34_PiskunovT2 (523113), страница 82
Текст из файла (страница 82)
е. $ аОД+ АДЬО!)= $ с;Д (1) если Л~а;т~~=~Ладт$. (з) Если Л целое, то формула (3) получается как следствие правила сложения матриц. Пример 2. Л~ д' Произведение двух матриц. Пусть имеем линейное преобразование плоскости х,Ох, на плоскость у,Оу,; у,=а„х,+а„х„у,= а„х,+а„х, (4) с матрицей преобразования А ~адд адв~ сад авв ' (5) Пусть, далее, произведено линейное преобразование плоскости у,Оу, на плоскость г,Ог,: г,=Ь„у,+Ь„ц„, =Ь„ц,+Ь„ц, (б) с матрицей преобразования д ~Ьдд Ьдв~ Требуется определить матрицу преобразования плоскости х,Охд на плоскость г,Ог,. Подставляя выражения (4) в равенства (6), получаем г; = Ь„(а„х, + а;,х,)+ Ь„(а„х, + а„х,), г, = Ьм (аддхд+адхв)+Ьвв(авдхд+аввхв)в а!т+Ь;;=сы (1=1, 2, ..., т; 1=1, 2, ..., п), (2) 1адд адв1, 1Ьдд Ьдв!! !!адд+Ьдд адв+Ьдв~ Пример 1.
~ ' ~авд авв~ ~Ьвд Ьвв~ ~авд+Ьвд. авв+Ьвв ' Аналогичным образом определяется разнослдь двух матриц. Целесообразность такого определения суммы двух матриц, в частности, следует из представления вектора как столбцевой матрицы. Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число Л, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы: 1гл. хж МАТРИЦЫ ив ет =(Ь„а„+Ь„а„) дед+(Ь,,а;,+Ь„а„) лм г, = (Ь„а„+Ь„а„) х,+ (Ь„а„+Ь„а„) х,. Матрица полученного преобразования будет 1Ьддадд+Ьдвавд Ьддадв+Ьдвавв ~ 1Ьвдам+Ьввавт Ьвдам+Ьввавв(' (8) (9) или коротко с=~~" "*~.
с,д с„' (10) сдд ...... сьв ... с;у ... Ь„Ь„... Ьд» адд а„ ... аду ... ада авд авв "аву" авп Ь„Ь„... Ьг» Ь„,Ь„,... Ь „ сад ...... с,„„ а»! а», ... а»у. а»» Элемент с; матрицы С, являющейся пронзведениемматрицыВ на матрицу А, равен сумме произведений элементов д-й строки матрицы В на соответствующие элементы )дго столбца матрицы А,т. е.
еду —— ,..'.', Ьддам (1=1, 2, ..., ад; /=1, 2, ..., и). Ам! П р и м е р 3. Пусть в5 о$' А 3~! о5' тогда ВА=)о о|!'1! о~ (о о 1' АВ Д! 3'Цо оЦ Ц! оД' В данном примере ВА ~ АВ. Матрицу (9) называют произведением матрнц (7), (5) и пишут 1. ~! )Ьдд Ьдв!~ 1адд ад»1 '1Ьддадд+Ьдвавт Ьддадв+Ьдвав»$ (11) !Ь„Ь,»1 1авд ам/1 1Ьвдадд+Ь„авд Ьвдадв+Ьввав»$' нлн коротко В А=С. (12) Сформулируем далее правило умножения двух матриц В и А,' если первая содержит ад строк н й столбцов', а вторая й строк и п столбцов. Схематически оно показано в равенстве Ьз! двнствия над матрицами.
сложвнив млтгиц 5П Мы пришли к следующему выводу. !7ри умножении лдитрид4 не справедлив переиестительный 'закон. П р н м е р 4. Даны матрицы А= 021, В= 201 Найти АВ н ВА. Решен не. По формуле (13) находим Пример 5. Найдем произведение матриц: 1Ьи Ьдв одзи -~.1 ам адв адз ~ 1.1Ь„Ь„Ь„~1= '* "* " 1 15,1 Ь„ Ь„'1 аддЬдд+адвЬвд+а,зЬвд аддЬ1,+а„Ьвв+адвЬзв аддздз+адвзвз+адзЬзв! ддвдЬдд+авззвд+авзезд авдздв+аввевв+ддввззв амЬдз+ааЬвз+авзЬзв1 Путем непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц (й — число, А, В, С вЂ” матрицы): (йА) В=А (йВ), (А+В) С=А С+В С, С (А+В)=СА+СВ, А (ВС)=(АВ) С.
