34_PiskunovT2 (523113), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть эта форма определяется функцией 1(х). Таким образом, должно быть и (х, 0) = и ~ е, = 1(х). (3') Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией <р(х). Такимобразом, должно быть УагАВНЕИИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ггл. Хтп! Она расходуется на зарядку злемента, равную СЛх — Лг, и на гха утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную Ао Лх Ла (здесь А — козффициент утечки).
Приравнивая зти выражения и сокращая на ЛЕЛа, получим уравнение да дга — х+С вЂ”,+АЗ=О. дх д1 Уравнения (5) и (6) принято называть телегра4ньиии уравнениями. Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию г (х, а), и уравнение, содержащее только искомую функцию о (х, г). Продифференцируем члены уравнения (6) по х; члены уравнения (5) продиффереицируем по г и умножим их на С. Производя вычитание, получим Подставляя в последнее уравнение выражение — х из уравнения(5), даа получим —;", +А ( — И вЂ” Š—,",) — СЛ вЂ”," — СА —',*„' =О или —,, =СŠ—,, +(Сгг+ АЬ) — +Агхг; (7) Аналогичным образом получается уравнение для .определения о(х, 1): —,"; = С~ —",,', +(С)7+ А7.) — ',", + А)~о. (8) Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=О) и сопротивлением (Я = О), то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения дга дг; а дгаа дгз дхг дм ' дха дР где обозначено а'= !!С7..
Исходя из физических условий, форму- лируются граничные и начальные условия задачи. й 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) Метод разделения переменных (нлп метод Фурье), который мы сейчас рассмотрим, является типичным для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение Решение уРАВнения колееАннй стРуны уравнения д'и д'а — = о~— дР дх~ ' удовлетворяющее краевым условиям и(0, М)=0, и(1, М)=0, и (х, 0) = 7 (х), — „! = Р(). (2) (3) (4) (5) Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2) и (3), в виде произведения двух функций Х(х) и Т((), из которых первая зависит только от х, а вторая только от г: ' и (х, 1) = Х (х) Т (г).
(б) Подставляя в уравнение (1), получаем Х(х)Т" (г)=а'Х" (х)Т(г) и, разделив члены равенства на а'ХТ, Т' Х' а'Т Х' В левой части Етого равенства стоит функция, которая не зависит от х, а в правой †функц, не зависящая от Г. Равенство (7) возможно только. в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от (, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через — Л, где Л ) 0 (позднее будет рассмотрен и случай Л ( 0). Итак, Т Х' Т= а'Т Х Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3). Так как Т(1)чьО (в противном случае будет Из зтпх равенств получаем два уравнения Х" +ЛХ=О, (3) Т" +а%Т=О. (О) Общие решения зтих уравнений будут (см.
гл. ХП1, 3 21) Х(х)= Асов)~'Лх+Вз1п$"Лх, (1О) Т (1) = С соз а )'Л 1+ Р з1 п а Р" Л (, (11) где А, В, С, 1) †произвольн постоянные. Подставляя выратнения Х(х) и Т(1) в равенство (6), получим и(х, 8) =(А соз]~ Лх+В з1п )~Лх) (С сов аУЛ1+Р знпаTЛ 1) . уеавнвния матцматической Физики [гл. ханш и(х, !) =О, что противоречит поставленному условию), то функция Х(х) должна удовлетворять условиям (2) и (3), т. е.
должно быть Х (0) = О, Х (!) = О. Подставляя значения х = 0 и х = 1 в равенство (10), на основании (2) и (3) получаем О=А 1+В О, О=Асов)~ Л!+Вв[п»ГЛ!. Из первого уравнения находим А=О. Из второго уравнения следует Вв1пУЛ[=0. В~О, так как в противном случае было бы Хв— м 0 и и=О, что противоречит условию. Следовательно, должно быть в[пУЛ1=0, откуда 1/Л = — "" (п=1, 2, ...) (!2) (мы ие берем значение я=О, так как в этом случае было бы Х = О и и = 0). Итак, мы получили Х= В в[и — х. (13) Найденные значения Л называются собственными зничениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х(х) называются собслыенными функциями. Замечание.
Если бы1 мы взяли вместо — Л выражени~ Л=й', то уравнение (6) приняло бы вид Х" — йзХ = О. Общее решение этого уравнения: Х = Ае"."+ Ве-а~. Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (2) и (3). Зная )~Л, мы, пользуясь равенством (1!», можем написать 'ГЯ=Ссов — !+Ов1п — ! (я= 1, 2, ...), (14) Для каждого значения а, следовательно, для каждого Л, выражения (!3) и (14) подставляем в равенство (6) и получаем решение уравнения (!), удовлетворяющее граничным условиям (с) и (3). Это решение обозначим и„(х, !): а„(х, !) = в!и — х (С„сов — !+В„в1а —" !) .
