34_PiskunovT2 (523113), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2г.сюдр р.+ ей. (14) ч) В процессе вывода мы определяем сумму бесконечной геометрической прогрессии, анаменатель которой есть комплексное число, модуль которого меныпе единицы. Эта формула суммы гео;(етрической прогрессии выводится так же, как и в случае действительнык чисел При атом следует учесть определение предела комплексной функции действительною аргумента. Здесь аргументом явлин(ся и (см. 4 4 гл. ЧП т. 1). УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1гл.
хшп й 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Пусть в плоскости Оху дана область Р, ограниченная контуром С. Пусть на контуре С задана непрерывная функция г. Требуется найти приближенное решение у уравнения Лапласа д»и д~и — + — =О д»2 де» 1 удовлетворяющее граничному усло- вию и~ =г. (2) Проведем два семейства прямых х=(Ь и у=ЬЬ, (3) Рис. 395. где Ь вЂ заданн число, 1 и Ь принимают последовательные целочисленные значения. Будем говорить, что область Р покрыта сеткой.
Точки пересечения прямых будем называть узлами сетки. Приближенное значение искомой функции в точке х=(Ь, у=ЬЬ будем обозначать и,, т. е. и(1Ь, ЬЬ)=и; ». Аппроксимируем область Р сетчатой областью Р', состоящей из всех квадратов, целиком лежащих в области Р, и некоторых пересекаемых границей С (последние можно и не учитывать). При этом контур С аппрокснмнруется контуром С', состоящим нз отрезков прямых типа (3). В каждом узле, лежащем на контуре С', зададим значение г', равное значению функции г в ближайшей точке контура С (рис. 395). Значения искомой функции будем рассматривать только в узлах сетки. Как уже было сказано в 9 б, в рассматриваемом приближенном методе производные заменяются конечными разностями: ю„т» — 2»~ »+гн =м, „=»»»» гн»+т — 2»; »+ик» Т»,в»» ЛА д»и дв» Дифференциальное уравнение (1) заменяется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях (после сокращения Формула (14) называется интегралом Пуассона. Путем анализа этой формулы доказывается, что если функция Г(~р) непрерывная, то функция и(г, ф), определенная интегралом (14), удовлетворяет уравнению (Г) и при г- )т будет и(г, ~р) — )(~р), т.
е. и(г, <р) является решением поставленной задачи Дирихле для круга. метОд кОнечных РАзнОстей на Ь')1 и1+е„— 2ие А+и;;,А+и; А+1 — 2ин„+и;,А 1=0, или (рис. 396) 1 "' А= 4 (" '+" -+" — ° +"-) (4) Для каждого узла сетки, лежащего внутри области Р' (и не лежащего на границе С'), составляем уравнение (4). Если точка (х=!й, у=Ей) соседняя с точкой контура С', то в правой части равенства (4) некоторые слагаемые суть известные значения )*. У (б А+1) Таким образом, получаем неоднородную систему И уравнений с Ф неизвестными (У— число узлов сетки, лежащих (1-1 А (1) внутри области Р*). Докажем, что система (4) (1,Н имеет решение, и притом единственное. Это есть система У линейных уравнений с Ж неизвестными. Она имеет единственное решение в том случае, если определитель системы отличен от нуля.
Определитель системы отличен от нуля, если однородная система имеет только тривиальное (нулевое) решение. Система будет однородной, если г*= 0 в узлахсеткина границе контура С*. Мы докажем, что в этом случае все значения и1 А во всех внутренних узлах сетки равны нулю. Пусть внутри области есть и1 А, отличные от нуля. Для определенности предположим, что наибольшее из них положительно. Обозначим его через и1 е > О. На основании формулы (4) напишем ! "Е А = 4 (П1Н, Ь+ ПН А+1+ П1-1, А+ И1, А-1) (4') Это равенство может иметь место только в том случае, если все значения и, стоящие справа, равны наибольшему п1 А. Теперь имеем пять точек, в которых значения искомой функции суть и;, А.
