34_PiskunovT2 (523113), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Чтобы система (7) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: ап — Л а„ а„ вЂ” О, ав1 авв (8) а,в авв — Л или Ь(А — ЛЕ) =О. (9) Это есть уравнение третьей степени относительноЛ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы'А. Из этого уравнения находятся собственные значения Л.

Рассмотрим случай, когда все корин характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим их через Л1, Л„ Л,. 1В н, с. пискунов. в. 2 МАТРИЦЫ (гл. ххг Каждому собственному значению Л соответствует собственный вектор, координаты которого определяются из системы (7) при соответствующем значении Л. Обозначим собственные векторы через т„т„т,. Можно показать, что зти векторы линейно независимы, т. е. ни один из них не выражается через остальные. Следовательно, любой вектор можно выразить через векторы т,, ч„т„т.

е. их можно принять за базисные векторы, Отметим без доказательства, что все корни характеристического уравнения симметрической матрицы действительны. П р н мер 1. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы 18 3~' Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения: Л ~=О т. е. Л вЂ” 4Л вЂ” 5=0, Лт= — 1, Л,=5, ! 1 — Л 1 1 з Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению Лг= — 1, из соответствующей системы уравнений (7): (1 — Л1)хг+ хз — — О, и и 2хг+ хз — — О, Зхт+(3 — Лт) хт =О, Зхд+ 4хз = О. Решая эту систему, находим хг=ю, х,= — 2т, где ш — произвольное число. Собственный вектор будет тг =ю( — 2гп/.

Для собственного значения Лз 5 пишем систему уравнений — 4х„+х,=О, Зха — 2хз=О. Собственный вектор будет те т!+4ту, П р и м е р 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы — 2 6 — 2 . Р е ш е н и е. Напишем характеристическое уравнение ! 7 — Л вЂ” 2 0 ~ — 2 6 — Л вЂ” 2 =1), т. е. — Лз+18Лз — 99Л+162=0. 0 — 2 5 — Л! Корни этого уравнения суть Лг=з, Лз=б, Лз=9. Д,ая Лт=З собственный вектор определяется нз системы уравнений 4хг — 2хз=О, — 2хт+Зхз — 2хз— - О, — 2х,+2хз=О. Полагая хг=ю, получаем хз=2т, хз=2вь Собственный вектор т, = и(+ 2л(/+ 2льй.

диалогично находим ч, = тВ+ — шУ вЂ” юй, тз = — шт+ а1 — — юй. 1 1 2 МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ф 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами Определим, далее, матрицу линейного преобразования, когда базисом являются собственные векторы 11, т„т,. При этом преобразовании должны выполняться соотношеийя тв =' Авт1 тв = Автв тв = )Ввтвв (1) где т'„ т"„ т.', †обра векторов т1, т„ т . Пусть матрица преобразования будет А'= (2) Определим члены этой матрицы.

В базисе т1, т„т, можем написать 111 тв —— 1 т,+О т,+О та=~а~ -Ы то можем написать т1 ~вт1 А тв Следовательно, авв а(в а13 ~~ авв а а или в виде системы уравнений Ат=п,', ° 1+а,'в.О+а,'в О, О=ав, 1+а,', О+а,', О, О =ав',.1+ав О+а,,', О. (4) Из этой системы находим: а,',=Ц, а,',=О, ав',=О.

На основании соотношений т.*, = Хвт„тв = Хвтв аналогично найдем а,'в=О, а,',=А„а,',=О, а~в —— О, а,',=О, ав„=З . 1ав Так как вектор т, после преобразования с помощью матрицы А' переходит в вектор т, '= Х,т,: т, "= Хвт,+О "т,+О.т, МАТРИЦЫ 1гл. ккз Таким образом, матрица преобразования имеет вид А'=(з з, О) (6) Линейное преобразование будет у,'= Л,х,', у.,= Л,хз, (6) уз = Лзхз.

