +о у+м и)-~(((В1- З-*)е)в, ы В Если в, равенстве (12) считать Р(а) заданной,,а 1(1) искомой ,функцией, то оно является интегральным уравнением для функции )(1). Формула (13) дает решение этого уравнения. На основании формулы (10) можем написать следующие равенства: $143 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ,ФОРМЕ Рассмотрим, далее, следующее выражение, тождественно раииое нулю: Выражение, стоящее слева, тождественно равно нулю потому, что функция от а, стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах от — м до +Л1 равен нулю.
Очевидно, что М +а и 1 (11С1с Š— *1а)а-с, са-М а или + и /+а 1(1пиг-с — ии)а= . а с (2) ~ 4р (а) 4(а = ~ 1р (а) йх+ ~ 1р (а) Да = с М 1пп ~ ср(а) йх+ 1йп ) 4р(а) йх (в) М -++а М М -с+а при условии, что каждый из стоящих справа пределов существует (см. 2 7 гл. Х1 т.
1). Мы же в равенстве (2) написали так: ) 1р(а)йс= 1пп ~ 1р(а)йг. ('*) М с+сс М Очевидно, может случиться, что предел (*в) существует, а пределы, стоящие в правой части равенства (*), не существуют. Выражение, стоящее справа в равенстве (*в), называется глаенвсм значением интеграла. Итак, в равенстве (2) рассматривается главное значение несобственного (внешнего) интеграла.
В этом же смысле будут писаться и последующие интегралы этого параграфа. Умножим члены равенства (2) на — — и сложим с соответ- 2Д ствующими частями равенства (1), тогда получим: 12 Н. С. Пивиуисв. с. 2 3 а м е ч а н и е. Здесь необходимо указать на следукяцее обстоятельство. Сходящийся интеграл с бесконечными пределами определяется так: 1гл. к((п или +- г+- -~1~1(((.- -"(1 (» Правая часть в формуле (3) называется интегралом Фурье в тсвмплекснай форме для (рункиии 7'(к). Перепишем формулу (3) так: !(* = 1 ' 1 (( *--.1' ЮВ Ю или коротко + О\ 1(х) ) С((з) емхй(з ф (5) (7) С (а) = — ~ 1(1) е-(о! сУ.
(6) Формула (5) аналогична формуле (10) 2 12; а также называется волновым числом, но здесь оно принимает все значения от — оо до +оо, и спектр волновых чисел называется непрерывным спектром. Аналогию формулы (5) и формулы (10) $12 можно проводить и дальше. Если в формуле (10) $ 12 волновому числу а„соответствует комплексная амплитуда с„, то говорят, что в формуле (5) вепяовым числам, заключенным в интеграле ((зо аг+ Аа), соответствует комплексная амплитуда С((зг). Функцию С((г) называют спектральной плотностью илн спектральной (йункциеи.
(Здесь термин плотность употребляется в том же смысле, как,и в 2 8 гл. Х1У, где говорилось о плотности распределения по двумерной области.) Равенство (4) аереппсывают в виде в(вух,равенств: Рь(а) = — Г 1(г) е-пай( в'(к) = — (( Г',(вс)е("" йм. К'ь .') (5) Функция Р'(тс), определеннал формулой (7), -называетоя преобразованием.фурье для функции 1(к). Функция 1(к),(определенная формулой (8), называется обратным преобразованием Фурье для функции г'((з) '(преобразования отличаются знаком при 1). функция г"'(а) отличается от функции С(а) постоянным множителем 1 УБ 4 пи ряд отрьв по ортогондльноп систвмв фвнкцин Из преобразований (7) и (8) следуют преобразования (12), (14), (13) и (15) 2 13' (с точностью до постоянного множителя 112).
Преобразования (!2) и (14) получатся, если подставить в (7) е-""'=сова( — 1з!па1, ге(а)=г (а) — [Ф(а) и 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций Определение 1. Бесконечная система функций фг(х), фз(х), ..., ф„(х), ... (1) называется ортогокальной на отрезке (а, Ь), если при любых п~й выполняется равенство ь ~ ф„(х) фь(х)с[Х=О. О (2) При этом предполагается, что ь ( [ф„(х))з с[х -ь О. О П р имер 1.
Система функций 1, сов х, в1пх, сов 2х, в1п 2х, ..., соз лх, в[пил, ,(3) ортогональна на отрезке ! — л, п). Это следует из равенств (1) 'и (П) 4 1, Пр имер 2. Система функций и ' л л и плх ллх 1 сов — х, в1п — х, сов 2 — х, взп 2 — х„... сов - взп — ... (3') ю 1 1 1 1 ° ° ортогональна иа отрезке [ — 1, 11, в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Пр имер 3.
Система функции 1, сов х, соз 2х, сов Зх...,~ соз пх~ О ° (4) ортогональна на отрезке [О, л!. Пример 4. Система функций В[П Х, Взо 2Х, ...у ВЙЗ Лх, ° ° ° ' '(б) ортогональна на отрезке [О, л). 'Ниже будут указаны другие системы ортогоналвиих'фунйций. Пусть функция )'(х), определенная на отрезке [а, 51, такова, что она представляется рядом по функциям ортогональной 12О и приравнять действительные и мнимые части.
Аналогичным образом получаются преобразования (!3) и (15) из преобразования (8). Отметим, что преобразованиями, аналогичными преобразованиям Фурье, мы будем пользоваться в гл. Х1Х ООперацнонное исчисление и некоторые его приложенияз. «гл. х«««« гиды еэ ьп системы (1), который сходится к данной функции на [а, Ь1: Ф ~ (х) = Х с„ф„(х). (6) откуда $1(х) фь(ФХ с=' ь ь ) фь(х) «(х Я Коэффициенты с„, вычисленные по формулам (7), называются коэффициентами Фурье функции )(х) по системе ортогональных функций (1). Ряд (6) называется рядом Фурье по системе функций (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
