34_PiskunovT2 (523113), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ПуетЬ ПрОИЗВОдвтея !ч' НЕЗавнСИМЫХ ОПЫТОВ. ПрЕдПОЛОжИМ, Чта значение х, появилось и, раз, значение х, появилось п, раз, значение х, появилось и, раз. Случайная величина х принимает значения х,, х„ ..., х,. Вычислим среднее арифметическое полученных зйачений величины х (будем его обозначать через М[х] или гп„): к,л»+к,л,+...
+к„п л л л„ тл = х, у +х» ++ ... +хч у (2) Но так как при большом числе испытаний )т' относительная частота — стремится к вероятности появления значения х, то л» л л ч л» ч: х„— ж ~ х„р„. »=! »=! мАТ емАтич еское охсидАние 457 .$9! При довольно естественнь!х предположениях получается м[х] — - м[х]. (3) Замечание 1.
Если бы мы рассмотрели схему урн с 19' шарами, где и, шаров с числовой отметкой х„п, шаров с числом х, и т. д., то «ожидаемое число» при вынимании одного шара будет выражаться 'формулой (2), т. е. равно и„. Пример 1. Определить математическое ожидание слущйной величнныл числа попаданий прй трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле р = О, 4. Р е ш е н и е. Случайная величина к может принять значения кз=О, х»=1, аз=2, х«=3. Составим таблицу распределения данной случайной величины. Вероятность этик значений находим по теореме о повторных нспытаиняв (л=з, р=0,4, 4=0,6): Р(к=О) =Сз 0,69=0,216, Р(к=1) =Сз 0,4.0,69=0,432, -Р(х=2) =Сз 0 49 0,6=0 288 Р (к = 3) .= Сз 0,4» = 0,064. Таблица распределения случайной величины будет Математическое ожидание вычисляем по формуле (1): яз„=о 0,216+1 0,432+2 0,288+3 0,064=1„2 попаданий.
Пример 2. Производится один выстрел по обьекту. Вероятность попа. дания равна р. Определить математическое ожидание случайной величины л числа попаданий. Составляезг таблицу распределения случайной величины Следовательно, т„=о (1 — р)+ 1-р=р. Замечание 2. В дальнейшем будет установлено, чтоматематическое ожидание М(х] числа появления события А при и независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность р появления'события А при каждом испытании М (х] — пр. (4) Если в формуле (4) п — число выстрелов, р — вероятность по. падания, то решение задачи примера 1 будет следующее: М (х] = пр = 3 0,4 = 1,2 попаданий.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ! ГЛ. ХХ Если в формуле (4) известны йА 1х) и р, то находится п — число испытаний, дающих заданное математическое ожидание числа наступления события: М (х) и= —. Р П р и м е р 3. Вероятность попадания при одном выстреле р = 0,2. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5: 5 л= — = 25 снарядов. 0,2 (Отметим еще раз, что подобные задачи имеют место в различных исследованиях. Там слово «попадание» заменяется словами «появление события», слово «выстрел» вЂ слов «иепытание»',) П р н м е р 4. Определить математическое ожидание случайной аеличиных, со следующей таблицей распределения: Смотри пример 2 З 7.
Ре ще н не: По формуле (1) имеем (обозначая 1 — р=а) тх — — ! р+2лр+ЗЕ»р+."+йЧ 'р+" = ,(1+24+5«а+,+!ча-»+ ) ( ! з 1, » ! +,„а+ у =( )'- е '1' 1 — е+е р р 1 1 ч l (1 ч) (1 ч) р р Итак, 1 Их=в Р Заметим, что т„— 1 при р — 1, т„оо при р — О, Эти соотношения можно объяснить, исходя из смысла задачи. Действительно, если вероятность появления события А при каждом испытании близка к 1 (рж 1), то можно ожидать„что событие А произойдет при одном (первом) испытании (т, ж 1). Если же вероятность р мала (рж 0), то можно ожидать, что для того, чтобы произошло событие А, потребуется произвести очень много испытаний (т„ т оо). Математическое ожидание случайной величины х называется центром распределения еероятностей случайной величины х. 3 а м е ч а н н е 3.
Название «центр распределения вероятностей», введен по аналогии с названием «центр масс». Если на оси Ох в точках с абсписсами х„х„..., х„помещены массы р„р„... мАтемАтическов ОжидАния Г 91 ..., р„, то из аналитической геометрии известно, что абсцисса центра этих масс определяется по формуле ~~~ ХАРА А=! хе= л Х РА Если ~ р„=1, то Формула (5) по виду совпадает с формулой (1) для математического ожидания. Итак, установлено, что центр масс и математическое ожидание вычисляются по аналогичным формулам.
