34_PiskunovT2 (523113), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Дельта-функция и ее изображение Рассмотрим функцию т. е оь(1, Ь)- — '( — '„' ' ). (72) Рис. 403. В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию 6(1) как предел функции о,(1, Ь) при Ь вЂ” 01 б(1) = ВН1 о, (1, Ь) ").
к- о ") Следует иметь в виду, что б (1) не есть функции в обычном'нонвмании. (Мкогие авторы.физики функцию б (1) называют функцией Диргка.) 10 при 1<0, о,(1, Ь)= а [оа(1) — оа(1 — ЬЯ= ) — „прп 0<1< Ь, (71) 0 при Ь<1, йзображенную на рис. 403.
Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток вреъзени от 0 до Ь, а. в остальное время равную нулю, то, очевидно, импульс этой силы будет равен единице. На основании формул (8) и (70) изображение этой функции будет д (-' — '"") ДЕЛЬТА. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ Эту функцию называют единичнои" импульсной функцией, или дельсла-срункцией. Естественно положить— + С ~ 6(1)й(=1. (74) Также пишут ~ 6(1)с(1=1. о (75) (75) удовлетворякяцее условиям Б=О, — =О при с=О. Из уравнения (76) находим, учитывая (75), С о = — „= ~ 6 (т) йт = 1 о (77) при любом 1с в частности и при 1=0.
Следовательно, определяя 6(х) равенством (73), можно трактовать эту функцию как силу, сообщающую материальной точке с массой единица в момент 1=0 скорость, равную единице. А.огзображение функции 6(1) определим как предел изображения функции о;(1; й):,при й — 0: г г — сеь г (. (6(х))',= 1пп — = —.у=1 А оя ь (здесь воспользовалпсь правилом Лопиталя для нахождения предела). Итак, 6(1)-:1 ' (78) Далее определяется функция 6(1 — 1о), которую трактуют как силу, мгновенно, в момент 1=1„сообщающую единичной массе скорость, равную единице.
Очевидно, что на основании теоремы запаздывания будем иметь 6 (1 — 1,) (79) Отметим, что функция 6 (х) применяется ие только в механике, е во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики. Рассмотрим действие 6(1), если ее представлять как силу. Найдем решение уравнения сио 6 (1) опвглционнов исчисление 1гл. хсх Аналогично (75) можем написать ~ 8(1 — 1,) а=1. (80) с, На основании механического толкования дельта-функции следует, что присутствие дельта-функции в правой части уравнения может быть заменено соответствующим изменением начальных условий. Покажем это на простом примере.
Пусть имеем дифференциальное уравнение — '„= ~(г)+б(1) (81) с начальными условиями х,= О,.х,'= 0 при 1= 0. Вспомогательное уравнение будет р'х(р) = Р(р)+1, (82) откуда х(р) = —, + —,. Р(р) 1 Пользуясь формулами 9 и 15 таблицы; прлучаем с. х (Е) = ~ 7 (т) (с — т) с(т+ с. (83) о К этому же результату мы бы пришли, если бы находили решение уравнения с начальными условиями х,= О, х,' = 1 при 1= О.
В этом случае вспомогательное уравнение имело бы вид р'х (р) - 1 = Р (р). (84) Оно эквивалентно вспомогательному уравнению (82), а следовательно, решение будет совпадать с решением (83). В заключение отметим следующее важное свойство дельта- функции. На основании равенств (74) и (75) можем написать ~6( 6 (т) с(т= с 0 при — со<1<О, 11 1 при 0<с <+оо, (85) (86) т.
е. этот интеграл равняется единичной функции Хевисайда о,(1). Итак, сс,(1)= ) 6(т) с(т. ф УПРАЖНЕНИЯ !( ГЛАВЕ Х!Х 431 Дифференцируя правую и левую части равенства по 1, получаем условное равенство о,' (1) = б (1). (87) Для пояснения смысла условного равенства (87) рассмотрим функцию о;(1, й), изображенную на рис. 404. Очевидно, о,'((, й)=о,(1, й) (88) (кроме точек ! = О и 1 = й). Переходя к пределу прий — Овравенстве (88), видим,' что сг,(1, й) о,(1),ибудем писать о,' (1, й) оа' (1) при й — О. Рнс. 404.
Правая часть равенства (88) о,(1, й) — б(1) при й — О. Таким образом, равенство (88)' переходит в условное равенство (87). Упражнения к главе Х1Х Найти решения следующих уравнений при укаэанных начальных условиях: пах с!х 1. — +3 — +2х=О, х=-1, х'=2 при 1=О.
Отв, х=4е-т — Зе-ай дм с!е пах д'х 2. — —,— =О, х=2, х'=О, х"=1 при 1=0. Отв. х=-1 — 1+в. ага а!а аах ах 3. — — 2а — )-(аа+Ьа) х=О, х=ха, х'=х' прн 1=0, Отв, х = еа! — [х,Ь соа Ьт+ (ха — хаа) вш Ы). Ь х'=ха прн 1=О. Отв, х= х =ха, = — (соэ л! — сов т!)+хе солт!+ — Мптб а хе т' — л' т пах Фх 1 6. — — =!а, х=О, х'=0 при 7=0. Отв, х=2ет — Ьэ — 1а — 21 — 2, с!!е а! ' ' ' ' 3 пах 1 7.
