34_PiskunovT2 (523113), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Найти начальную функцню, изображение которой задается формулой р+3 рз+2р+!О ' ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 5 7. Дифференцирование изображения 407 Теорема. Если Е(р)-- '1(1), псо ( — 1)" — „',". Е(р) -:1 У (1). (21) Доказательство. Докажем сначала, что если Г(1) удовлетворяет условию (1), то интеграл + Ф ) е Р' ( — 1)" ~ (1) сУ о существует.
По условию 11'(1) ~ ( Ме", р = а+ (Ь, а ) е;, при этом а > О, е, > О. Очевидно, что найдется такое е > О, что будет выполняться неравенство а > е,+е. Так же, как и в З 1, доказывается, что существует интеграл Итак, из формулы Р(р)= ) е Р11(1) с(1 о *) Мы ранее установяли формулу дифференцированяя определенного интеграла по действительному параметру (см.
$ 1О гл. Х1 т. 1). Здесь параметр р †комплексн число, но формула дифференцирования остается справедливой. Е с -ес СД(1) СаСс о Оценим, далее, интеграл (22): ее + ОО ~Е РС (чС (1) ~ССС= ) ~Е СР-е\ СЕ-еггаС (С) ~ССС о о Так как функция е асса ограничена и по абсолютной величине меньше некоторого числа У при любом значении С ) О, то можно написать + ь "ь Ф +ф ) Се-Рс(ьг(1))с(1(д1 ~ ~е-<Р-ес С~(1) !С(1 )Ч ) е-м-есс ~~(1) ),(1 с +оо о о о Таким образом, доказано, что интеграл (22) существует. Но этот интеграл можно рассматривать как производную п-го порядка по параметру*) р от интеграла +Ф ~ е-Рс1 (С) (1.
о !гл. кйх операционное исчисление получаем формулу +Ф +ф ( -ч — е пеа=~ ~.-"лаа. о Из этих двух неравенств получаем ( — 1)" а Р (р) = ) е р'!а) (!), о Из этой формулы на основании формулы (21) получаем с! (1') 1 рй Аналогично (й 2 ,й При любом и получаем и! — -' (а рч+й (23) а Пример 1. Иа формулы (см. (!2)) — = ) е-йн внй а! а! путем лпф. рй+ай о ференцирования левой и правой частей по параметру р получаем 2ра --з.! и!и а!. (24! Пр имер 2. Иа формулы (13) на основании формулы (2Ц получаем ай рй — — ~.
! сов ай (рй+ай)" (25! Пример 3. Иа формулы (15) на основании формулы (21) получаем — !а (р+сй)* ' (26) т. е. формулу (21). Используем формулу (22) для нахождения изображения степеннбй функции. Напишем формулу (8): 1 — -'- 1. Р о 81 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ й 8. Изображение производных Теорема. Если Е(р) ' 1(1), спо ЕЕ (р) — 7(0), Г (1). (27) Доказательство. На основании определения изображения можем написать 1, 1Е'(1)) = ~ е Р8~'(1)М. (28) о Будем предполагать, что все производные 7'(г), Г" (г), ..., ~'Рз(1), которые нам встретятся, удовлетворяют условию (1) и, следовательно, интеграл (28) и аналогичные интегралы для последующих производных существуют.
Вычисляя по частям интеграл, стоящий в правой части равенства (28), найдем 7, (~'(1))= ~ с рсГ'(1)с((=е рс) (1)~ -1- р' ~ е рс~(1)с(1. о о Но по условию (1) 1нп е р~ (г) = 0 8-:.а +Ф )г е- р~7' (1) с(1 = Е (р) о Поэтому 7 (~' (1)) = — с (0) + рЕ (р). Теорема доказана. Рассмотрим далее изображение производных любого порядка. Подставляя в формулу (27) вместо Е(р) выра- жение рЕ (р) — 7' (0), а вместо 7 (1) — выражение 7' (г), получим Е [ЕЕ(р) — 1(ОН вЂ” Г(0): Г(1) или, раскрывая скобки, Е'Е (Е) — р7 (О) — Г (0) —:Г(1). (28) Изображение для производной и-го порядка будет Е Е(Е) — (р — )(О)+р — )'(О)+ ..+Е) — (О)+7 -* щ — 7 * (1).
(30) 3 а 81е ч а н и е. Формулы (27), (29), (30) упрощаются, если 7(0) =7'(0) =... =Е'" "(0) =О. В этом случае получаем Е(р)-:У(1), ЕЕ(Е): У'(1), рпЕ (р) ' 7\л> (1) опеРАциоинов исчислении 41О ~ГЛ. х! х ф 9. Таблица некоторых изображений Для удобства пользования полученными изображениями поместим нх в одну таблицу. Таблица ! ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 411 4 101 Замечание. Если за изображение функции )'-(1) мы возьмем Г(р)=р ~ е '((1)Г11, р то в формулах 1 — 13 таблицы выражения, стоящие в первом столбце, следует умножить на р. Формулы же 14 н 15 изменятся значительнее. Так как г'Р (р) = рг (р), то, подставляя в левой части формулы 14 вместо г (р) выражение — и умножая на р, ~' (Р) Р получим 14'. ( — 1)" Р— „( Р ) -'. 1"1 (1). Подставляя в левой части формулы 15 и умножая это произведение на р, получим 15'.
