34_PiskunovT2 (523113), страница 80
Текст из файла (страница 80)
2 2 Составим, далее, среднеарифметическую ошибку по формуле Х 1ю1 (6) По формуле (5) Определяем среднеквадратичное отклонение (7) Еср Еср Далее определяем отношения †. и =. в Для случайной величины, подчиненной нормальному закону, Еср Е,р отношения — и — соответственно равны 0,8453 и 0,6745 в Еср Еср (см. формулу (6) з 22). Если отношения — и = отличаются и' а от 0,8453 и 0,6745 на величину порядка 10%, то условно принимают, что случайная величина у подчиняется нормальному закону.
Следствием центральной предельной теоремы является важная теорема Лапласа о вероятности того, что событие появится не менее а раз и не более р раз. Приведем эту теорему без доказательства. Теорема 2 (Лапласа). Если производится и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления собы- !гл.
Ек ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ тия А есть р, то справедливо соотношение где т — число появлений события А, о= [ — р, Р(а < т < Р)— вероятность того, что число появлений собьипия А заключено между сс и р. Функция Ф(х) определена на с. 478. Покажем применение теоремы Лапласа для решения задач. Пример 2. Вероятность брака при производстве некоторых деталей р=0,01.
Определить вероятность того, что в 1000 деталях окажется не более 20 бракованных. Решение. В данном случае в=1000, р=0,01, о=0,99, а=О, [)=20. Далее находим и — пр 0 — !О )/2 )/йрв Рг 2 )Г9,9 [~ — пР 20 — 10 =2 25 )г 2)гйрч )Г2 У9,9 По формуле (8) получаем: Р (О ~ т ~ 20) = — [Ф (2,25) — Ф ( — 2,25)) = Ф (2,29. 1 2 По таблицам функции Ф (х) находим Р (О ~ т ~ 3)) = 0,9985. Отметим, что теоремы Бернулли, Ляпунова, Чебышева, Лапласа, о которых говорилось выше, составляют так называемый юкон больших чисел теории вероятностей. Упражнения к главе ХХ 1.
Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что выпадет сумма очков, равная 5. Отв. !/9. 2. В лотерее имеется 10 билетов: 5 выигрышей и 5 проигрышей. Берем два билета. Какова вероятность выигрыша? Отв. 7/9. 3. Игральная кость бросается 5 раз. Какова вероятность того, что хоть 1 раз не появится 4 очка? Отв. 0,99987. 4. Вероятность попадания в самолет из винтовки равна 0,004. Сколько стрелков должно стрелять одновременно, чтобы вероятность попадания стала ) 70%? Отв.
и ) 300. 5. Из двух орудий по одной цели произведено по выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия 0,7, из второго 0,6. Определить вероятность хотя бы одного попадания. Отв. 0,88. 6. На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Определить вероятность того, что на случайно взятой карточке содержится цифра 5. Отв. 0,19.
7. Имеется 4 машины. Вероятность того, что машина работает в произвольный момент 1, равна 0,9. Определить вероятность того, что в момент Г работает хотя бы одна машина. Отв. 0,9999. 8. Вероятность попадания в цель р=0,9. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет три попадания. Опы.ш 0,73. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ХХ 505 9. В первом ящике деталей первого сорта 30%, во втором 40%. Вынимаются по одной детали из каждого ящика. Определить вероятность того, что обе вынутые детали первого сорта. Отв. 0,12. 1О. Механизм состоит из трех деталей. Вероятность брака 1-й детали р, =0,008, вероятность брака 2-й детали р,=0,012, вероятность брака 3-й детели р»=0,01.
Определить вероятность брака при изготовлении всего механизма. Оев. 0,03. 11. Вероятность попадания при одном выстреле р=0,6. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет иметь место хотя бы одно попадание. Оглв. 0,936. 12. Среди 350 механизмов 160 первого сорта, 1!Π†второ сорта и 80— третьего сорта.
Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный. Отв. 0,98. 13. Пусть известно, что вследствие ошибок, допускаемых при подготовке стрельбы, центр рассеивания снарядов (ЦРС) при первом выстреле может находиться по дальности в одной из пяти точек. Вероятность того, что ЦРС будет находиться в этих точках, соответственно равны р, =0,1, р, =0,2, р»=0,4, р«=0,2, р,=0,!.
Известно также, что если ЦРС будет находиться в первой точке, то вероятность попадания в цель по дальности будет равна р,=0,15 и для остальных точек соответственно р,=0,25, р»=0,60, р«=0,25, р,=о,!5. На исходной установке прицела произведен выстрел, в результате которого получен по дальности промах. Определить, чему равна вероятность того, что выстрел произведен на установке прицела, соотвегствуюп!ей каждой из указанных пяти точек ЦРС, т. е. определить вероятности гипотез о различных ошибках в положении ЦРС после испытания (выстрела).
Оим. 0,85; 0,75; 0,40; 0,75; 0,85. 14. Игральная кость бросается 5 раз, Какова вероятностгь что 2 раза выпадет шестерка и 3 раза не шестерка» Оим. 62573888, 15. Производится 6 выстрелов. Определить вероятность того, что не все выстрелы дадут перелеты, если вероятность перелета р= 1!2, вероятность недолета Ч= !/2 (стрельба по «узкой» цели). Оев.
