34_PiskunovT2 (523113), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(б) Решая их, найдем Т = Се ', Х = А сов Хх+ В в! и Хх. от1 глснгостихнннив тепла в неоггоничвнном стегжнв интегралом Фурье (см. 5 13 гл. ХЧП): '~" И ~ Ф о~= —,' 1 (1 ~ь~- мь-ою )а, о '-ю или Ч(х) = (10) Сравнивая правые части (9) и (10), получаем А (Л)= — „~ 1р(а) созЛаоа, +Ф В (Л) = — ) ~р(а) з)п Лана. Подставляя найденные выражения А(Л) и В(Л) в формулу (8), получим +в г~ +ю .ь.
о- — „' 1 -" '((1т( ~ ° ~ н ) ° ~*~ о Ю +(1 ь). ьа.) ы.~ — ~ 1е~,)~ .~ .~ ~- ы~,ю ~о,о~и~= о Л-а +ю +а 1 г = —,1 -"'(1е( ~ ь-ош) о 4Ю или, переставляя порядок интегрирования, окончательно получим +Ф + .~., о- — ' Г ~мь)(1 '-.ц -*~а))а. оо Это и есть решение поставленной задачи. Преобразуем формулу (12). Вычислим интеграл, стоящий в круглых скобках: +Ф +Ю е мхи созЛ(а — х)НЛ== ~ е-мсозргг(а. (13) 1 а~7 РРАвнвиия мАтемАтическОЙ егизикн' 1гл. хчп1 Это преобразование интеграла сделано путем ппдетаиовок а)г)/Г =г ! )/— (14) Обозначим К (Р) = ) е -м соз рг г(г.
о (15) Дифференцируя '), получаем + ф К'(р)= — ~ е-г'гз1пргс(г. о Интегрируя по частям, найдем К (Р)= 2 [Е *'з1прг)е+ — 2 ) Е 'созргпг, 1 о или 2 ®' Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим Вг К(6) =Се (16) Определим постоянную С. Из (15) следует К(0)= ~ и-*'41 = — -г* о (см. $ 5 гл. Х111)г Следовательно, в равенстве (16) должно быть С= —. )Г 2 Итак, Зг Кф) г "е 4 (17) Значение (17) интеграла (15) подставляем в (13): + гг 1 -*' Зг е-™ соз )1 (се — х) гй = = — в '1 Возможность дифференцирования легко обосновывается. Подставляя вместо 6 его выражение (14), окончательно получаем значение интеграла (13): г — (а-а) е-""' созЛ (а — х) НЛ = — ~/ — "г 2а (18) Подставив вто выражение интеграла в решение (12), окончательно получим: +Ю (а-а)' и(х, 1)== ( «р(а)е аа*«й«. (19) 2а У а( ,) Э Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение -поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.
3 а ив ч а н и е. Можно доказать, что функция и (х, 1), определенная интегралом (19), является решением уравнения (1) и удовлетворяет условию (2), если функция «р(х) ограничена на бесконечном интервале ( — оа, +аа). Установим физический смысл формулы (19). Рассмотрим функцию 0 при — оо < х< х„ «ра (х) = «р(х) при х,.
х< х,+(Лх, О при х,+Ах< х<+ао. (20) Тогда функция +г (а-аг и*(х, «)== ~ «р*(п)г '"' «(а) 2а $ГЫ (21) есть рещение уравнения (1), принимаякцее прн 8=О значение «р*(х). Принимая во внимание (20), можем написать «,«.аа (а-х)' и* (х «) = — '4' «р (и) е «а'-«(йа, 1 Применив теорему о среднем к последнему интегралу, получим (2) ) ($-х)' и'(к, 4)= ~~ г аач, х <Я <«а +Ли, (22) 2а )Г Б Формула (22) дает значение температуры в точке стержня в любой момент времени, если при 1=0 всюду в стержне температура и*=О, кроме отрезка ~х„х,+)«)х1, где она равна )р(х). Сумма температур вида (22) и дает решение (19). Заметим, что если р— линейная плотность стержня, с — теплоемкость материала, то количт)стао тепла в злементе 1х„х, + Ьх1 при 1= 0 будет й~ м (р(в) Ь'х1)с.
(23) з т) аасщ остгамвмив таила в наогваа«нянином стагжнв Звз РРАвнения мАтемАтической Физики 1гл. лгпи рассмотрим далее функцию ($-ки 2и )гиг (24) Сравнивая ее с правой частью формулы (22) с учетом (23), говорят, что она дает значение температуры в любой точке стержня в любой момент времени (, если при г=О в сечении 5 (пре. дельный случай при ах 0) был мгновенный источник тепла с количеством тепла 1Е = ср.
$8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач В этом параграфе будут рассмотрены некоторые задачи, приводящие к решению уравнения Лапласа д~и д~и Уи — + — + — =О. дАА де~ дк~ Как уже указывалось, левая часть уравнения (1) обозначается так: д~и д'и Ри — + — + — =пи дк~ де' дк~ где Л называется операпюром Лапласа. Функции и; удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.