— Р; (р) Р; (р) -'- ~ ~, (т) ~р (1 — т) ГК. р $ 1О. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения Пусть мы имеем линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами а„ а„ ..., а„ „ а„: ар — „+а,— „",+... + а„г — "+а„х(1) =1'(1). (31) Требуется найти решение этого уравнения х=х(1) при 1)0, удовлетворяющее начальным условиям: х (О) хрф х (О): хр~ р х (О) хр (32) Поставленную задачу ранее мы решали так: находили общее решение уравнения (31), содержащее п произвольных постоянных; потом постоянные определяли так, чтобы удовлетворялись начальные условия (32).
Здесь мы изложим более простой метод решения этой задачи— метод операционного исчисления. Будем находить Е-изображение решения х(1) уравнения (31), удовлетворяющего условиям (32). Это (,-изображение обозначим через х(р); таким образом, х(р) =- х(1). Предположим, что существуют изображения решения уравнения (31) и его производных до порядка п (после разыскания решения мы можем проверить справедливость этого нредположе- опвглциоинов исчисления 1гл. х~х 412 ния).
Умножим все члены равенства (3!) на е"еФ, где р=а+гЬ, и проинтегрируем по ( в пределах от 0 до +со О эФ .~- о ~ е" е ~ е" 1х а, ~ е-ж ' й+а, ~ е г~ е, '1 й+... +а„~ е-Р'х(()й = о о о +а ~ е-Р'~(()й. (33) о В левой части равенства стоят Е;изображения функции х(1) и ее производных, справа ?.-изображение функции 1((), которое обозначим через Р(р). Следовательно, равенство (33) можно переписать так: пои. ( —, ~ + а,?, ( — „; ~ +... + а„Е ( х (1) ) = ?. (/ (() ), Подставляя в это равенство вместо изображений функции и ее производных выражения (2?), (29), (30), получаем а,(р'х(р) — (р" 'х,+р" 'х,'+р'* 'х,"+...
+х,'" о))+ а (р ~ — 1х (р) (рв-их „( ри-зхр+ + хрипл-2>)) +а„,(рх(р) — х )+а„х(р)=Р(р). (34) Уравнение (34) называется вспомогаглельным уравнением, или изображаюа4им уравнением. В этом уравнении неизвестным является изображение х(р), которое пз него и определяется. Преобразуем его, оставив в левой части члены, содержащие х(р): х(р)(а,р" +а,р" '+... +а„,р+а„)= =а,(р" 'х,+р" 'х,'+... +х'" ")+ +а,(р" 'х,+р" 'х'+ .. +х,'" ")+ . +а„,(рх,+х,')+а„,х,+Г(р). (34') Коэффициент при х(р) в левой части равенства (34') есть много- член и-й степени от р, который получается, если в левую часть уравнения (31) вместо производных поставить соответствующие степени р. Обозначим его через «р„(р): ф„(р) =а„о" +а р" '+...
+а„,р+а„. (33) Правая часть уравнения (34') составляется следующим образом: коэффициент а„, умножается на х„ коэффициент а„, умножается на рх,+х,', коэффициент а, умножается на р" 'х,+р" 'х,'+... +х,'" ", коэффициент а, умножается на р" 'х,+р" 'х,'+... +4" ". й нч ВспомОГАтельное уРАВнение 4!3 х (1)=х(1). Если мы будем находить решение уравнения (31) прн нулевых начальных условиях: х,=х,'=х,"=...
=х'," "=О, то в равенстве (36) будет ф„, (р) = О и оно примет вид р (р) '(') = .. (р! нли РО) а,р" +а,ра-'+...+а„ (36') Пример 1. Нанти решение уравнения г(х — +х=1, ш удовлетворяинцее начальному условию: х=о при 1=0. 1 Решение. Составляем вспомогательное уравнение х(р)(р+!1=0+ —, р 1 или х(р)= .. Разлагая стоящую справа дробь на элементарные, по.ту(р+11 р' 1 1 чим х(р)= — —. Пользуясь формулами 1 и 4 таблицы 1, находим р+! ' решенно: х (11= ! — е-г. П р и м е р 2. Найти решение уравнения г(тх —,-+9х =1, аи удовлетворяющее начальным условиям хе=ха=О при 1=0. Все этн произведения складываются. Прибавляется еще изображение правой части дифференциального уравнения Р(р). Все члены правой части равенства (34'), кроме Р(Р), после приведения подобных членов образуют многочлен от р степени и — 1 с известными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