3!!32. 16. Для условий предыдущей задачи определить вероятность того, что будет 3 перелета и 3 недолета. Отв. 5/!6. 17. Найти математическое ожидание числа очков при одном бросании игральной кости. Отв. 712. 18. Найти дисперсию случайной величины х, заданной таблицей распределения Отв.
1,05. 19. Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,4. Производится 5 независимых испытаний. Найти дисперсию числа появлений события 4. Оев. 1,2. 20. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания 0,8. Стрельба идет до первого попадания. Имеется 4 сиарида.
Определить математическое ожидание числа израсходованных снарядов. Отв. 1,242. 21. Прн стрельбе по некоторой «тонкой» цели вероятность перелета р=1/4, вероятность недолета 4=3!4. Определить вероятность комбинации из 2 перелетов и 4 недолетов при шести выстрелах. Оим. 0,297.
22. Вероятность того, что деталь имеет брак, р=0,0!. Какова вероятность того, что в партии из !О деталей будет бракованных О, 1, 2, 3 деталей? Отв. 0,9045; 0,0904; 0,0041; 0,00!1. влнмннты тпопии ййпоятностни (гл. хх 23. Найти вероятности получения хотя бы одного поиадання в цель прн 1О выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле р=О,!5. Отв. 1 — 0 85'э ш 0 603. 24. Случайная величина х задана интегральной функцией распределения / 0 при х< О, Р(х)=~ х при О~э~1, (, 1 при 1<х. Найти плотность распределения /(х), М [х[, О [х]. [ 0 при х<0, Отв. /(х)= 1 при О~я~!, М[х]= —, О[х]= —.
2' 12' 0 ири 1 <х. 25. Случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 1ОО. Найти вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10, 50). Отв. 0,954. 26. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с дисперсией аз=0,16. Найти вероятность того, что значение случайной величины будет отличаться по абсолютной величине от математического ожидания меньше, чем иа 0,3.
Отв. 0,5468. 27. Случайная величина х,подчинена нормальному закону распределения с центром рассеивания а=О,З и мерой точности 8=2. Найти вероятность попадания в интервал (0,5; 2,0). Отв. 0,262. 28. Стрельба ведется по полосе шириной 4 м. Систематическая ошибка наводки ! м (с занижением). Вероятное отклонение 5 м.
Найти вероятность попадания в полосу при нормальном законе рассеивания. Отв. 0,21!. 29. Стрельба ведется по прямоугольнику, ограниченному прямыми хг = 10 м, х,=20 м, уз=15 и, у,=35 м, в направлении прямой, делящей короткую сторону пополам. Вероятные отклонения нормального распределения на плоскости Е„= 5 м, Е = 10 м.
Найти вероятность попадания при одном выстреле. Ств. 0,25. 30. Ошибка при изготовлении детали с заданной длиной 20 см есть случайная величияа, подчиненная нормальному закону; п=0,2 см. Определить вероятность того, что длина изготовленной детали будет отличаться от заданной меньше, чем на О,З см. Отв. 0,866. 31. В условиях примера 30 определить ошибку при изготовлении иэделия, которая не будет превзойдена с вероятностью 0,95. Отв. 0,392. 32.
Случайная величина х распределена по нормальному закону с параметрами М [х] = 5 и а=2. Определить вероятность того, что случайная величина окажется в интервале ]1, 10). Сделать чертеж. Оли. 0,971. 33. Длина изготовляемои автоматом детали представляет собой случайную мличину, распределенную по нормальному закону с параметрами М [х] = 15, о=0,2. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 15 ~ 0,3. Какую точность длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,977 Сделать чертеж. 34, При'измерении некоторой величины получен следукяций статистический ряд: Определить статистическое среднее и статистическую дисперсию.
Отв. 2; 1. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВИ ХХ 507 35. Результаты измерения даются таблицей Определить статистическое среднее а, статистическую дисперсию а. Олы. 0,226; 0,004. 36. Вероятность брака при производстве деталей р=0,02. Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажется от 1 до !О бракованных деталей. Олы. 0,414. 37. Вероятность попадания в цель р=1/2. Какова вероятность того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между 100 и 1507 Олы. 0,998. 38. Вероятность брака при изготовлении некоторых деталей д = 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажется бракованных не более 25. Оше. 0,87.
ГЛАВА ХХ1 МАТРИЦЪ|. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В 1. Линейные преобразования. Матрица Рассмотрим две плоскости Р и 1Е'. Пусть в плоскости Р задана прямоугольная система координат х,Ох, и в плоскости Я вЂ” система координат р1Орс Плоскости Р и 1Е могут совмещаться. Также могут совмещаться и системы координат. Рассмотрим систему уравнений у, = а„х, + а„х„у, = а„х, + а„х,. (1) На основании равенств (1) каждой точке М(х,; х,) плоскости х,Ох, соответствует точка М(у,; и,) плоскости у,Оу,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