(15) Для каждого значения а мы можем брать свои постоянные С и 1) и потому пнпюм С„и 0„(постоянная В включена в С„и О„). Рийвнив,РРАВнвння колвваннй стРРны Так как уравнение (1) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом Ю и (х, 1) = ~~~~ ~ил (х, 1), л=1 и(х, 1)=~~~ (С„соз — 1+Р„з1п — ~1) зйп — х, (16) л 1 также будет решением дифференциального уравнения (1), которое будет удовлетворять граничным условиям (2) и (3). Очевидно, ряд (16) будет решением уравнения (1) только в том случае, если коэффициенты С„ и Р„ таковы, что этот ряд сходится и сходятся ряды, получа1ощиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по 1.
Решение (16) должно еще удовлетворять начальным условиям (4) и (5). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных С„ и Р,. Подставляя в равенство (16) 1= О, получим (см. условие (4)) ~и 1(х) =,)„, С„з(п — х. (17) и=! Если функция 1(х) такова, что в интервале (О, 1) ее можно раз- ложить в ряд Фурье (см. $ 1 гл. ХЫ1), то условие (17) будет выполняться, если положить С = — 1(х)з1п — "" хо(х. (18) Далее, дифференцируем члены равенства,(16) по 1 н подставляем (=О. Из условия (5) получается равенство СО алл .
ля ф(х) = А Р— з1п — х. А~ л и=! Определяем; коэффициенты Фурье этого ряда: с Рл — = — ) ф(Х) З)П вЂ” Х1(Х, алл 2 Г . ля о Р„= —,„„~ ф( ) з1 — йх. (19) о Итак, мы доказали, что ряд (16), где коэффициенты Си и Р„ определены- по формулам (18) и (19), если он допускает двукратное уРАВнения мАтемАтическои Физики ггл. хуп! почлеиное дифференцирование, представляет функцию и(х, 1), которая является решением уравнения (!) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (2) — (5). Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (16) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования.
При этом функция 1(х) должна быть дважды дифференцируемой, а !р (х) — один раз дифференцируемой '). й 4, Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи (2) *) Подробно об зтяк условнях см., например, в книге: Твко нов А. Н., С а ма рек я й А. А. Уравнения математической фнзнкн. — Ми Наука, !977.
"ч) Скорость распространенна тепла, нлн скорость теплового потока, определяется так: 1пп Щ Аг- о А! где Ь!г — количество тепла, прошедшего через сечение Я за время А!. Рассмотрим однородный стержень длины 1. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне. 4 л) а) Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет Рнс. 39!. совпадать с точкой х=О, а другой — с точкой х=1 (рис.
391). Пусть и(х, 1) — температура в сечении стержня с абсциссой х в момент 1. Опытным путем установлено, что скорость распрост- ранения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сече- ние с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой д ди (1) где 3 — площадь сечения рассматриваемого стержня, й — коэффи- циент теплопроводностн '*). Рассмотрим, элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х, и х,(х,— х,=Ах).
Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х, за время А), будет равно ди ~ то же самое для сечения с абсциссой х,: Лд, = — й д — "! З А1. (3) дай =а, $43 РРАВнение РАспРОстРАнения теплА В стегжне зтз или Ь чае — ЬЯ, ж ср Лх  —" И, где с — теплоемкость вещества стержня, р — плотность вещества стержня (р Ьх 3 — масса элемента стержня). Приравнивая выражения (4) и (6) одного и того же количества тепла Ь() е — Ьчг„получим й —, Ьхо И= срЬх5 — И, или ди А 'дви ~~ = ср дхе Обозначая й7ср = а', окончательно получаем ди деи — = а' — „.
дг дхе ' (6) Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроеодности) в однородном стержне. Чтобы решение уравнения (6) было вполне определенно, функция и(х, 1) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для 0< 1(7', следующие: и(х, 0)=ф(х), (7) и(0, ()=фч(Х), (8) и(),' () = р,'(().' (9) Физически условие (7) (начальное условие) соответствуеттому, что при т=О в различных сечениях стержня задана температура, равная ~(х).
Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х=О и при х=1 поддерживается температура, равная фт(г) и ф,(1) соответственно. Приток тепла ЬЯ~ — ЬЯ, в элемент стержня за время И будет равняться Ьм'т — Ыгь = ~де~ ~Ь~~ ~ ~де~ ~М~ »и д 2 ЬхоЬт (4) ( мы применили теорему Лагранжа к разности —.~ — ~ ), ди ! ди! дх )„„., дх ~„. Этот приток тепла за время И затратилсяна повышение темпера- туры элемента стержня на величину Ьи: Ь٠— Ь(е,=срЛхЯЬи, увьвнеимя мАтвмАтичвскэн 'Физици [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