Если ии одна из этих точек не есть граничная, то, беря одну из них и написав для нее равенство (4), докажем, что в нескольких других точках значение искомой функции будет равно п1 А. Продолжая так, дойдем до границы и докажем, что в граничной точке значение функции будет равно и1 А. Это противоречит тому, что в граничных точках )* = О. Предполагая, что внутри области имеется отрицательное наименьшее значение, мы докажем, что на границе значение функции отрицательно. Это противоречит данному условию.
1гл. хчи1 УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Итак, система (4) имеет решение, и притом единственное. Определенные из системы (4) значени я и, а н являются приближенными значениями решения сформули ров анной выше задачи Дири хле. Доказано, что если решение задачи Дирихле для данной области В и данной функции ! существует (обозначим его через и(х, у)) и если иг в есть решение системы (4), то имеет место соотношение ~ и (х, р) — и, ь ) < А Ье, где А — постоянная, не зависящая от й. Замечание.
Бывает оправдан, хотя строго и не доказан, следующий прием для оценки погрешности приближенного реше- ния. Пусть и","ь — приближенное решение при шаге 2Ь, и,"ва— приближенное решение при шаге Ь, Е„(х, у) — погрешность реше- ния и,'"'„. Тогда имеет место приближенное равенство 1 Еь (х, у) ж — (и .ю, и и'ь) в общих узлах сеток. Итак, для того чтобы определить погрешность приближенного решения при шаге Ь, нужно найти решение прп шаге 2)г.
Одна треть разности этих приближенных решений и является оценкой погрешности решения при шаге й. Это замечание можно отнести и к решению уравнения теплопроводности методом конечных разностей. Упражнения к главе ХЧ)И 1. Вывести уравнение кручильных колебаний однородного цилиндрического стержня. Указание.
Закручнваюшнй могеент в сечении стержня с абсциссой х 00 определяется формулой Л!=.6! —, где 0(х, !) — угол закручивания сечения дх ' с абсциссой х в момент 1, 6 — ьюдуль сдвига, ! — полярный момент инерции поперечного сечения стержня. оев, о'0 6! 6тв.
— =а' —., где ае= —, А — момент инерции единицы длины д!е охе ' А стержня. о0 ,д0 2. Найти решение ураввенпя —.. =ае —... удовлетворя!ощее условиям ды дха ' 0(0, !)=О, 0(1, 1)=-0, 0(х, 0)=гр(х), . )=О, где до(х, 0) о! 20,х !р (х) = — ври 0 ~ х ~ —, 2' 20,х ! !р(х)= — — е+20в при — чсх~!. 2 Дать механическую интерпретацию задачи. Ю 80е Ч,ч ( — 1) (2й+ 1) ях (2й+1) па1 6)лв х !)=- — *Х ~(2А»)ае!и ! соа А=О УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВВ ХЧП1 397 В.
Бывестн уравненге продольных колебаний однородного цилиндрического стержня. У ка за иве. Если и (х, 1) — перемещение сечения стерн!ни с абсцнссой х в момент 1, то растягнвающее нзприженне Т в сечснии х определяется форда мулой Т=ЕЬ вЂ”, где Š— модуль упругости материала, Б — площадь попедх ' речного сечения стержня. даи даи Е Ота. — =аа —, где аз= —, р — плотность материала стержня. дО дха' р ' 4. Однородный стержень длины 21 под денствнем сил, приложенных к его концам, укоротился на величину 2Л.
Прн 1=0 он освобожден от действующих вне нчх сил. Определить смещение и(х, 1) сечения стержня с абсциссой х в момент 1 (средняя точка оси стержня и»еет абсцнссу х=О). [ВЛ С~ ( — 1)а+а (2й+1) пх (2й+!) па1 Оим. и(х, 1)= —, ~ы (21+1), з!п а=о 5. Один конец стержня длины 1 закреплен, а иа другой действует растягивающая сила Р. Найти продольные колебания стержня, если при 1=0 сила Р не действует.
