34_PiskunovT2 (523113), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Тогда вероятность суммы событий, т.е. «юго, ч«ю произойдет или событие А, или событие А'„вычисляется по формуле Р(А, или А,)=Р(А,)+Р(А,). (1) Доказательство. Пусть Р(А,)= — ', Р(А,)= е . Так как события А, н А, несовместны, то при общем числе случаев и число случаев, благоприятствующих появлению событий А; и А, одновременно, равно О, а число случаев, благоприятствующих появлению или события А; или события А„равно т,+т,. Следовательно, Р(АТ или А,) = ~' ~ ~' = ~' + з = Р (А,)+Р (А,), что и требовалось доказать. Аналогичным образом можно доказать эту теорему для любо го числа слагаемых: Р(А, или А, или ...
или А„)=Р(А,)+Р(А,)+ ... +Р(А„). (1') Последнее равенство записывается и так: Р ~ А, = ~~Р ~Р(А;). 3 а м е ч а н и е. Мы доказали теорему сложения для схемы случаев, когда вероятность Определяется непосредственным подсчетом. В дальнейшем будем считать, что теорема сложения вероятностей справедлива и тогда, когда непосредственный подсчет вероятностей осуществить невозможно. Это утверждение основано на следующих' соображениях.
Вероятности событий при большом числе испытаний близки (за редкими исклю- Х чениями) к относительным частотам, а для относительных частот доказательство проводится так же, как и выше. Это замечание будет относиться и к доказательству последующих теорем, которые мы будем доказывать, пользуясь Рис. 40б, схемой урн. Пример 1. Производится стрельба по некоторой области, состоящей из трех непересекающихся зон (рис. 40б). Вероятность попадания в зону 1: б 1О 17 Р(А,) = 100, в зону П. 'Р(А,) = 100, вазону П1: Р(Аз) = Ю0 . Какова вероятность попасть в область Ру Событие А — попадание в область 1).
По ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. !Гл, хк формуле (1') имеем 5 !О 17 33 Р(дд+Р(А)+Р(дз) = !оо+ ню+ !оо = )оо Определение 2. Два события называются ггротивоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Если одно событие обозначим через А, то противоположное событие обозначают через А, Пусть вероятность появления события А есть р, вероятность непоявления события 4, т.
е. вероятность появления события А, обозначим через Р(А) =а. Так как'при испытании обязательно произойдет или событие А нли событие А, то на основании теоремы (1) получаем: Р(А)+Р(А) =1, т.е. сумма верояпиюстей противоположных собьапий равняется единице: р+у=1. (2) Пр имер 2. Производится один выстрел по мишени. Попадание — событие А. Вероятность попадания гл Р (А) = р. Определить вероятность промаха. Промак есть событие А, противоположное событию А, поэтому вероятность промаха в=1 — р. П р имер 3. Производится неквторое измерение.
Получение ошибки при измерении, меньшей ь, есть событие А. Пусть Р(А)=р. Противоположное событие — получение ошибкиз большей ь или равной Л, есть событие А, Вероятность этого-события Р (А) = о= ! — р. Следствие 1. Если случайные события А„А„..., А„образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство Р(А,)+Р(А,)+..:+Р(А„)=1. (3) Доказательство, Так как события А„А„..., А„образуют полную группу событий, то появление одного из этих событий есть событие достоверное. Следовательно, Р(А, или А, или ... или А„)=!. Преобразуя левую часть по формуле (1'), получим равенство (3).
Определение 3. Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба вти события, т.е. произойдет совмещение событий А и В, Событие, заключающееся в совмещении событий А и В, будем обозначать (А н В) или (АВ). Вероятность совмещения событий А н В будем обозначать Р(А и В). Теорема 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по 4юрлгуле Р(А или В) =Р(А)+Р(В) — Р(А и В). 4 41 ' УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ 441 Справедливость формулы (4) мы проиллюстрируем геометрически.
Предварительно введем следующее определение. О и р е д е л е н и е 4. Пусть дана некоторая область 1?, площадь которой равна 5. Рассмотрим область а, входящую в О. Пусть ее площадь 5. Тогда вероятность попадания точки в область й, считая достоверным попадание точ- а ки в Область Р, по определениЮ, равна 515, т.е. р = 5(5. Эту вероят- 1 е ~р ность называют геометрической вероятностью. а Тогда, считая, достоверным попа- й дание точки в квадрат со стороной; равной 1, имеем (рис.
406) Р(А или В)= пл. аЬсда, Р(А) =ил. вайа; Р(В) = пл. Ьсс(ЕЬ, (б) Рис. 406. . Р(А и.В) -пл. деЬ|й. Очевидно, что имеет место следующее равенство: пл. аЬсйа= пл. аЬ)да+ пл. ЬсйеЬ вЂ” пл. аеЬ1а. ,Подставляя в это равенство левые части равенств (5), получим равенство (4). Аналогичным образом можно вычислить нероятность суммы лЮбого числа совместных случайных событий. Отметим, что теорему 2 можно доказать, исходи из сделанных выше определений и правил операций.
