А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Двумерное
вейвлет-преобразование.
Обработка изображений

3.1. Двумерные вейвлеты

До сих пор рассматривался одномерный сигнал. При обработке изображений приходится иметь дело с двумерными массивами . Пусть они, как и прежде, задаются в пространстве , но теперь как функции двух переменных и . В этом случае вместо выражения для одномерной вейвлет-функции вида (1.11) можно воспользоваться двумерным аналогом

, (3.1)

где и , и – значения и по каждому измерению.

Для двумерного диадного ВП непрерывных сигналов:

, ,

, . (3.2)

Для ВП дискретных изображений и построения быстрых алгоритмов обработки следует исходить из двумерного КМА. Общий подход к определению КМА для многомерного случая рассмотрен в [ 3].

Однако на практике поступают проще. Многомерный и, в частности, двумерный КМА строят как тензорное произведение одномерных КМА. При таком подходе отцовский и материнский вейвлеты будут сформированы следующим образом:

, (3.3)

, ,

, (3.4)

где индексы и означают реализацию фильтров ВЧ и НЧ составляющих.

Тогда двумерные вейвлеты запишутся в виде:

(3.5)

Таким образом, на двумерной плоскости происходит анализ по горизонтали, вертикали и диагонали с одинаковым разрешением в соответствии с тремя приведенными выше вейвлетами.

Рассмотрение многомерных вейвлетов (мультивейвлетов) возможно и с позиций блоков мультифильтров. Такой подход дан в [1].

3.2. Двумерное ДВП

Формулы ДВП двумерных сигналов и изображений, сконструированные с учетом приведенных выше соотношений (3.5), использованы в инструмен-тальных пакетах существующих СКМ, включая Wavelet Toolbox.

На основе частотного подхода к ВП, рассмотренного в п. 2.6, прямое ВП изображения происходит следующим образом. Предположим, что имеем изображение размером (рис. 3.1, а). Первоначально каждая из строк изображения делится (фильтруется) на низкочастотную (НЧ) и высокочастотную (ВЧ) половины. В результате получается два изображения размером (рис. 3.1, б). Далее каждый столбец делится точно также, в итоге получается четыре изображения размером (рис. 3.1, в): НЧ по горизонтали и вертикали (НЧНЧ₁), ВЧ по горизонтали и вертикали (ВЧВЧ₁), НЧ по горизонтали и ВЧ по вертикали (НЧВЧ₁) и ВЧ по горизонтали и НЧ по вертикали (ВЧНЧ₁). Первое из указанных выше изображений делится аналогичным образом на следующем шаге (уровне) преобразования (рис. 3.1, г) и т.д.

Рис. 3.1

На рис. 3.2 даны реальное изображение (слева) и результат первого уровня его вейвлет-анализа, т.е. четыре изображения (слева направо, сверху вниз): НЧНЧ₁, ВЧНЧ₁, НЧВЧ₁ и ВЧВЧ₁.

Рис. 3.2

Ряд примеров по анализу и реконструкции изображений, их компрессии и очистке от шума дан в разделе GUI Wavelet Toolbox, который активизируется кнопкой Wavelet-2D.

Рис. 3.3

На рис. 3.3 приведен один из этих примеров: в верхнем левом углу приведено реальное изображение (гамадрил); в нижнем правом углу дано его вейвлет-разложение (dwt2) на прямоугольные сегменты на уровне 2; в левом нижнем углу – реконструкция изображения (idwt2); в правом верхнем углу иллюстрируется участок декомпозиции изображения (для этого достаточно выделить мышью фрагмент декомпозиции изображения и щелкнуть ей на кнопке Visualize; кнопки Full Sitze и Reconstruct позволяют вывести в максимальном размере соответственно декомпозицию и реконструкцию изображения).

Для двумерного ВП могут также успешно использоваться пакетные вейвлеты. Рис. 3.4 демонстрирует пример такого рода. В левой части окна приведены четыре изображения: вейвлет-дерева первого уровня (верх слева), анализируемого изображения (верх справа), изображения в узле (1,0) (низ слева) и пакетного разложения (низ справа). Меню в правой части окна позво-ляет выбирать различные типы дерева, проводить анализ (декомпозицию), очистку от шума и компрессию изображения.

Рис. 3.4

Еще некоторые примеры двумерного ВП (рис. П.8 и П.9) даны в прил. П.1. Функции двумерных ДВП и пакетных вейвлет-алгоритмов, предназначенные для практического применения обработки сигналов и изображений, приведены в прил. 2 (П.2.4 – П.2.6).

3.3. Удаление шумов
и компрессия изображений

Решения этих задач осуществляется аналогично случаю одномерных сигналов (см. п.2.8). Осуществляется пороговое ограничение уровня детализирующих коэффициентов. Задав определенный порог и «отсекая» коэффициенты ниже этого порога, можно значительно снизить уровень шума и сжать изображение.

На рис.3.5. приведен пример очистки от шума изображения, взятый из графического интерфейса пользователя GUI (Wavelet 2-D). В левом верхнем углу дано зашумленное изображение, а в правом верхнем – очищенное. Ниже даны гистограммы детализирующих коэффициентов по горизонтали, диагонали и вертикали, там же штриховыми линиями указаны выставленные пороги. Использован самый простой вейвлет – db2. Результат очистки очевиден.