ВР1 сч ( — 1)" (2л+1) ях (2л+!) чаг Ота. а ~.,аш соь — (смысл Е и 5 см. ЕВпа а.а(2л+1)а и=о в задаче 3>. дзи деи 6. Найти решенье уравнения — =аа —, удовлетворяюнше условиям дО дН' и(0, 1>=0, а(1, 1) =Аз!пы1, и(х, 0) =О, ' =О. ди (», 0> д1 Дать механическое истолкование задачи. Аз1п — хз!пы1 Ю и 2Аыа к.ч ( — 1)"-' па а! ппх Отв. и(х, 1)= + — ~ шп — а>п — .
ы 1 Л., 1 . 1т 1 1 б!п — 1 л=! ы — ~ — ( 'Л 1У' указание решение искать в виде суммы двух рег.ений; ы А з!и — хз1п ы1 а и=и+ш, где ш= ы в>п — 1 а — решение, удовлетворшощее условиям: и(0, !)=О, и(1, О=О, и(х, 0) = — ш(х, 0), ш(х, 0) дн(т, 0) д1 дг ( Предполагается, что а1п — 1 Ф 0.) а ди, деа 7. Найти решение уравнения — =а' —, удовлетворяющее условянм: д1 дха ' а(0, 1)=0, и(1, 1)=0, 1>0, х при 0 хч 1/2, >( 1 — х при 112 <х(1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ !гл хши ° а (зл+ з)з л'аы 41 Кл ( — 1)л — и (2л + 1) Ях Отв. и(х, 1)лл — з ~' в з1п л=о У к а з а н и е. Решить задачу методом разделения переменных.
ди дзи В. Найти решение уравнения — =и' —, удовлетворяющее условиям д( дхз ' и (О, 1) = и (1, 1) =О, и (х, 0) = (зла 1)з л'аы (2л+ !) зсз за з!п 8 т. ° 1 Отв. и(х, 1)= — д Ф ~и(2 +1 =о ди з дзи 9. Найти решение уравненая — =из —, удовлетворяющее условиям: д( дхз ' ди д ! =О, и(1 О=из и(х, 0)=т'(х). Указать физический смысл задачи. — азх,"( (2л + 1)л Отв. и(х, 1)=из-(- )' Алв " сов' + ' х, где 21 л=о Ал = — Г Ф (х) соз дх — ( л= 1 21 п(2л+1) ' У к а з а н и е.
Искать решение в форме и=из+о(х, 1). ди дзи 1О. Найти решение уравнения — =-и' —, удовлетворнющее условиям: д1 дхз ' ди ~ и(0, 1)=0, — = — Ни)х (, и(х, 0)=(р(х). »-1 Указать физический смысл задачи. и,',а*( Р Рл» зн) —, где Ал = Отв. и(х, 1)= ~' А Р +!зл Р(Р+!)+Ил и(х, 0)=х ~ — — х), и(0, 1)=0, и(1, 1)= —, 0»~1~41. Э 1 2 (' рлх д Ф(х)зн) дх Р=Н( р( рз, ° ., Рл — положительные корни ураза ненни !Е р= — р/р. Указа н ие. На конце стержня при х=1 происходит теплообмеи с окружающей средой, температура которой равна нулю. 1!. Найти (по формуле (10) й 6, полагая А=0,2) приближенное решение ди дзи уравнения — = 2 —, удовлетворяющее условиям д1 д'' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХЧП! дзи деи 12.
Найти решение уравнении Лапласа — + — =0 в полосе 0 ~х~а, дхз ду' О~у <+сю, удовлетворяющее условиям и (О, у) =О, и (а, у) = О, и (х, 0) = А ( 1 — ~! ! и (х, + со) =О. а1' »»я 2А чт ! „У лпх Отв. и(х, !)= — т — е з!п —. и л а »=! У к а з а н и е. Искать решение методом разделения переменных. дзи дзи 13. Найти решение уравнения Лапласа — + — =0 в прямоугольнике дхз дуа Оч х~а, 0»-у~б, удовлетворяющее условиям и (х, 0) = О, и (х, Ь) = О, и (О, у) = Ау (б — у), и (а, у) = О. (2л+ !) и (а — х) (2и+1) пу ВАбз " '" Ь 3!п Ь пз Хи (2а+1)з (2л+1)па ' а=о зп д'и д'и 14. Найти решение уравнения — + — =0 внутри кольца, ограничен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