й 4. Умиожейие вероятностей независимых событий Определение 1. Событие А называется независимым от события В, если .вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или не произошло. Те о рема 1. Если случайные события А и В независимы, та вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятностей появления событий А и В: Р (А и В) = Р (А) Р (В).
(1) Доказательство. Проведем доказательство этой теоремы для схемы урн. В каждой нз двух урн соответственно находятся п, и и, шаров. В 1-й урне т; красных шаров, остальные черные.' Во 2-й урне т, красных, остальные черные. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся красными? ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. хх 442 Пусть событие А — вынимание, красного шара из 1-й урны. Событие  — вынимание красного шара из 2-й урны.
Эти события независимы. Очевидно, Р(А)= т, Р(В)= ~' . (2) Всего возможных случаев одновременного вынимания по одному шару из каждой урны будет птлз. Число случаев, благопрпят- СтауЮщИХ ПОЯВЛЕНИЮ КраСНЫХ ШарОВ ИЗ ОбЕИХ ури, будЕт тгт,.
ООООООООО % -Л/ жя Рис. 407, Вероятность совмещения событий А и В будет Р(А и В) = — '~' = — '.— '. лале лг л, Заменяя в этой формуле — ' и — ' их выражениями из (2), лт л, получаем равенство (1). Иллюстрацию этой теоремы см. На рис. 407. Если имеем а независимых событий А;, А„..., А„, то анало- гичным образом можно доказать справедливость равенства Р(А; и А, и ...
и А„) =Р(А,) Р(А,) ... Р(А„). П р имер 1. Из двух танков стреляют по одной цели. Вероятность попа- 9 5 дания из 1-го танка —, из 2-го — —. Из обоих танков делается одновре- 1О' 6' меино по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будет два попадания в цель. 9 5 Решение. Здесь Р(А)= —, Р(В)= —; Р(А иВ) — вероятность двух 1О' 6' попаданий — находится по формуле (1): 9 5 3 Р (А и и)= — — = —. 10 б 4' Пример 2. Безотказнан работа прибора определяется безотказной рабоЧпй каждого из трех узлов, составляющих прибор. Вероятность безотказной работы узлов за некоторый цикл соответственно равна рт=г0,6; да=0,7; рз= 0,9. Найти вероятность безотказной работы прибора за указанный цикл.
Решен не. По теореме умножения вероятностей (3) будем иметь; Р=ргрзда=огб 0,7 0,9=0,376. ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ Замечание. Теорема 2 5 3 (формула (4)) о вероятности суммы совместных событий с учетом формулы (1) запишется так: Р(А или В) =Р(А)+Р(В) — Р(А) Р(В). (4) Пример 3. Решить задачу, сформулированную в примере 5 4 2, пользуясь формулой (4).
Решение. Событие А — попадание в цель из 1-го орудия. Событие В— попадание в цель из 2-го орудия. Очевидно, 8 7 Р(А)= —, Р(В)=— !О ' 1О ' 8 7 8 7 -94 Р (А или В)= — + —— 19 Рз Рз 19 1ОО ' Естественно, что мы получили тот же результат, что и раньше. П р и м е р 4.
Вероятность уничтожения цели при одном выстреле равна р. Определить число выстрелов л, необходимых для поражения цели с вероятностью, большей или равной !3. Решение. На основании теорем о сумме и произведении вероятностей можем написать !)Ев! — (! — р) . Решая зто неравенство относительно в; получаем: 1и (1 — й) !п (1 — р) Задача с таким аналитическим решением легко формулируется в терминах «схемы урн». й 5. Зависимые события. Условная вероятность, Полная вероятность Определение 1.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В, Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать Р (А!В) и называть условной вероятностью события А при условии В. Пример 1. В урне находится 3 белых шара и 2 черных. Из.урны вынимается один шар (первое вынимание), а затем второй (второе вынимание). Событие  — появление белого шара при первом вынимании. Событие А — появление белого шара при втором вынимании. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет Р (А!В) = 274 =! /2. Вероятность события А при условии, что событие В не произошло (при первом вынимании появился черный шар), будет Р (А 1В) = 3/4.
Видим, что Р (А/В) ~ Р (А!В). ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. хх Теорема 1. Вероятность совмещения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произои[ло, т. е. Р(А и В)= Р(В) Р(А[В). -(1) Доказательство. Доказательство приведем для событий, которые сводятся. к схеме урн (т. е. в случае, когда применимо классическое определел ние вероятности). и, Пусть в урне п шаров,' при 'этом п, белых, и, черных. Пусть среди и, белых шаров и," шаРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
