34_PiskunovT2 (523113), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Говорят, что относительная частота при большом числе испытаний все более перестает носить случайный характер. Однако отметим, что.существуют такие события, у которых относительная частота не носит устойчивый характер и ее величины в различных сериях, даже очень больших, могут сильно отличаться друг от друга. Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев существует постоянное число р такое, что относительные частоты появления события А при большом числе испытаний, кроме редких случаев, мало отличаются от этого числа р. Этот опытный факт символически записывают так1 и' л ч» -».» (2) Число р называется вероятностью появления случайного события А. Последнюю фразу символически записывают так: р(А) =р.
(3) Вероятноеть р является объективной характеристикой возможности появления события А при данных испытаниях, определяющейся характером события А. Относительная частота при большом числе испйтаний мало отличается от вероятности, «кроме редких случаев», существованием которых часто можно пренебречь. Коротко словами соотношение (2) формулируют так: При неограниченном увеличении числа опытов и' относительная частота события А скодится к вероятности р появления этого события. Замечание. В приведенных рассуждениях мы на основании опытов постулировали соотношение (2).
Но постулнруют и другие естественные условия, следующие из опыта. Из них выводится соотношение (2), которое тогда уже будет теоремой. Это известная в теории вероятностей теорема Я. Бернулли (1654 — 1705). Так как вероятность является объективной характеристикой возможности появления некоторого события, то для предсказания характера протекания многих процессов, которые приходится рассматривать и в военном деле, и в организации производства, и в экономике и т. д., нужно уметь определять вероятность появления некоторых сложных событий. Определение вероятности появления события по вероятностям элементарных событий, определяющих данное сложное событие, изучение вероятностных зако-.
номерностей различных случайных событий и является предметом теории вероятностей. элементы теории вероятностен (гл. хх 5 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей Во многих случаях вероятность рассматриваемого случайного события может быть подсчитана, исходя из анализа рассматриваемого испытания. Для понимания дальнейшего изложения рассмотрим пример, Пр имер 1. Однородный куб, на гранях которого нанесены различные числа от 1 до 6, будем называть игральной костью. Рассматриваем случайное событие †появлен числа ! (! ( ! ~ 6) на верхней грани при бросании игральной кости.
Так как в силу симметрии кости события — появление любого числа от ! до 6 — одинакова возможны, то их называют раанааазмозсныиа. При большом числе и бросаний кости можно ожидать, что числа 1, как н каждое а другое число от 1 до 6, появится на верхней грани примерно в — сдучаях. 6 Это йодтверждаегся опытом.
Относительная частота будет близка к числу Р'= —. Поэтому считают, 6 ' что вероятность появления на верхней грани числа 1, как и всякого другого 1 числа от 1 до 6, равна —. 6 ' Анализом случайных событий, вероятность которых подсчитывается непосредственно, мы и займемся ниже. Оп редел ение 1.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе. Оп редел ение 2. Будем говорить, что случайные события образуют полную грдлнд, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Рассмотрим полн ую групп у ра вновозмож н ых несовместныхх случайных событий. Такие события будем называть случаями (или игпнсами).
Событие (случай) такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого случая влечет появление события А. П р и и е р 2. тз урне находитси 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные шары черные. Появление шара с цифрой ! (так же как и появление шара с цифрой 2 иди 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара.
Для рассматриваемого случая можно дать иное, чем в 3 1, определение вероятности. Оп редел ение. 3. Вероятностью р события А называется отношение числа т благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев н, образующих полную группу равновозможных несовместных событий, или символически р(А)=д= —. клдссичнскон опрвдплвнин вероятности 437 421 Определение 4. Если какому-либо событию благоприятствуют все и случаев, образующих полную группу равновозможных несовместных событий, то такое событие называется достоверным; его вероятность р = 1. Событие, которому не благоприятствует ни один из и случаев, образующих полную группу равновозможных несовместных событий, называется невозможным; его вероятность Р=О.' 3 а м е ч а 'н и е 1.
Противоположные утверждения в данном случае также верны. Однако в других случаях, например в случае непрерывной случайной величины (~ 12), противоположные утверждения могут быть и неверны, т. е. из того, что вероятность какого-либо события равна 1 или О, еще не следует, что это событие достоверно или невозможно. Из определения вероятности следует, что она удовлетворяет соотношению О< р<1. Пример 3. Из холоды в 36 карт вынимается одна парта. Какова вероятность появления карты пиковой масти? Р е ш е н и е.
Здесь всего случаев и = 36. Событие А — появление карти пиховой масти. Число случаев, благоприятствующих событию А, т=9. Следовательно, и =9/36 =-.1/4. Пр имер 4. Бросаются одновременно две монеты. Кайова вероятность выпадения герба на обеих монетах !т. е. двух гербов)? Решение. Составим схему возможных случаев. Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1, Следовательно, вероятность выпадения герба на обеих монегая будет и=1/4. Пример 5. Вероятность попадания в некоторую цель при стрельбе из первого орудия равна 8(10, при стрельбе из другого орудия — 7/10. Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий.
Цель будет поражена, если будет хотя бы одно попадание из какого-либо орудия: Решен не. Эта задача люделируется следующим образом. В двух урнах находится по !О шаров, пронумерованных от 1 до 10. В первой урне 8, красных и 2 черных, во второй 7 храсных и 3 черных. Вынимается по одному шару йз каждой урны. Какова иероятность, что среди вынутых двух шаров имеется хотя бы один красный? Тая хак каждый шар первой урны может быть вынут с любмм шарсм второй, то всего случаев 100: и=100. Подсчитаем благоприятствующие случаи.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. Хх, При вынимании каждого из 8 красных шаров первой урны одновременно с любым шаром второй урны в числе вынутых будет находиться по крайней мере один красный шар. Таких случаев будет 10х8=80. При вынимании кы ждого из 2 черных шаров первой урны одновременно с любым из 7 красных шаров второй урны в числе вынутых будет один красный.
Таких случаев будет 2х7= 14. Таким образом, всего благоприятствующих случаев будет ш=80+14=94. Вероятность того, что среди вынутых будет по крайней мере один красный шар, равна гл 94 п 100 Такова будет и веронтность поражения цели. Замечание 2. В этом примере задачу о вероятности при . стрельбе мы свели к задаче о вероятности появления того или иного шара при вынимании шаров из урны. Многие задачи теории вероятности можно свести к «схеме урн». Поэтому на задачи о вынимании шаров из урн следует смотреть как на задачи обоби(енные.
Пр имер 6. В партия из 100 изделий !О изделий бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные» Решение. Взять 4 изделия из 100 можно следующим числом способов: п=Ст«ш. Число случаев, когда среди этих 4 изделий будут 3 не бракованные> з равно я=С». Сш. Искомая вероятность будет ш С» С>« 1424 Р= = = — ыоз.
С«4763 й 3. Сложение вероятностей; Противоположные случайные события Определение 1. Суммой двух. событий А; и А, называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. ' Ниже будет рассматриваться вероятность суммы двух несовместных событий Аг и А,.
Сумма этих событий обозначается А,+А„ ИЛИ Аг или А,*). Справедлива следующая теорема, которая называется теоремой о сложении вероятностей. Те о рема 1. Пусть при данном испытании (явлении, опыте)' могут иметь место случайное событие Аг с вероятностью Р(А,) и событие А, с вероятностью Р (А,). События Аг и А, нессвмест- ') Заметим, что в этом выражении слово «или» не носит характера исключения, а означает, что появится хотя бы одно из этих событий в соответствии о определением 1, СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
