34_PiskunovT2 (523113), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Обозначим его через т)„„,(Р). Таким образом, уравнение (34') можно переписать так: х (Р) гра (Р) = ф -г (Р) + Р (Р) Из этого уравнения и определяем х(р): фп-т (р) 1 (р) (36) т. (р) ам (р) ' Такое определенное х(Р) есть изображение решениях(1) уравнения (31), удовлетворяющего начальным условиям (32). Если теперь мы найдем функцию х*(1), изображение которой — функция х (Р), определенная равенством (36), то на основании теоремы единственности, сформулированной в 3 1, будет следовать, что х*(1) есть решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32), т.
е. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ !ГЛ. Х!Х 1 Р е ш е н и е. Напишем вспомогательное уравненне (34'): х (Р) (рз+9) = —, Р 1 или х(р)=, 9 . Разлагая эту дробь на элементарные, получим х(д) д (Р +9) ( з+9) = — + — '. На основании формул 1 н 3 таблицы1 находим решение: рз+9 ! 1 х (1) = — — соз 31+ —, 9 9' П р имер 3.
Найти решение уравнения йзх дх — +3 — +2х=г 3!з ос удовлетворяющее начальным условиям хе=я,=О при 1=0. Решение. Напишем вспомогательное уравнение (34'): 1 х (р) (р*-(-Зр+2) = —,, или 1 ! 1 Ра (Рз+ЗР+2) Ре (Р+1) (Р+2) ' Разлагая зту дробь на элементарные дроби методом неопределенныи козффи. циентов, получим — 1 1 3 1 ! 1 х(р)= — — — — — + —— 2 рз 4 р р+1 4(Р+2)' По формулам 9, 1 и 4 таблнцы 1 находим решение: 1 3 ! х (1) = — ! — +е- г — е-зт. 2 4 П р имер 4.
Найти решение уравнения озх ох — +2 — +5х=з)п 1, йсз оз удовлетворяющее начальным условиям х,=1, хе=2 при 1=0, Р е ш е н и е. Пишем вспомогательное уравнение (34'): х(р)(р'+2р+5)=р 1+2+2 1+с(з!и!)з или х (р) (за+ 2р+5) = р+ 4+в ! да+1 ' откуда находим х (Р): р+4 ! Рз+2Р+5+ (Рз+1) (Р'+2Р+5) ' Разлагая последнюю дробь правой части на элементарные, можно написать 11 ! 1 1Π— р+4 — — д+— 1О 5 да+2Р+5 + ра+1 или — П р+1 29 2 1 р 1 1 1О (р+1)з+2з+10 2 (р+1)з+2з 1О рз+1+ 5 рз+1 ' 415 ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ На основании формул 8, 7, 3 и 2 таблицы 1 получаем решение: !1 29 1 1 л(1)= — е-!сов 21+ — е тв1п21 — сов(+ — в1п 1, !О 20 1О 5 или окончательно /11 29 Х 1 1 л(1) =е 1 ~ — сов 21+ — в1п 21) — — сов (+ — в1п 1.
~10 ' 20 ) 1О 5 й 11, Теорема разложения Из формулы (36) предыдущего параграфа следует, что изображение решения линейного дифференциального уравнения состоит из двух членов: первый член есть правильная рациональная дробь от Р, второй член †дро, числителем которой является изображение правой части уравнения г"(р), а знаменатель †многочл «р„(р). Если г"(Р) †рациональн дробь, то второй член будет рациональной дробью. Таким образом, нужно уметь находить начальную функцию, изображением которой является правильная рациональная дробь. Этим вопросом мы и займемся в настоящем параграфе.
Пусть 1.-изображение некоторой функции есть правильная рациональная дробь от р: ф -т(р) ча (Р) — .;Ает А (р — а) Для дроби П вида на основании формул 9 и 4 таблицы 1 по- лучаем — —; А — (а-'е", А . 1 6 — а)" (А — В1 (37) Требуется найти начальную функцию (оригинал). В 2 7 гл. Х т. 1 было показано, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы элементарных дробей четырех видов: А 1.
ат А Н. —,, (р — а) 111.,+, где корни знаменателя комплексные, т. е. Ар+В Р~+атр+аа — — а (О ат 4 1Ч. ~, „, где й. 2, корни знаменателя комплексные. О'+пер+а )" ' Найдем начальные функции для выписанных элементарных дробей. Для дроби 1 вида на основании формулы 4 таблицы 1 получаем примеры Решения ОпеРАционным метОЯОм 417 й 12. Примеры решения днфференцнальных уравнений н сметем дифференциальных уравнений операционным методом Пр имер 1. Найти решение уравнения Ззх — +4х=з!п Зх, с!!а удовлетворяющее начальным'условиям ха=О, хе=О при 1=0.
Р е ш е н н е. Составляем вспомогательное уравнение (34'): 3 — — ' 3 +.) Ра+9 ' ( ) (ра+9) (рз+4) ' 3 3 5 5 1 3 3 2' х(р)= + = — — ° — + — ° —, ра+9 рс+4 5 ра+9 !О ус+4 ' откуда получается решение 3, 1 х (!) = — з!п 2! — з!п 3!. 1О 5 П р и м е р 2. Найти решение уравнения срх — +а=О, нн удовлетворяющее начальным условиям хр=1, хе=3, ха=8 при 1=0. Р е ш е н не. Составляем, вспомогательное уравнение (34'): х(Р) (Рз+1) =ра 1+р 3+8, находим рз+Зр+8 рс+Зр+8 сг! Рз ! 1 (,+П(рз р+П н разлагаем полученную рациональную дробь на элементарные: ра+Зр+8 2 —,р+6 , (Р+ 1) (ра — р+1) р+! Ра — р+1 1 У-з 1 Р—— 2 11 2 ~2 ° (-И'+(Ю' " ( — ')' (%' Пользуясь таблицей 1, пишем решение — 'г / Р.з 11 )У з х(!)=2е-!+ез !ч — соь — !+=в!п — ! ).
