34_PiskunovT2 (523113), страница 60
Текст из файла (страница 60)
хин! В $6 доказывается, что уравнение (6),имеет елннспвеннва решение в области 0<х<1, 0<1<Т, удовлетворяющее услввиям (7) — (9). й Б. Распространение тепла в пространстве Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном првстранстве. Пусть и (к, у, г, 1) †температу в точке с координатамн (и; у„г) в момент 1. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку ЛЯ, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, оцределяется формулой (акалогичной формуле (1) предыдущего параграфа) д (1) где й — коэффициент теплоцроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, а — единичный вектор, направленный по нормали к площадке ЛЯ в нацравлении движения тепла.
На основании $ 14 гл. У1П т. 1можем написать ди ди ди ди ди дх — = — оэз а+ — соз(1+ — свз у, ду ди где сова, соз(1, севу — направлякнцие косинусы вектора н, нли ди — = и огай и. ди Подставляя выражение,— „в формулу (1), получаем ди пй = — йвчай и ЬЗ. 1гелнчеетвв текла, протекающего за время И через плвщадку (йи, будет равно Щ й1 = — Иа ягай и М ЬЗ. Вернемся к .поставленной в начале параграфа задаче.
В рассматриваемой среде выделим малый объем 3~. ограниченный пввцрхиостъю Я. %оличество тепла, протекающего через поверхность 3, будет равно (1 = — М ~) йпнгаби<й, (2) где .и —.единичный лектор, направленный цо внешней нормали к поверхности 3. Очевидно, что формула (2) дает количество телла, поступающего в объем Р (нли уходящего нз пбьема йд аа время Ы. Количество тепла, поступившего в абъем У, идет ма певышеиме температкры вещества этого обьема. 5 Б) РАснэостэхнвние теплА В пяестэаиетвв Зтб .
Рассмовриьг элементарный объем Ьо. Пусть за время М его температура поднялась на Ли. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента Ло, будет равно сй ор йи сЛ ор — ", М, ди где с — теплоемкость вещества, р — плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме У за время Ы, будет д(Ясрди Ь Но это есть тепло, поступившее в объем У за время И; оно определено формулой (2). Таким образом, имеет место равенство — И Д йи дгаб и Ю = М Я ср —, сЬ. Сокращай на Лг, получаем — ) ) Йп цгаб и сб = ~~ ~ ср — г(о. (3) Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (см.
у 8 гл. ХУ), полагая Г= Вагаб и: ) ~ (йдгаби) пгЮ= ) ~) б(т(ййтаои)оо. Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (3), тройным интегралом, получим — ') ') ') б1т (й ягаб и) Ыо = Я ср —" (Ь, или (4.) ') ') ) ~б!ч(ййгаби)+ср д ~ сЬ=О. Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящему слева (см. $12 гл. Х1Ч), получим ~ б1ч (й игаб и)+ ср — 1 = О, (5) где Р(х;, у,; г,).— некоторая точка объема У.
Так как мы можем выделить произвольный объем У в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так. как мы предполагаем; что подынтегральная функция в равенсзве РРАвнения мАтемАтичесКОИ Физики ГГЛ. ХЧШ 376 (6) Но йягаби=й — 1+й — 7+й — й ди ди ди дл ду дг б!т(нйгапи) д (й д ) + (и ) + (й ) (см. й 8 гл. Х'т"). Подставляя в уравнение (6), получаем Если й — постоянная, то сИЧ (й ягай и) = й бл (агаб и) = й( —, + —, л- —,), /Ри Ри диит и уравнение (6) в этом случае дает ди Г д'и дви д~и т — ср — =й ( — + — + — ) дГ ( див ду~ дгв ) А или положив — — = а', 1 св Коротко уравнение (8) записывается так: — =а Ьи ди дГ (8) У дв дв где м= — „, + —,, + —,, — оператор Лапласа.
