34_PiskunovT2 (523113), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, и) функцию )(х)=х при — и < х~О, Р(х) = 2х при О ~ х ~ и. 1 2 Гсозх сазЗх сов бх Оаз. — и — ~ — + — + — +...)+ 4' и~ 1з, Зз 5з 2. Поль уясв разложением функции ! (х) =1 в интервале (О, и) по сину- 1 1 1 и сам кратных дуг, вычислить сумму ряда 1 — — + — — — +... Ота. —. 3 5 7 '" ' 4' 3. Пользуясь разложением в ряд Фурье функции Г (х) =х", вычислить 1 1 1 1 из сумму ряда — — + — — +... Ота.
—. 1з 2з Зз 4е " ' 12 пз хз 4. Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, и) функцию ! (х)= — —. 12 4' соз 2х соз Зх соз 4х Оав. созх — — + — в — — +... 2з 3 4з 5. Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, и) функцию и+х ) (х) = — — при — и ~ х < О, 2 !(х)= — при О~х < и. 2 1 Отв. з!и х+ — з1п 2х+ — и!и Зх+... 2 3 6. Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, и) функцию Г(х)= — х при — и < х~О, Г(х)=О при О < х~п. Ото.
и 2 соз (2т+1)х и ~ зш их 4 и 2.~ (2т+ 1)з 2ы и и'ч ( 1)В з т о 7. Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, и) функцию Г (х) = 1 при — и < х ~ О, !(х)= — 2 при О < хи-и. 1 6 чсч ат (2л+1) х 2 и Ла 2л+1 а=о 8. Разложить функцию Г (х) =х' в интервале (О, и) в ряд только синусов. 2 чьч (из 2 Оаз. — ч ( — 1)че' С вЂ” + — (( — !)" — Ц~ з!п лх. ' ила !(л пз л ! 9.
Разложить функцию у=сов 2х в интервале (О, и) в ряд только синусов. 4 Га!пх Зз!пЗх 5зп15х Оаз. -- ~ — + — + — +...1. а (2з — 1 2з — Зз 2з — 5з 10. Разложить фуницию р=з!пх в интервале(О; Щ в-ряд только коси- 4 Г 1 созйг. сов 4х нусов. Ота. — ~ — + — + — +...1'. ' и)2 1 — 2з 1 — 4з УПРАЖНБНИЯ К ГЛАВВ ХЧ!! И. Разложить в ряд Фурье функцию у=е» в интервале ( — 1, !). лпх лпх е! — е-! л ( — 1)лсоз— 11 л ( — !)л-1лз!ив Рпа!. — +1(з! — е-!)~~ +п(а! — е-!) ~Ц!~~ ! л=! л=! 12, Разложить функцию ! (х) =2» в интервале (О, 1) в ряд только, синусов.
Ю Рлн! '~л ( 1)»+!~ п ' пхл и' л=! 13. Разложить функцию 1(х) =х в интервале (О, 1) в ряд только синусов. 21 !р л вй! —, рль! тел ( цл+! ' л~.ю л л ! 14. Разложить функцию х при 6<»~1, ( 2 — х при '1 < х < 2 в интервале (О, 2): а) в рид только синусов; б) в рид только косинусов. (2п+ 1) пх 8 „2 1 4 ц-т сох(2л+1) пх ') йети( ')" (2л+1) ' О) 2 йе т (2л+1) л=е л=з Г Л А В А ХЧ111 УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ й 1. Основные 'типы уравнений математической физики Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.
1. Волновое уравнение: дйи е деи дР дхм — =а' — „. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. И. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье: ди д~и ае дг дле ' (2) К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в по.
ристой среде (например, фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. 111. Уравнение Лапласа: деи де и (з) К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д., Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа. В уравнениях (1), (2) и (3) искомая,функция и зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие урав- ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 365 $21 пения и для функций "с ббльшим числом переменных.
Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет внд (2') уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными имеет вид д«и д«и д«и — + — + — =О. дх« ду« дгд (3') й 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины ( в начальный момент направлена по отрезку оси Ох от О до Е Предположим, что концы струны закреплены в точках х= О и х Е Если струну отклонить л К от ее первоначального положе- ' 2Г« иия, а потом предоставить самой «М себе, нли, не отклоняя струны, лт лх 4 придать в начальный момент ее Рис.
389. точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения — говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в опредеч2ении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости.
При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией и(х, 1), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент (рис. 382). Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в пло- скости (х, и), то будем предполагать, что длина элемента струны нвлвнвния млтнмлтичнскои еиэикм 1гл. хчш М,Мч равняется ее проекции иа ось Ох, т.
е.е) М,М,'=х,— хт. Также будем предполагать,'что натяжение во' всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны гэ ' ММ' (рис. 390). На концах этот го элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ох Рнс. 390, углы ф и ф+Л<р. Тогда проек- ция на ось Ои сил, действующих на элемент ММ', будет равна Т з!п(ф+Ьф) — Т з!пф. Так как угол ф мал, то можно положить 1нфжз!пф, и мы будем иметь Тз!п(ф+Ьр) — Тз!пфж =Т1р,(ф+бф) Т1нф=т ~'"'+З" "— '"' ")~= дх дл = Т д " ~"+ В ~л' 0 стх т Т д " (х' Г) гьх дла дла 0<8<! (здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть р— линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет деи рбх. Ускорение элемента равно †, . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь д'и деи Рбх~а = Т длейХ. Сокращая на гьх н обозначая Т!ре аа, получаем уравнение двитнення даи даи (1) Это и есть волновое уравнение — уравнение колебаний струны, Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно.
Искомая функция и(х, 1) должна удовлетворять еще граничным условаяле, указывающим, что делается на концах струны (х = 0 и х = 1), и мачалоногм условиям, описывающим состоя- е) Это предположение анвнвалентно тому, что мы пренебрегаем величавой иа~ по сравненню с !.
Действительна, дттюа=~ ~,1*и7дл=~ ~1+ — иа'-ч..) даю ~дл-ле — лв 2 . вывод гглвнвння колевлнни атвгны 367 нне струны в начальный момент (1=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х=О и х=1 неподвижны. Тогда при любом 1должны выполняться равенства и(0, 1)=0, и(1, 1)=0. (2') (2") — =т(). (3") Условия (3') и (3") являются начальными условиями. Замечание.
В частности, можетбыть1(х)= — 0 пли нер(х)=0. Если же )'(х) = — 0 и ч (х) =О, то струна будет находипся в покое, следовательно, и(х, 1) =О. Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной 1(х, 1) и напряженнем о(х, 1), которые зависят от координаты х точки провода н от времени 1. Рассматривая элемент провода Ьх, можем написать, что падение напряжения на элементе Ьх равно о(х, 1)— — о(х+Лх, 1) ж — — Лх. Это падение напряжения складывается дк ~дг из омического, равного 11т Ьх, н индуктивного, равного — Ейх.
Итак, — Ах=К Лх+ — Е Ьх, дс де дк де (4) где )е н Š— сопротивление и коэффициент нндуктивиостн, рас- считанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию о. Сокращая на Ьх, получаем уравнение д +1й+Е де =О дч . д1 (5) Далее, разность тока, выходящего из элемента Ьх, и тока, вхо- дящего в него за время а1, будет ! (х, 1) — 1(+д, 1)1й1= — дым. Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент 1=0 струна имеет определеннуюформу, которую мы ей придали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