1. Стационарное (установившееся) распределение температуры в однородном теле. Пусть имеется однородное тело ьг, ограниченное поверхностью о. В й 5 было показано, что температура в различных точках тела удовлетворяет уравнению: Если процесс установившийся, т. е. если температура не зависит от времени, а зависит только от координат точек тела, то д — — 0 ди н, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа д~и д2и д~и (1) Чтобы температура в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности а. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом. Найти функцию и(х, у, г), удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема ь1 и принимающую в каждой точке М поверхно- ' з а1 ЗЛДЛЧИ, ПГИВОДЯЩИа К ИССЛВДОВЛНИЮ ГВШВНИП хая сти и заданные значения: и1,=ф(М).
(2) Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1). Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорциодч пален — (см. 3 5), то на поверхности и вместо краевого условия (2) будем иметь условие (3) Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей. Если рассматривается распределение температур в плоской области Р, ограниченной контуром С, то функция и будет зависеть от двух переменных х и у и удовлетворять уравнению д~ч деи (4) которое называется уравнением Лапласа на плоскости. Краевые условия (2) или (3) должны выполняться на контуре С. 11.
Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности. Пусть внутри объема 9, ограниченного поверхностью о (в частности, Я может быть н неограниченным), происходит течение жидкости. Пусть р — плотность жидкости. Скорость жидкости обозначим тг=о„1+ее,/+о,й, (б) где и„, и„, и,— проекции вектора и на оси координат. Выделим в теле 11 малый объем в, ограниченный поверхностью 5. Через каждый элемент аз поверхности 3 за время Ы пройдет количество жидкости Ь 1~ = рна ЛЯ аг', где и — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности 3. Общее количество жидкости Д, поступившее в объем со (или вытекшее из объема в), выразится интегралом (б) (см. Я 5 и б гл.
Х"ч). Количество жидкости в объеме в в момент 1 было 13 н. с. пискунов, т. 3 УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1гл. хчгн За время И количество жидкости в силу изменения плотности изменится на величину (7) Предполагая, что в объеме н нет источников, заключаем, что зто изменение вызвано притоком жидкости, количество которой определено равенством (6). Приравнивая правые части равенств (б) и (7) и сокращая на б1, получим Ц~ два д~ (8) Преобразуем поверхностный интеграл, стоящий слева, по формуле Остроградского (9 8 гл.
ХЧ). Тогда равенство (8) примет вид ,) дд (Р ) дед д1 или Ц( др — 81ч (ро))дтв = 0. В силу произвольности объема в и непрерывности подынтегральной функции получаем — Р— д!ч (ро) = О, (9) или — — д — (ро„) — д (ро„) — д (ра,)=0. (9') или (10) Это и есть уравнение неразрывности течения сжимаемой жидкости. Замечание.
В некоторых задачах, например при рассмо- трении процесса движения нефти или газа в подземной пористой среде к скважине, можно принять о= — -пгад р, А Р где р †давлен, й †коэффицие проницаемости, и — жЛ— др 1дг д~ ' Л=сопз1. Подставляя в уравнение неразрывности (9), получим Л,~ + б (ч (й угад р) = О, $81 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ РЕШЕНИЙ за Если я †постоянн, то это уравнение принимает вид др А l д»р д»р д»р т — = — — ~ — + — + — ) дГ Х ~ дх» ду» дх»,)' (11) и мы приходим к уравнению теплопроводности.
Вернемся к уравнению (9). Если жидкость несжимаемая, то р=сопз1, — =О и уравнение (9) принимает вид б!Чт8=0. (12) Если движение потенциальное, т. е. вектор е есть градиент некоторой функции 88: е=дгаб<р, то уравнение (12) принимает вид б! ч (яга81 <р) = О, или (14) 13» (13) т. е. потенциальная функция скорости ~р должна удовлетворять уравнению Лапласа. Во многих задачах, как, например, в задачах фильтрации, можно принять е= — й,егаб р, где р †давлен, й, †постоянн; тогда получаем уравнение Лапласа для определейия давления д»р д»р д»р (13') Краевые условия для уравнения (13) или (13') могут быть следуюшими: 1. На поверхности а задаются значения искомой функции р— давления (условне (2)).
Это задача Дирихле. 2. На поверхности а задаются значения нормальной производной — — задается поток через поверхность (условие (3)). Это за. др дх дача Неймана. 3. На части поверхности а задаются значения искомой функции р — давления, а на части поверхности задаются значения нормальной производной — — потока через поверхность. Это задр ди дача Дирихле — Неймана. Если движение плоско-параллельное, т.
е. функция 8р (или р) не зависит от г, то получается уравнение Лапласа в двумерной области Р с границей С: — + — =О. Р<р д»~р дх» ду» уРАВнения мАтемАтическои Физики [Гл. хюп Краевые упловия типа (2) — задача Дирихле,— или типа (3) — задача Неймана, — задаются на контуре С. 111. Потенциал стационарного электрического то к з.
Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем 0', проходит электрнческий ток, плотность которого в каждой точке дается вектором .Г(х, д, г) = l„(+У„~+У,й. Предположим, что плотность тока не зависит от времени 1. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока. Следовательно, поток вектора Р через любую замкнутую поверхность 8, лежащую внутри обьема )к, будет равен нулю: ) ~.гас(э=О, где а — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