Уравнение (8) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти его единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия. Пусть имеем тело Аг, поверхность которого а. В этом теле рассматривается процесс распространения тепла.
В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при г = 0 †начальн условие: и (х, у, г, О) = ~р(х, у, г). (0) Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности а тела в любой момент времени ( †граничн условие; и (М, Г) = ф(М, г). (10) (Возможны и другие граничные условия.) (4) непрерывна, то равенство (5) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак, ср — = — Йт (й ягаб и).
ди РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ зтт Если искомая функция и(х, у, г, Ф) не зависит от г, что соответствует тому, что температура не зависит от г, то получаем уравнение (11) ди, д'и — =а' — „ д> дх> — уравнение распространения тепла в стержне. $ 6. решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, при решении уравнений с частными производными методом конечных разностей производные заменяются соответствующими разностями (рнс.
392): д й ди (х, 0 и (х + й, () — и (х, 0 (1) д>и(х, >) ! Г и(х+й, >) — и(х, >) и(х, >) — и(х — й, >) 1 д»* й (, й й ) ° или д>и (х, 0 и(х+й, 0 — 2и(х, >)+и(х — й, >) дх* Л> > (2) аналогично ди (х, >) и (х, (+ 0 — и (х, >) д> ( Первая краевая задача для уравнения теплопроводности формулируется (см. $ 4) следующим образом. Требуется найти решение уравнения ди д'и а> д> дх> ' (4) удовлетворяющее краевым условиям и(х, 0)=>р(х), 0(х: Ь, и(0, 1)=ф,((), 0(1(Т, и (1, 1) = ф> (1), 0 (1 ( Т> (5) (6) (у) — уравнение распространения тепла на плоскости.
Если рассматривается распространение тепла в плоской области 1л с границей С, то краевые условия, аналогично (9) и (10), формулируются так: и(х, у, 0)=>р(х, у), и(М, ()=>р(М, 1), где >р и ф — заданные функции, М вЂ” точка границы С. Если же функция и не зависит ни от г, ни от у, то получаем уравнение уРАВ»»ания м«таматической- Физик»4 »гл. Хшп 378 т. е.
требуется найти решение и(х, 1) в прямоугольнике, ограниченном прямыми 1 = О,х= О, х=1., 1 = Т, если заданы значения искомой функции на трех его сторонах 1 = О, х= О, х= Ь (рис. 393). Покроем нашу область сеткой, образованной прямыми х=й, »=1, 2, ..., "1 и, будем определять приближенные значения решения в узлах сетки, т. е. в точках пересечения этих прямых.
Введем обозначения: и,(й, й1) = и; «. Напишем вместо уравнения (4)' соответствующее ему уравнение в конечных разностях. для точки (1Ь; й1). Рис. 392. Рис. 392 В соответствии с формулами (3) и (2) получим иь «+» — аи «и»+», « — 2«ь «+а;-», « з (6) Из формулы (9) следует, что если известны три значения в й-м ряду: и, «, и»+» «, и», „, то определяется значение и, „+» в (й+1)-м ряду.
Нам известны все значения на прямой 1=0 (см. формулу (5)). По формуле (9) мы определим значения во всех внутренних точках отрезка, 1 = 1. Значевия в крайних точках этого отрезка нам известны в силу формул (6) и (7). Так ряд за рядом мы определим значения искомого решения во всех узлах сетки. Можно доказать, что по формуле (9) можно получить приближенное значение решения не при произвольном соотношении шагов й и 1, а только в том случае, если 1(1»«12а«. Формула (9) особенно упрощается, если шаг 1 по оси 1 выбрать так, чтобы было 2«Ч й« 1 — — =0 или 1= —.