Если Л;= Л, = Л, = Л*, то линейное преобразование имеет вид у,'= Л*х,', у,'= Л*х,', у,'= Л*х,'. Такое преобразование называется преобразованием подобия с коэффициентом Л*. При этом преобразовании каждый вектор пространства является собственным вектором с собственным значением Л". й 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому Пусть Х вЂ” произвольный вектор: ~ хз '1 Х= хз~=х,е,+х,е,+х,е„ хз 1 1 К= ~из ~ = У,Е,+ У,Ез+ У,Е„ Уз (2) У= АХ. Введем в рассматриваемом пространстве новый базис (е,', ез, ез), связанный со старым базисом формулами перехода и', = Ь„е, + Ь„е, + Ь„е„ е,' — Ь„е, + Ь„е, + Ь„е„ ез = Ь„е, + Ь„е,+Ь„е,.

Пусть вектор Х в новом базисе напишется так: х' х.,' хз Х'=х,'е,'+х;е +х,'е,'= Можем написать равенство х,е, + хзнз+ хзез = х,'е,'+ х,'е,'+х,'е,', (6) заданный в базисе (е„е„е,). Вектор Х преобразуется с по- мощью матрицы А в вектор У: 4 дз1 ПРЕОбРАЗОВАНИИ МАТРИЦЫ где в правую часть подставлены выражения (4). Приравнивая коэффициенты при векторах е„ е„ е, справа и слева, получим равенства хд = Ьд дхд+ Ьдзхд + Ьдвхз х, = Ьздхд+ Ьззхд+ Ь„х,'„ ха = Ьвдхд+ Ьззхз+ Ьззхз или коротко Х= ВХ', (8) где ~Ьдд Ьдз Ьдз~ В= Ь„Ь„Ь„. 1Ь„Ь„Ь„ (9) Эта матрица невырожденная, имеет обратную матрицу В-', так как система (7) имеет определенное решение относительно х,', х,', х,'. Если в новом базисе запишем вектор х: У' = у,'е,'+ у,'е,'+ у,'е,', то, очевидно, имеет место равенство х =ВУ'.

(10) Подставляя выражения (8) и (10) в (3), получим В)" = АВХ'. (11) В= 211 Найдем обратную матрицу (дд(В) =1) Вд= — 101 Умножая обе части равенства на В ', получим )д" =В 'АВХ'. (12) Следовательно, матрица А' преобразования в новом базисе будет А'=В 'АВ. (13) П р и м е р. Пусть с помощью матрицы А А= 101 производится преобразование вектора в базисе (ед, е„ев). Определить матрицу преобразования А' в базисе (е', е', е'), если е,'=ед+2е,+ез, е,'=2ед+ев+Зев, е,'=ад+ее+аз. Решен не.

здесь матрица В такова (см. формулы (4) и (в)): !гл. хх! МАТРИЦЫ Далее находим ВтА= — ! О ! Окончательно ио формуле ()3) находим 1 — ! 301 А'=В-'АВ=~ О ! О . 4 — 22 Докажем, далее, следующую теорему. Т е о р ем а 1. Характеристический многвчлен (левая часть уравнения (8) 3 11) не меняется в зависимости от выбора базиса при данном линейном преобразовании.

Доказательство. Напишем два матричных равенства А'=В 'АВ, Е=В 'ЕВ, где А и А' — матрицы, соответствующие различным базисам при одном и том же линейном преобразовании,  †матри перехода от новых координат к старым, Š†единичн матрица, На основании двух последних равенств получаем А' — ) Е = В ' (А — ХЕ) В. Переходя от матриц к определителям и пользуясь правилом умножения матриц и определителей, получаем сх(А' — АЕ) =й(В"'(А — ЛЕ) В) =й(В ) й(А — йЕ)й(В). Но Л(В ') А(В) =Л(В-'В) =Л(Е) =1.

Следовательно, Л (А ' — ) Е) = Л (А — ).Е) . Слева и справа стоят характеристические многочлены матриц преобразования. Теорема доказана. $ 14. Квадратичные формы и нх преобразования О п р еде лен и е 1. Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный миогочлен второй степени от этих переменных. Квадратичная форма от трех переменных х,, х„х, имеет вид Р = а„х', + аааха+ а„х, '+ 2а„х,х, + 2а„,х,х, + 2а„х,х„(1) где а;; — заданные числа, коэффициенты 2 взяты для того, чтобы получйть более простые последующие формулы.