На основании правил умножения квадратной матрицы А на число й и правила вынесения общего множителя элементов столбцов определителя для матрицы и-го порядка следует Ь (йА) = й"Л (А). Так как ври умножении двух квадратных матриц А и В получается квадратная матрица, элементы которой образуются по правилу умножения определителей, то очевидно, что справедливо следующее равенство: !1д(АВ) =Л(А) Л(В). Умножение на единичную матрицу. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю (как указывалось выше), называется единичной матрицеи. 1 1 О+О 2+О 1 АВ= 0 О+2 2+1 1 3 О+О 2+0.1 10.!+1 О+О 3 ВА = 2 1+0 О+1 3 1 1+О О+1 3 1 1+О О+О 0 0 1+2 О+1 0 3 1+0.0+О 0 0 О+1 2+О 0 20+02+10 1 0+0 2+1 0 1 О+О 1+О 1 0 О+2 1+1 1 3.0+О 1+О 1 0 О+1 1+О 0 2 О+О 1+1 0 1 О+О 1+1 0 010 503, 030 О 21 500.
400 (14) (15) (16) (1д) ггл. хха МАТРИЦЫ Так, единичной матрицей 2-го порядка будет (20) На основании правила умножения матриц получаем: АЕ ~~вв авв)! ~ ~ ~~вв ~вв~ АЕ= А, ЕА=А. т. е. (21) а также . (22) Легко видеть, что произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице, т. е. справедливы равенства (21) и (22).
Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной. Единичной матрице (20) соответствует преобразование у,=х„у,=х,. Такое преобразование называется тождественным. Обратно, тождественному преобразованию соответствует единичная матрица. Аналогичным образом определяется тождественное преобразование любого числа переменных. $ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы (2) Пусть дан вектор Х = хв8+х,.~+х,й, который запишем в виде столбцевой матрицы х=~*,~.
Произведем преобразование проекций этого вектора с помощью матрицы 1 авт авв авв~ А = авг ам авв~; авв авв авв у, = а„х, + а„х, + а„х„ у,=а„х,+а„х,+а„х„ (3) ув = аввх;+ аввХв+ авххв. Получим новый нектор 1х= ув1+ ув1+ увйв ОБРАТНАЯ МАТРИЦА который в виде столбцевой матрицы можно записать так~ 1Уд ) ~аддхд+адзхз+адззз1 У= уз = аздхд+аззхз+аззхз~. (4) уз аздх, +аззхз+аззхз Пользуясь правилом умножения матриц, эту операцию преобразования можно записать так: ! ая адз адз) )хд ~ )аддхд+адзхз+адзхз1 аы азз азз~. хз = аздхд+азуз+аззхз, азд азз азз хз аздхд+аззхз+аззхз (5) й 6.
Обратная матрица Пусть дан вектор Х. Произведем над ним преобразование с помощью квадратной матрицы А, получим вектор У: У= АХ. (1) Пусть определитель матрицы А отличен от нуля: Л(А)~0. Тогда существует обратное преобразование вектора У в вектор Х. Эдо преобразование находится путем решения системы уравнений (3) 3 5 относительно хо х„ х,. Матрица обратного преобразования называется обратной матрицей к А и обозначается А '.
Таким образом, можем написать Х= А-'У. (2) Здесь Х вЂ” столбцевая матрица, У вЂ” столбцевая матрица, АХ— столбцевая матрица, А ' †квадратн матрица. Подставляя вместо У в правой части равенства (2) правую часть равенства (1), получаем Х=А 'АХ. (3) т. е.