2«« Определим и;., «+». 2«Ч т и», «+»= (1 — —,~ и» «+ૠ—,(и»+»,„+и»» «). (9) 9 е1 ийспгостевювиие тепла в иеэггАиичвииеаа стержне зтз В этом случае уравнение (9) атрииимает нид 1 "' а+ = 9 ("+', а+"'-' а) (10) Эта формула особенно удобна для вычислений (рис. 394). Указанным методом определяется решение в узлах санни. Значение 1решеиия между узлами сетки можно получить, например, зкстраполированием, проводя плоскость через каждые три точки в пространстве (х, 1, ц). Обозначим полученное по формуле (10) и экстраполированное таким образом решение через и„(х, 1).
Можно доказать, что ф-д~~ ~иЯ 11ш и„(х, 1) = и (х, 1), а о Рва. 394. где и(х, 1) — решение нашей задачи. Можно доказать е) также, ( иа (х, Г) — е (х,,у) ( < Л4йэ, где М вЂ” постоявеви, ае зависящая.от Ь, ~ 7. расарвстранение таила и шевиэаничеиием ечеринее Пусть в начальный момент задана темиерату4та в различнык сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне и последующие моменты времени. (К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводится физические задачи и евм случае, магда севрешнь сталь длнвный, что температура во внутренних чочкак -стержни .в йгассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.) Если стержень совпадает с осею 4)х, то математически задача формулируется следующим образом.
Найти решение уравнения — =о~в ди вел ет две (1Ф в области — ое <. х <+во, 1> О, рдввлегдаряюейее иаиальнимйг условию и (х, О) = ~р(х). Ф Применим дле махеждении решшше метод йаавдЕЛВння иеремсниых (см. 9 3), т.е. будем искать частнве решение уравнения (1) в виде произведения двух функций: и (х, г) = Х (х) Т (т). '(3) *) Более подробное нэлоыенне этого вопроса см., например, в книгах: П ал о в Д. 99.
а.нревввннн .по чнслеаному решевнш,пвфференпнапамых .уравненнй в еаотшн еямшэавпмыл.— Ж.: лмоихналат, '1991; ~Комм ашп е1. '%исленные методы решении дифференциальных уравненнй.-М.: ИЛ, 4959. уРАВнвния мАтемАтичвской Физики !Гл. лчпг Подставляя в уравнение (1), будем иметь Х (х) Т' (г) = ааХ' (х) Т (!), или Т Х вЂ” = — = — Ла аэТ Х (4) Подставляя в (3), получаем пк (х, 1) = е ' А '[А (Х) сов Хх+ В (Л) в!и Хх| (7) (постоянная С включена в А(Х) и В(Х)). Для каждого значения Х мы получаем решение вида (7). Произвольные постоянные А и В для каждого значения Х имеют определенные значения. Поэтому можно считать А и В функциями от Л.
В силу линейности уравнения (1) решением является также сумма решений вида (7): ~~~~ а ' ~~(А (Х) сов Хх+ В (Л) в!и Хх|. Интегрируя выражение (7) по параметру Х в пределах от 0 до -1- оо, также получим решение и(х, Г)= $ е-"ьч(А(Х)совХх+В(Х)в!пЛх)ИЛ, (8) а если А(Х) и В(Х) таковы, что этот интеграл, его производная по г' и вторая производная по х существуют и получаются путем дифференцирования интеграла по Г и х. Подберем А (Л) и В (Х) так, чтобы решение п(х, Г) удовлетворяло условию (2).
Полагая в равенстве (8) г = О, на основании условия (2) получаем + О и(х, 0)=ер(х)= ~ (А(Л)совХх+В(Л)в!пЛк)Ю. е Предположим, что функция ш(х) такова, что она представима ') Так как по смыслу задачи Т(!) должно быть еграиичеиным при любом О если ~р(х) ограничена, то Т7Т должно быть страдательным. Поэтому мы и пишем — )Р. Каждое из этих отношений не может зависеть ни от х, ни от г, и потому ид приравниваем постоянной *) — Х'. Из (4) получаем два уравнения Т'+ ааЛ'Т = О, (5) Х" + ЛаХ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