— +х= — !эет, х=х'=х"=0 при 1=0. Отв, х= — !11е — 31+ — ) е!— Лта =2 = = = ' . 4~ 2) !УЗ вЂ” 1)ГЗ) „ — — е-' — — (соа — — )Г Зв!и — г еиа. 24 3 ( 2 2 4. — — 3 — +2х=-еат, г)ах Нх ага ~й + ег+ еай 1 2 4 3 атх В.
— +т'х=асоалб и!а х=1, х'=2 при 1=О. Отв. х= — еет+ 1 12 оцюдционнон исчислпнии !гл. х!х лах 1 8. — +х=1, хе=хе=хе=О при 1=0, Отв, 'х=1 — е !в д!а 3 2 ыа !)~3 — — е соа —. 3 2 3ах Лтх 9. — — 2 — +х=аш! хе=хо=хе=ха =0 при 1=0. Ота, х=' о!а Ы!е — (ет(! — 2)+е т(т'-)-2)+2 и!п !). 1 8 дтх 10. Найти решение системы дн0$еренниальных уравнений — +у = 1 Л!а оау — +х=О, удовлетворяющее начальным условиям хе — — уе=хе=уе=О пр~ йа 1 1 т 1 1 1 1 ! = О, Олы. х(!) = — — соа С+ — е'+ — е-т р (!) = — — соа ! — 4 е'+ — е-'+1.
2 4 4 ГЛАВА ХХ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Каждодневный опыт убеждает нас в том, что -в обйденной жизни, практических ситуациях, а также в научных исследованиях постоянно приходится сталкиваться с положениями, когда привычные нам закономерности строгого детерминизма уже не имеют места. Приведем несколько примеров. Представим, что нас интересует число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи 'в течение суток. Длительные наблюдения показывают, что нет возможности точно прогнозировать, как много вызовов поступит на станцию в течение ближайших суток. Это число подвержено значительным и притом случайным колебаниям.
Точно так же случайно то время, которое придется затратить врачу, прибывшему по вызову больного. Если поставить на испытания некоторое число М каких-нибудь изделий, изготовленных, казалось бы, в одних и тех же условиях и из тех же самых материалов, то время от начала испытаний до приведения изделий в неработоспособное состояние оказывается случайным, подвержено весьма сильному разбросу. При стрельбе из орудия по цели наблюдается так называемое рассеивание снарядов. Уклонение точки. попадания снаряда от центра цели заранее указать нет возможности †о случайно.
Одной констатации факта наличия случайности для уверенного использования явлений природы или управления технологическими процессами совершенно недостаточно, необходимо научиться количественно оценивать случайные события, прогнозировать нх течение. Этого теперь настойчиво требуют. как теоретические, так и практические задачи.
Решением возникающих при этом вопросов и созданием общей математической теории занимаются две математические дисциплины — теория вероятностей и математическая статистика. В последние годы, благодаря в первую очередь работам советских ученых, происходит развитие теоретических основ теории вероятностей, ее проникновение в другие, особенно во вновь развивающиеся науки. Здесь в первую очередь следует указать работы А.
Н. Колмогорова, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнова и др. 434 ' элементы теОРии ВеРОятностеи [Гл. хх ф 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей Основным понятием теории вероятностей является понятиеслучайного события. Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Пр имер 1. Появление герба при бросании монеты есть случайное событие. Пример 2.
Попадание в данный объект илн в данную площадь прн стрельбе по этому объекту из данного орудия есть случайное событие, Пр имер 3. При изготовлении цилиндра с заданной величиной диаметра 20 см'получать ошибки меньше, чем 0,2 мм, при данных средствах производства есть случайное событие. О п р е д е л е н и е 1. Относительной частотой (или просто частотой) р* случайного события А называется отношение числа т' появления данного события к общему числу п* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие. Будем писать так: Р" (А) = р" = —, . пч Пр имер 4. Пусть по данному объекту из данного орудия при одинако- вых условиях произведено 6 серий выстрелов: в 1-й серии было 5 выстрелов, число попаданий 2, во 2-й серии, было 10 выстрелов,,число попаданий 6, а 3-й серии было 12 выстрелов, число попаданий 7, в 4-й серии было 50 выстрелов, число попаданий 27, в 5-й серии было !00 выстрелов, число попаданий 49, в б-й серии 200 выстрелов, число попаданий 102.
Событие А — попадание в цель. Относительная частота попадании в сериях будет 2 в 1-й серии — =0,40, 6 6 во 2-й серии — =0,60, !О 7 в З-й серии — =0,58, 12 27 в 4-й серии — =0,54, 50 49 в 5 й серии — =0,49, 100 !02 в б-й серии — =0,51. 200 Из наблюдений различных явлений следует, что если число испытаний в каждой серии практически невелико, то относительные частоты появления события А в каждой серии могут суще- СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ ственно отличаться одна от другой. Если же число опытов в сериях велико, то, как правило, относительные частоты появления события А в различных сериях отличаются друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