У= АХ. (6) При умножении квадратной матрицы на столбцевую получаетсл столбцевая матрица той же высоты. Очевидно, что преобразование трехмерного вектора Х в век. тор У вЂ э другая формулировка преобразования трехмерного пространства в трехмерное. Отметим, что система равенств (3) вытекает из матричного равенства (4) путем приравнивания элементов матриц, стоящих слева и справа. Равенство (4) дает преобразование вектора Х в вектор У с помощью матрицы А. Все проведенные рассуждения для вектора в трехмерном пространстве переносятся на преобразование векторов в пространстве любого числа измерений.
[гл. ххв МАТРИЦЫ 520 Над вектором Х последовательно произвели преобразование с матрицами А и А ', т. е. произвели преобразование с матрнцей, равной произведению матриц (А "А). В результате получилось тождественное преобразование. Следовательно, матрица А 'А есть единичная матрица: А 'А=Е. (4) Равенство (3) имеет вид Х= ЕХ.
(5) Теорема !. Если матрица А ' — обратнил к матрице А, то и матрица А — обратная к матрице А ', и. е. справедливы равенства А 'А = АА '=Е. (6) Доказательство. К обеим частям равенства (3) применим преобразование с помощью матрицы А: АХ=А(А 'А)Х: Пользуясь свойством сочетательности прн умножении матриц, последнее равенство можно переписать так: АХ=(АА ') АХ. Отсюда следует, что АА '=Е. Утверждение доказано. Из равенств (4) и (7) следует, что матрицы А н А ' взанмно обратные. Из указанных равенств также следует (А ') '=А. (8) Действительно, из равенств (7) следует А '(А ') '=Е.
Сравнивая последнее равенство с равенством (4), получаем равенство (8). $7. Нахождение матрицы, обратной данной Пусть дана невырожденная матрица ~ азв ам авв ~ А= а,ва„а,в азв азв азз ~ авв авв а,з~ вв = вз (А) = авт а,в авв .чь О. азв азв азв НАХОЖДВНИЕ МАТРИЦЫ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ 521 Докажем, что обратной матрицей А ' будет матрица А» А» Азэ ! л л л А»Ав, Ав, А '= л л л Аээ Аэз Азз л л л где Аы — алгебраическое дополнение элемента а!у (см. 5 2). Найдем матрицу С, равную произведению матриц А, А ". Аээ Аээ Азэ л л л Аээ Авв Азэ л л л Аэв Аэв Аэз л л л = О! О '1ам ам а1з~ С=АА з= аээ а,э аэв аэт азв азэ Действительно, на основании правила умножения матриц диагональный член матрицы С равен сумме произведений элементов строки определителя Л на соответствукнцие им алгебраические дополнения, деленной на определитель Ь, т.
е. равея единице. Например, элемент с„ определяется так: Аээ, А» 1 Аэв аээА»+а„А„+а,зАээ см = аи — + а„— + аэз л Каждый неднагональный член равен сумме произведений элементов некотдрой строки на алгебраические дополнения другой строки, деленной на определитель Л; например, элемент сэз определяется так: Азэ, Лзв Авз аМА»+а»Ам+аэвАзэ О () с„=а„— +а„— +а„ л Таким образом, теорема доказана. 3 а м е ч а н и е.
Матрица ~ Аээ Авэ Авэ~ А = Аэв Авз Азв Аээ Аээ Азз называется матрицей, присоединенной к А. Обратная матрица А"з через присоединенную А выражается так: А '= — А. Л (А) (5) Справедливость этого равенства следует из равенства (3). П р и ме р. Дана матрица 12 О) А= 031 012 Найти обратную матрицу А-э и присоединенную матрицу А. 1гл.
хх МАТРИЦЫ Р е ш е н и е. Находим определитель матрицы Аз Ь(А) =5. Аы= О, Авз= — 1 Авз= 3, Следовательно, по формуле (3) А-д По формуле (4) находим присоединенную матрицу А=О 2 — 1 $8. Матричная запись системы линейных уравнений Рассуждения будем проводить для случая трехмерного пространства. Пусть имеем систему линейных уравнений ' а„х,+а„х,+а„х, ='с)„ а„т, + а„х, + а„х, = дд,„ аздхд+ азвхз+ азвхз = С)з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