2 Рз 2 Пр,имер 3 Найти решение уравнения с!ех — +х=!соа 21, с(!а удовлепюряющее начальным условиял! х= — О, хе=О при 1=0. Р еще н не. Пишем вспомогательное уравнение (34 ): 1 8 'л (Р) (Р +1) а 1,1 ( а+4)аз 14 Н. С. Пискунов, т. 2 !гл. х!х опвудционнон исчислвнив 418 откуда после некоторых преобразований получим 5 ! 5 1 8 1 (р)= — — + — + — —.
9 ра+1 9 р'+4 3 (рт+4)а' Средовательно, 551/1 х (Г) = — — Мп !+ — з!и 2!+ — ~ — з!и 2! — ! соа 2!) . 9 18 3!2 Очевидно, что операционным методом можно решать и системы линейных дифференциальных уравнений. Покажем зто на примере. Пр имер 4. Найти решение системы уравнений — +4 — +Зу=о ах оу о! б! 3 — +2х+ — = 1 ох с!у о! и! удовлетворяюшее начальным условиям х=О, у=о при 1=0, Решен ие. Обоаначнм х(!) .' х(р), у (Г) ч'-у(р) и напишем систему вспомогательных уравнений !Зр+2) х(р)+ру(р) = —, рх(р)+(4р+3) у(р)=0.
р Решая эту систему, находим — 4р+3 1 1 р (р+1) (11р+6) 2р 5 (р+1) 1 1 у 1 (11р+6) (р+1) 5 ( р+1 33 10 (11 р+ 6) ' 1! 11р+6) ' По изображениям находим начальные функции, т. е. искомые решения системы, в )г б ъ «(!) = — — е -1 — е ', у (с) = — ( е - г — е ' /. 2 5 10 ' 5~, Аналогично решаются и линейныЕ системы высших порядков. 9 13. Теорема свертывания (39) Р,(р) Р,(р); ~ Г,(т) 1а(! — )г(т. о При решении дифференциальных уравнений ' операционным методом бывает полезна следующая Теорема свертывания.
Если Р,(р) и Р,(р) суть изображения функций ),(!) и !а(!), т. е. Р,(р) — ' ~,(!) и Рз(р) — -' ' уз(!), то Рт(р) Ра(р) есть изображение функции ~ у, (т) )т (! — т) !(т, о 9 1О1 теоРемА сВеРтыВАния 419 Доказательство. Найдем изображение функции ~ 1. (т) 1О (1 — т) «'О. О исходя из определения изображения: +а с 1ОССС.Сс- Сс -1 *-"'(1С,ССС.Сс-оа)сс О О О Стоящий справа интеграл есть двукратный интеграл, который берется по области, ограниченной прямыми т=О, о=с (рис.
398). Изменим порядок интегрирования вэтом инте- грале, тогда получим ° ~11(т)1,(-,т) 1.- 1о +ар +а -1 ~ОС С1 - С.Сс- Ссс1с. Рис, 398, Произведя замену переменной 1 — та а во внутреннем интеграле, получим Итак, ~ 1,(т) 1,(1 т)~(т-.- р,(р) р,(р). о Это есть формула 15 таблицы 1. с Замечание 1.
Выражение ~),(т) 1О (1 — т) с(т называется о сверлской (складкой) двух функций 71(1) и ~О(1). Операция получения свертки называется сеерсснсванием двух функций, при этом с $6(т)1,(1 — т)с(т=~) (1- )Р,(т)с(т. о о ~ е Осего(1 — О) Ж=) е Рс'+'11,(г)с(г=е Р'( е Р'1О(з)с(г=е Р'ГО(Р). О о о Следовательно, +а + а ~1)6()1,(1 — )( =~ 1,() - Р,(р)(=Р,(р)~,— г,(,),(, 1о о о = ро (р) рт(р), 1гл. хих операционное нсчислкннн 430 Справедливость последнего равенства устанавливается путем замены переменной 1 — тт л в правом интеграле. Пример.
Найти решение уравнении р» ' — е+»=1(1), удовлетворяющее начальным условиям хе=ха=о при 1=0. ', Р е ш е и и е. Пишем вспомогательное уравнение (34'). 'х (р) (р'+ !) = р (р) ' ! где Р(р) — изображение функции 1(1). Следовательно, х(р)= — Р(р), но ра.! ! ! р'+! ' — ' з1п1 и Р(р) . 1(1). Применяя формулу свертывания (39), обозначив ! р*+1= ' — =Ра(р), Р(р)=рь(р), получим х(1)= ~! (ч) з!п(1 — т)от. (40) о Замечание 2.
На основании теоремы свертывания легко находится изображение интеграла от данной функции, если известао изображение этой функции; а именно, если г" (р) '. 1(!), то (4)) Действительно, если мы обозначим 1',(!)=1(1), 1а(()=1, то )е,(р)=Р(р), г"а(р)= —. Подставляя этн функции в формулу (39), получим формулу (4!). $ !4'. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей Из механики известно,' что колебания материальной- точки массы пг описывая!тся уравнением *) пах ь ох й 1 — + — — + — х= — ) Р)' (42) здесь »вЂ отклонение точки от некоторого положения, Й вЂ жесткость упругой системы, например пружины(рессоры), силасопротивления движению пропорциональна (с коэффпциентом пропор- ') См., например; гл. ХП1, 4 »6, где такое уравнение получено при рассмотрении колебании груза на рессоре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
