34_PiskunovT2 (523113), страница 64
Текст из файла (страница 64)
дхз дуз ного окружностями ха+уз=)1х, ха+уз=)!з, удовлетворяющее условиям ди ) дг )г=л, 2ЛпЛ! ' Дать гидродинамическое истолкование задачи. Ун аз а и не. Решить задачу в полярных координатах. Отз. и=и — !н —. ' е л, 2Лг! г ' 15. Доказать, что функция и(х, у) =е-и з!их есть решение уравнения дзи дзи — + — =0 в квздрате 0 ~х~!, О~у~1, удовлетворяющее условиям дхз дуз и (О, у) = О, и ( 1, у) = е-а зш 1, и (х, 0) = з1п х, и (х, 1) = е-! з1п х. 10. В задачах 12 — 1й решить уравнения Лапласа прн данных граничных условиях методом конечных разностей при й=0,25. Сравнить приближенное решение с точным. ГЛАВА Х!Х ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИИ Операционное исчисление в настоящее время является одной из важных областей математического анализа.
В физике, механике, электротехнике н других науках при решении различных вопросов используются методы операционного исчисления. Особенно широкое применение операционное исчисление находит в современной автоматике и телемеханике. В этой главе (иа базе материала предыдущих глав учебника) будут даны основные понятия операционного исчисления *) и изложены операционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. й 1.
Начальная функция и ее изображение Пусть задана функция действительной переменной 1, определенная при !)О (иногда мы будем считать, что функция )'(!) определена на бесконечном интервале — оо < ! <+ оо, но !'(!) = 0 при ! < О). Будем предполагать, что функция 1(!) кусочно непрерывная, т. е. такая, что в любом' конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода (см.
9 9 гл. 11 т. 1). Для обеспечения существования некоторых интегралов в бесконечном интервале 0 < ! <+ оо мы наложим на функцию ! (!) дополнительное огранцченне. Именно, будем предполагать, что существуют постоянные положительные числа М и з, такие, что (Г(!) ! < г!1сг„г (]) прн любом значении ! из интервала О<! <-(-оо.
*) Для дальнейшего изучения операционвого исчисления и его приложений можно указать следующие книги: Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения н задачам механики.— МЛ Лл Госзехнздат, !950; Дитк н н В. А. и К у ч н е цо в П. И. Справочник по операционному исчислеиию.— Мл Лл Гостехиздат, 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П. г1нтегральные преобразования и операционное исчисление.— Мл Физматгиз, 195П М вкус инский Я. Операционное исчисление.— Мл ИЛ, 1956. $!! НАЧАЛЬНАЯ С УНКЦИЯ И ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ 401 Рассмотрим произведение функции 1(() на комплексную функцию е Р' действительной переменной *) 1, где р=а+!Ь(а Р 0)— некоторое комплексное число: е Р') (~) (2) Функция (2) — тоже комплексная функция действительной переменной П е Р!1 (()=е " 'ь"1(О=е-'~Яе 'ь'=е аг)ЯсозИ вЂ” (е "')Яз(ИЫ.
Рассмотрим, далее, несобственный интеграл +и а + ~Ф ) е Р11(()й(= ~ е ")(()созИй( — ( ) е аг)'(()згпЫг(!. (3) о о о Покажем, что если функция )(() удовлетворяет условию (1) и а ) з„то интегралы, стоящие в правой части равенства (3), существуют и сходимость интегралов абсолютная. Оценим сначала первый из этих интегралов: + и ем ~ )г е ")(() созЫШ ~( ~ (е "1(()созЫ (а( ( о о еа +и ( М ~ е "е* г с(( = М ) е " ай г Ш = —. М и — ~" о о Аналогичным образом оценивается и второй интеграл.