Рис. 3.5

Рассмотрим примеры очистки и сжатия изображений при работе MATLAB в командном режиме.

Пример 3.1. Очистка изображения от шума

Ниже приведен фрагмент программы очистки изображения, которое загружено из файла neissi2d. При этом использованы функции wpbmpen (установка глобального порога) и wpdencmp (удаление шумов и сжатие изображений) (см. прил. П.2.7):

load noissi2d; nbc = size(map,1); wname = 'db8';

lev = 2; tree = wpdec2(X,lev,wname);

det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];

sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745; alpha = 1.1;

thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha); keepapp = 1;

xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);

colormap(pink(nbc));

subplot(221), image(wcodemat(X,nbc)); title('Исходное изображение')

subplot(222), image(wcodemat(xd,nbc)); title('Очищенное изображение')

end

На рис. 3.6 приведены исходное (слева) и очищенное от шума (справа) изображения, полученные при исполнении программы.

Рис. 3.6

С этим примером рекомендуется поэкспериментировать. В частности, можно задать выходные параметры в полной форме и найти нормы восстановления и сжатия изображения.

Пример 3.2. Компрессия изображения - отпечатка пальца

Этот пример применения сжатия стал классическим. В свое время ФБР использовало ВП для сжатия информации, в результате этого удалось хранить большой объем отпечатков пальцев в простых компьютерах с небольшим объемом памяти, что сэкономило значительные средства.

Ниже приведена упрощенная программная реализация, в которой использованы функции порога двумерного вейвлета ( ) и удаления шума и сжатия ( ):

function detfingr

load detfingr; nbc = size(map,1); wname = 'sym4'; lev = 3;

[c,s] = wavedec2(X,lev,wname); alpha =1.5; m = 2.7*prod(s(1,:));

[thr,nkeep] = wdcbm2(c,s,alpha,m);

[xd,cxd,sxd,perf0,perfl2] = wdencmp('lvd',c,s,wname,lev,thr,'h');

colormap(pink(nbc)); subplot(221), image(wcodemat(X,nbc)),

title('Исходное изображение'); subplot (222),image(wcodemat(xd,nbc)),

title('Сжатое изображение'); xlabl = ['2-norm rec. :', num2str(perfl2)];

xlab2 = [' % - zero cfs: ',num2str(perf0), '%']; xlabel([xlabl xlabl2])

end

На рис. 3.7 приведены исходный и сжатый отпечатки пальца; при этом более 94 % коэффициентов обнулено, а в оставшихся сосредоточено 98 % от энергии всех коэффициентов разложения. Несмотря на то, что сжатие осуществлено в десятки раз, качество изображения остается вполне хорошим. Поэтому объем архива отпечатков пальцев для криминалистических отделов может быть существенно уменьшен.

Рис. 3.7

Аналогично можно сжимать снимки в картографии, медицине, геологии и других областях.

К сжатию изображений проявляется значительный интерес во всем мире. Это обусловлено стремительным развитием цифровой техники обработки изображений, цветных принтеров, графических мониторов, цифровых фото- и видеокамер и т.п. Изображение, представленное в цифровом виде, имеет довольно большой объем в битах. Например, цветное изображение размером 512х512 требует для своего хранения 768 кбайт, а если передавать видеопоследовательность таких изображений со скоростью 25 кадров в секунду, то требуемая скорость составит 188 Мбит/с.

Кроме ситуации, рассмотренной в примере 3.2, когда требуется хранить большой объем информации в компьютере с ограниченной памятью, возможны еще другие ситуации.

Например, требуется сохранить качество изображения (фотографии или фильма) таким, чтобы даже экспертиза не отличила сжатую копию от оригинала. В этом случае компрессия окажется небольшой (коэффициент сжатия от 3 до 5). Это режим сжатия почти без потерь.

В другой ситуации может потребоваться, наоборот, большая компрессия, когда сигнал или изображение передаются по каналу с ограниченной пропускной способностью, либо когда вся процедура анализа и синтеза информации должна быть осуществлена за кратчайшее время и результат должен быть передан немедленно и по возможности дешевле. Это режим сжатия с допустимыми потерями, при котором коэффициент сжатия может достигать сотен и даже тысяч.

Поэтому в разных ситуациях надлежит выбирать соответствующие вейвлеты для оптимизации всей процедуры ВП (анализа и синтеза) [24]. Тем не менее, для любой из этих ситуаций ВП имеет преимущество по сравнению с методами кодирования, использующими оконное преобразование Фурье, при этом количественные показатели такого выигрыша зависят от поставленной задачи [19].

И еще следует отметить, что принципиальное отличие процедуры компрессии с помощью ДВП от широко распространенного сжатия по стандарту JPEG состоит в том, что она работает со всем изображением, в то время как в JPEG изображение разбивается на блоки, которые сжимаются независимо. В случае ВП мож­но подобрать такую базисную вейвлет-функцию, которая адап­тирована к наиболее информативным особенностям изображе­ния. Здесь адаптивность понимается в том смысле, что элементы или участки изображения с довольно плавным изменением яр­кос­ти представляются небольшим числом вейвлет-коэффициентов.

Характеристики

Список файлов книги