зы1 кВАдРАтичные ФОРмы и их пРеОБРАЭОВАния 535 Равенство (1) можно написать так: Р=х,(а„х,+а„х,+а„х,)+ +х, (а„х,+а„х,+ аззхв)+ +х, (а„х,+а„х,+а„х,), (2) где аы (1=1, 2, 3; 1= 1, 2, 3) — заданные числа, при этом а„= азм а„= азо а„= ахм (3) Матрица ~ аи адв авз'1 А = ~ овз овв авз ~ азз азв азз (4) называется матрицей квадратичной формы (1).

Данная матрица симметричная. Будем считать (х„ х„ х,) координатами точки пространства или координатами вектора в ортогональном базисе (е„ е„ е,), где е„ е„ е, †единичн векторы. Рассмотрим линейное преобразование в базисе (е„ е„ е,): х,' = а„х, + а„х, + а„х„ х,'=а„х,+а„х,+а„х„ (5) х,'= а„х, + а„х,+а„х,. х-,',~ (6) х' Х'= хв хз Преобразование (5) запишем в форме Х'= АХ.

(8) Тогда квадратичную форму (2) можно лярное произведение этих векторов: Р=(Х, АХ). представить как ска- (9) Пусть е'„е;, е; — ортогональные собственные векторы преобразования (8), соответствующие собственным значениям Ц, А.„)зв Можно доказать, что если матрица симметрична, то существует ортогональный базис, составленный из собственных векторов матрицы. Произведем преобразование (8) в базисе (е,', ев, е,'). Тогда матрица преобразования в этом базисе будет диагональной Матрица этого преобразования совпадает с матрицей квадратичной формы.

Определим далее два вектора "1гл. ххг МАТРИЦЫ 536 (см. 2 12): А'=Ой, О. (1б) Можно показать, что применяя это преобразование к квадратичной форме (1), можно привести последнюю к виду Р = Х1х1 3+ Хтьлз + Хм. (11) Направления собственных векторов е;, ез, е; называются главными направлениями квадратичной формы. й 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений Оп р еде ление 1.

Минором данной матрицы называется определитель, составленный без перестановок из оставшихся элементов матрицы после вычеркивания из нее нескольких строк и столбцов. П р имер 1. Пусть дана матрица а11 ахз а,з ахз 1 аз1 азз азз аы аз1 азз азз азз Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычеркивания одного столбца н замены знака матрицы 11 знаком определителя ~ ). Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычеркивания двух столбцов н одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

Оп р еде ление 2. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А. Пример 2. Легко проверить, что ранг матрицы равен 2. П р имер 3. Ранг матрицы '1з б э~ равен 1. Если матрица А квадратная порядка и, то ранг этой матрицы й удовлетворяет соотношению й (и. Как указывалось выше, если й=п, то матрица называется невырожденной, если й < и, то матрица называется вырожденной.

Например, матрица )оо~) $!М ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ МАТРИЦ является иевырождеииоа, твк квк Л(А) =1 Ы О; матрица в примере 2 особая, так квк твм л=-з, а=2. Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений. Имеет место следующая Теорема 1. Пусть дана система линейных уравнений: а„х, + а„х, + а„х, = Ь„' а„х, +а„х, +а„х, = Ь„ а„х,+а„х,+а„х,=Ь,. Введем в рассмотрение матрицу системы А = а„а„а,з аз! азз азз (2) и расширенную матрицу ап а„а,з Ьг'1 В= а, а„а, Ь азг азз азз Ьз 2 16. Дифференцирование и интегрирование матриц Пусть дана матрица ((агт(г))), где членами а;;(1) матрицы являются функции некоторого аргумента г: ан (г) ам (г) ...

агл (г) а„(г) а„(г) ... азл (й '1 а,. (() 1 = ааг(г) ааз(г) ° ° ° амл(г) или коротко будем это записывать так: А(1)=~~а!)(г)~ (г'=1, 2, ..., т; )=1, 2, ..., и). (2) Система (1) имеет решения, если ранг матрицы А равен рангу матрицы В. Система не имеет решений, если ранг мапгриг(ы А меньше ранга матрицы В. Если ранг матрицы А и ранг матриц В равен 3, то система имеет единсгпвенное рещение. Если ранг матриц А и В равен 2, то система имеет бесчисленное множество решений, при этом два неизвестных выражаются через третье, которое имеет произвольное значение.

Характеристики

Список файлов книги