Итак,. инте+а грал $ е г')(()й( существует. Он определяет некоторую функо цню от р, которую мы обозначим **) Р(р): е ОР Р (р) = ) е Р'( (() йг'. (4) о Функция Р (р) называется лаплаеоеьгм изображением, или Ь- изображением, или просто изображением функции ((!). Функцию )(О называют начальной функцией, нли оригиналом. Если Р(р) есть изображение функции ~(О, то пишут так: Р(р) —: 1((), (5) или 1(()-:Р(р). (6) ') О комплексных функциях действительной переменной см. 4 4 гл. Ч!!. ьь) Функция г" (р) при р Ф О есть функция комплексной переменной (см., например, книгу: С и' и р н о в В.
И. Курс высшей математики, т. Ш, ч. И.— А(д Наука, 1974). Преобразование (4) аналогично преобразованию Фурье; рассмотренному в 4 14 гл. ХЧП. 1гл. хгх ОПЕРАЦИОНИОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ или (л ЕУ(Ф=Р(р) Как мы увидим в дальнейшем, смысл введений изображений заключается в том, что с их помощью удастся упростить решение многих задач, в частности, свести решение дифференциальных уравнений к проведению простейших алгебраических операций для нахогкдения изображения.
Зная изображение, можно найти оригинал или по заранее составленным таблицам с<оригинал — изображение», или методами, которые изложены ниже. Возникают следующие естественные вопросы. Пусть дана некоторая функция с (р). Существует ли функция Г(г), для которой г (р) является изображением? Если существует, то единственна ли такая функция? На оба вопроса при определенных предположениях относительно г (р) и ) «) дается положительный ответ. В частности, единственность изображения устанавливается следующей теоремой, которую мы приведем без доказательства: Теорема единственности. Если две непрерывные функции <р«) и ф«) алеют одно и то же Е-изображение Р(р), то вти функции тождественно равны. Эта теорема во всем дальнейшем играет очень важную роль.
Действительно, если при решении практической задачи мы каким-то образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании сформулированной теоремы мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи, н других решений не существует. $ 2. Изображение функций ае(к), и!ИС, соак 1. Функция у(1), определенная так: у(г)=1 при г)0, у(г)=0 при 1 <О, называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через ае «). График этой функции изображен на рнс. 397. Найдем Е-изображение функции Хевисайда: .<.
ф Е(,«))= ~ — й(= — — ~ = — ). о + ф *) Прн вычислении интеграла ~ е-»<Ж можно было бы его представить о как сумму интегралов от действительных функций; мы получилн бы тот же результат. Это замечание относится и к последующим двум интегралам. ИЗМЕНЕННЫИ МАСШТйв Итак 1 Р (8) или, точнее, о, (!) 1 Р' В некоторых руководствах по операционному бражением функции )'(1) называют выражение Р* (р) = р ) е р''((1) Ш.
о исчислению изо- Прн таком определении будем иметь и, (() -:-1, а следовательно, С:— С, точнее, Сае(!): С. 11. Пусть )'(1)=в)п(; тогда .~- со Г е .. е-М ( — р еш 1 — сое !) Е(в!п()= е! е-и в)пга1= р'+1 о Рис. 397 Итак, в1пг !- —. ! р'+1 ' Ш. Пусть 7(1)=сов!; тогда + СО Е(сов() = ') е р1 сов(й= ! е-и! (и!и ! — Р сов!)!+~с р ре+1 ! о — ре+1 о Итак, совг: — — .
Р ' ре+1 ' (10) Рассмотрим изображение функции 7(а(), где а) Ол + Ф Е Ц (а!)) = ~ е РЧ (и1) с(1. о Сделаем замену переменной в последнем интеграле, полагая а = аг; следовательно, Й = ас((; тогда получаем Ф Р Е(1(аг))= — ~е ' 1(г)с(е, о 5 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций в1пае, соваФ !ГЛ. Х1Х ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ или Т. !!) (а))) = — Г ( — ) .