Отсюда и название «центр распределения вероятностейю. Рис. 41!. Ряс. 412. Пусть 'дана случайная. величина х с соответствующим законом распределения (рис. 411); пусть ее математическое ожидание т„. Рассмотрим далее разность случайной величины х и ее математического ожидания х — т„. Эту случайную величину будем называть центрироеаннойслучайной величиной или отклонением и обозначать х'. Очевидно, что закон распределения этой случайной величины х' будет (рис. 412). элементы теоРии ВБРОятнОстей ' ' 1гл. хх Найдем математическое ожидание центрированной случайной величины: М [х — п»„1 = ~~'„(х» — т„) р» = й,' х„р» — ~~~' ,т„р» = »=! -»=! »=! » = т„— т„Х р, = т„— т, 1=0. »=! Итак, математическое ожидание центрирован(шй случайной величины равно нулю, Замечание 4.
Иногда бывает целесообразно неслучайную (достоверную) постоянную величину с рассматривать как случайную величину, которая с вероятностью 1 принимает значение с, а другие значения принимает с вероятностью О. Тогда имеет смысл говорить о математическом-ожидании постоянной: М[с1=с 1=с, (б) т. е. математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.
ф 1О. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах 0 [х| = М [(х — т„)»1, или 1т[к] чз ( ! ! )»р„. »=! (2) Дисперсия' имеет размерность квадрата случайной величины. Иногда, ' для характеристики рассеивания, удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величиры. Такая величина †среднеквадратичн откло. пение. Кроме математического ожидания случайной величины х, которое. определяет положение центра распределения вероятностей, количественной характеристикой распределения случайной величины является дисперсия случайной величины х. Дисперсию будем обозначать 1»[х) или' о,'.
Слово «дисперсия» означает рассеивание. Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Определение 1. Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины х и ее математического ожидания (т. е. математическое ожидание квадрата соответствую!цей центрированной случайной вели= чины): ДИСПЕРСИЯ 4 !з! О и р е д,ел е н и е 2.
Среднеквадратичнесм отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: о [х) = 'г' ГЦх], или в развернутом виде Среднеквадратичное отклонение обозначакзт также и„. .Замен.анйе 1. При вычислении дисперсии формулу ()) бывает удобно преобразовать так: и а Ю а 0[х) =,Я~ (х„— т„)* р„= ч~~ хазра — 2 ~ч.', хатхра+ ч~.", т,*р„= аю! аю! а=! " а=!. .а и и = Х хара — 2т„Х хара+ т,' Х р = а=! "а~! а=! = М [хз~ — 2т„т„+т,' ! = М [хз~ — т',.
Итак, (4) 0 [х~ = М [ха) — т'„, т. е. дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания случайной величины. П р и ме р !. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания р. Определить математическое ожидание, дисперсию н среднеквадратич. иое отклонение.
Рещение. Строим таблицу значений числа попаданий а = ! — р. Следовательно, М (х1 = ! р+о о = р, пЧх) =(! — р)' р+(о — р)ее=оар+рзо=до, о(х1 =3/рч Чтобы представить смысл понятия дисперсии и среднеквадратичного отклонения как характеристики рассеивания 'случайной величины, рассмотрим примеры. Пример 2. Случайная велнчнна х задана следующим законом распределения (см. таблццу и рис. 4)3)! влкмкнты тиории вввонтноотии !гл. хх Определить; 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадра- тичное отклонение.
Решение 1. М [х)=2 0,3+3 0,4+4 0,3=3, 2. О [х) =(2 — 3)'03+(3 — 3)э 0,4+(4 — 3)э 03=06, 3. о [х] = ф Ь [х) = Р 0,6 = 0,77. П р и ме р 3. Случайная величина х задана следующим законом распре- деления (см. таблицу и рис. 414): Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадрэтичное отклонение. Рис.
414. Рис. 4!3, Решение. 1. М[х)=1 0,3+3 0,4+5 0,3=3, 2. О [х) = (1 — 3)э.0,3+ (3 — 3)э 0,4.+(5 †)э 0,3=2,4, 3. о [х) = р~ 2,4 = 1,55. Рассеивание, разброс случайной величины в первом примере меньше рас- сеивания случайной величины во втором примере (см. рис. 414 и 415). Дисперсии этих величин соответственно равны 0,6 и 2,4. П р и и е р 4! Случайная величина х задана следующим законом распределения (см.
таблицу и рис. 415): Рис. 415. Определить: 1) математическае ожидание, 2) дисперсию, 3) среднеквадра- тичное отклонение. Решение. 1. М [х]=3 1=3, 2. О [х] (3 — 3)'1=0, 3. о[х]=0. Рассеивание значений этой случайной величины отсутствует. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1Ц1 Замечание 2.
Если рассматривать постоянное число как случайную величину, которая принимает значение ос вероятностью 1, то легко показать, что 0[с) =О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Было показано, что М [с) = с (см. (5) 9 9). По формуле (1) получаем 0 [о~)=М[(с — с)'] =М [01 =0, что и требовалось доказать. Замечание 3. По аналогии с механической терминологией математическое ожидание величин х — т„, (х — т„)' называют центральным моментом первого н второго порядка случайной величины х. Рассматривают и центральный момент третьего порядка л ~~~, (хг — т,.)' р». А=! Если случайная величина распределена симметрично относительно центра распределения вероятностей (рис. 411), то очевидно, что ее центральный момент третьего порядка будет равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