Таким образом, если У (Р) —: П!), пю — у ) — ' ~: ~(а!). о' !иу (11) Пример 1. Из формулы (Э) на основании (!!) непосредственно полу- чаем нли и з1п и! < —— Ра+ а Пример 2. Из формулы (1О) нз основании формулы (1!) получаем Р 1 соз аГ " (Й+' (12) нли соз аГ Р Ра ~ ва' й 4. Свойство линейности изображения (С; — постоянные) и, У (Р) —: Р(!) У! (Р) —: Р! (1) то и У(Р) = Х СГ;(Р).
, (14') Доказательство. Умножая есе члены равенства (!4) нз е и' н интегрируя по ! в пределах ог О ло +со (вынося мноакнтели С;'зз знак интеграла), получаем равенство (14'). П р н и е р 1. Найти изображение функции ) (Г) = 3 а!и 41 — 2 соа 5Н Теорема. Изображение сугялгы нескольких функ!!ий, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений втих функций, умноженных на соответствуюи!ие постоянные, т. е. если и у(!) = ~ сл(!) (14) изоврджкнив оннкции а-ас, зьас, спас $ 41 Решен ие.
На основании формул (12), (13) и (14') получаем (с(с)) 3 4 2 р 12 2 рс+!6 р'+25 рс+16 рз+25 ' Пример 2. Найти начальную функцию, ввобраксеяве которой выразкается формулой 5 20р Г (р) = — + —. +4 р +9' Решение. Представим Р(р) так: 5 2 Р г" (р)= — . +20 —. 2 ра-1-2а рз-1-Зю Следовательно, на основании форчул (12), (13) и (14') получаем 1 (С) = — з!п 21+ 20 сов 31. 5 2 Из теореиы единственности в 4 1 следует, что зто едннстненная начальная функция, соответствующая данной Г (р).
й 6. Теорема смещения Теорема. Если Е(р) есть изображение функции 1(1), то Е(р+а) есть изображение Функции е '1(1), т. е. если Г(р) — ' 1(1), пю Е(р+и)-' е а'1(1). (16) (Здесь предполагается, что Ке(р+сс) > з,.) Доказательство. Найдем изображенйе функции е-"'1(1): Ю О с (е-ас1 (1)) ~ е-т-ас1(1)с(1 ~ е — о+а) 11(1) л( о о Таким образом, Е (е-а1(1)) = Е(у+и). Доказанная теорема позволяет значительно расширить класс изображений, для которых легко находятся начальные функции.
й 6. Изображение функций е-а', з(так,сЬае,е-"'з(па2, е-а!совая Из формулы (8) на основании формул (16) непосредственно следует ',, е-ас 1 о+к (16) Аналогично (16') Вычитая из членов соотношения (16') соответствующие члены соотношения (16) и деля результаты вычитания на два, получаем ас (Еас Е-ас) 2 1р — а р-(-а,) ' 2 (гл.
х!х ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ или (запнсывая а вместо а) з)! а(. Р— о Аналогично, путем сложения (16) и (16') получаем Р р' — а' ° — -' с)! а(. Из формулы (!2) на основании формул (15) следует -а! +„,+, -' е згпа(. Из формулы (13) на основании формул (15) следует Р+а +,+, -'- е сова!. (17) (18) (19) (20) Пример 1. Найти начальную функцию, изображение которой задается формулой 7 рз+10р+41 ' Решение. Преобразуем Р(р) к виду выражения, стоящего в левой части соотношения (!9): 7 7 7 4 рз+П)р+41 (р+5)а+16 4 (р+5)з+4Ч ' Итак, 7 4 4 (р+5)'+4а ' Следовательно, на основании формулы (19) будем яметь Р(р) —: — е-ма!и 4П 7 4 Решение. Произведем преобразование функции Р(р): р+3 (р+Ц+2 р+1 2 ра+2р+10 (р+ цз+9 (р+ Па+За (р+ цз+Зз р+1 2 3 (р+Ц +3 +з'(р+Цз.( зз' на основании формул (!9) и (20) находим начальную функцию; г (р) -.:-ь е-'соз 31+ — е-! з1п 3!. 2 3 П р и мер 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
